2021年新高考数学总复习第九章《平面解析几何》
抛物线
1．抛物线的概念
平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程与几何性质
标准方程
y 2＝2px
(p >0)
y 2＝－2px (p >0)
x 2＝2py (p >0)
x 2＝－2py (p >0)
p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离
图形
顶点坐标 O (0,0)
对称轴 x 轴
y 轴
焦点坐标 F ⎝⎛⎭⎫p 2，0
F ⎝⎛⎭
⎫－p
2，0 F ⎝⎛⎭⎫0，p 2 F ⎝⎛⎭⎫0，－p
2 离心率 e ＝1
准线方程 x ＝－p 2
x ＝p 2 y ＝－p
2
y ＝p 2 范围 x ≥0，y ∈R
x ≤0，y ∈R
y ≥0，x ∈R
y ≤0，x ∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
概念方法微思考
1．若抛物线定义中定点F 在定直线l 上时，动点的轨迹是什么图形？ 提示 过点F 且与l 垂直的直线．
2．直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的什么条件？
提示 直线与抛物线的对称轴平行时，只有一个交点，但不是相切，所以直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( × ) (2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝⎛⎭⎫
a 4，0，准线方程是x ＝－a
4
.( × )
(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( × ) (4)AB 为抛物线
y 2＝2px (p >0)的过焦点
F ⎝⎛⎭⎫p 2，0的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 2
4
，y 1y 2＝－p 2，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p .( √ )
(5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x 2＝－2ay (a >0)的通径长为2a .( √ ) 题组二 教材改编
2．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |等于( )
A ．9
B ．8
C ．7
D ．6 答案 B
解析 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.根据题意可得，|PQ |＝|PF |＋|QF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝8.
3．已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P (－2，－4)，则该抛物线的标准方程为____________________． 答案 y 2＝－8x 或x 2＝－y
解析 设抛物线方程为y 2＝mx (m ≠0)或x 2＝my (m ≠0)． 将P (－2，－4)代入，分别得方程为y 2＝－8x 或x 2＝－y .
4．若抛物线y 2＝4x 的准线为l ，P 是抛物线上任意一点，则P 到准线l 的距离与P 到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离之和的最小值是( )。