辽宁省大连市高三第一次模拟数学理试题 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}|1A x x =<，(){}|30B x x x =-<，则AB =（ ）A ．()1,0-B ．()0,1C ．()1,3-D ．()1,3 2.若复数11iz ai+=+为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．1 B ．0 C ．12-D ．-1 3.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如图，当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推．例如3266用算筹表示就是，则8771用算筹可表示为（ ）A ．B ．C ．D ．4.如图所示程序框图是为了求出满足2228n n ->的最小正偶数n ，那么空白框中及最后输出的n 值分别是（ ）A ．1n n =+和6B ．2n n =+和6 C. 1n n =+和8 D ．2n n =+和8 5.函数()2tan 1xf x x x=++的部分图象大致为（ ）A ．B ．C. D ．6. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ）A ．43B 1033 C.3 D 8337.6本不同的书在书架上摆成一排，要求甲、乙两本书必须摆放在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法有（ ）种.A ．24B ．36 C.48 D ．608.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos cos cos b B a C c A =+，2b =，则ABC ∆面积的最大值是（ ）A ．1B 3 C.2 D ．49. 已知边长为2的等边三角形ABC ，D 为BC 的中点，以AD 为折痕进行翻折，使BDC ∠为直角，则过A B C D ，，，四点的球的表面积为（ ）A ．3πB ．4π C.5π D ．6π 10. 将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移()0a a >个单位得到函数()cos 24g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，则a 的值可以为（ ）A ．512π B ．712π C.1924π D ．4124π 11. 已知双曲线2222:11x y C m m -=-的左、右焦点分别为1F 、2F ，若C 上存在一点P 满足12PF PF ⊥，且12PF F ∆的面积为3，则该双曲线的离心率为（ ）ABC.2 D ．3 12.若直线()10kx y k k R --+=∈和曲线()325:03E y ax bx b =++≠的图象交于()11,A x y ，()22,B x y ，()()33123,C x y x x x <<三点时，曲线E 在点A 、C 点处的切线总是平行的，则过点(),b a 可作曲线E 的（ ）条切线.A ．0B ．1 C.2 D ．3第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设实数x ，y 满足约束条件0405y x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩，则25z x y =++的最大值为．14.已知半径为R 的圆周上有一定点A ，在圆周上等可能地任意取一点与点A 连接，则所得弦长介于R与之间的概率为．15.已知抛物线2:2C y x =，过点()1,0任作一条直线和抛物线C 交于A 、B 两点，设点()2,0G ，连接AG ，BG 并延长，分别和抛物线C 交于点A ′和B ′，则直线A B ′′过定点． 16.已知腰长为2的等腰直角ABC ∆中，M 为斜边AB 的中点，点P 为该平面内一动点，若2PC =，则()()4PA PB PC PM •+•的最小值为．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n S n n =-+，在正项等比数列{}n b 中，22b a =，45b a =.()Ⅰ求{}n a 和{}n b 的通项公式；()Ⅱ设n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和.18. 大连市某企业为确定下一年投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费i x 和年销售量()1,2,,8i y i =…数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.xyw()821ii x x =-∑()821ii w w =-∑81i ii x y =∑81i ii w y =∑46.65736.8289.8 1.6 215083.4 31280表中i w x =，8118i i w w ==∑.()Ⅰ根据散点图判断，y a bx =+与y c dx =+哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）()Ⅱ根据()Ⅰ的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；()Ⅲ已知这种产品的年利润z 与x 、y 的关系为0.2z y x =-.根据()Ⅱ的结果回答下列问题： ()i 年宣传费64x =时，年销售量及年利润的预报值是多少？()ii 年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n u v u v u v ……，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：()()()121nii i nii uu v vu u β∧==--=-∑∑，v u αβ∧∧=-.19. 在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，,E F 分别是线段AD ，PB 的中点，1PA AB ==.()Ⅰ求证：//EF 平面DCP ；()Ⅱ求平面EFC 与平面PDC 所成锐二面角的余弦值.20. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12，点3(1,)2M 在椭圆C 上.()Ⅰ求椭圆C 的方程；()Ⅱ已知()2,0P -与()2,0Q 为平面内的两个定点，过点()1,0的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，求四边形APBQ 面积的最大值.21. 已知函数()()245x af x x x a R e=-+-∈. ()Ⅰ若()f x 在(),-∞+∞上是单调递增函数，求a 的取值范围；()Ⅱ设()()x g x e f x =，当1m ≥时，若()()()122g x g x g m +=，且12x x ≠，求证：122x x m +<.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1:4cos 02C πρθθ⎛⎫=≤< ⎪⎝⎭，2:cos 3C ρθ=.()Ⅰ求1C 与2C 交点的极坐标；()Ⅱ设点Q 在1C 上，23OQ QP =，求动点P 的极坐标方程. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()223f x x x m =+++，m R ∈.()Ⅰ当2m =-时，求不等式()3f x ≤的解集；()Ⅱ(),0x ∀∈-∞，都有()2f x x x≥+恒成立，求m 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:CDADB 6-10:BABCC 11、12：BC 二、填空题13.14 14.1315.()4,0 16.48-三、解答题 17.解：()Ⅰ21n S n n =-+，∴当1n =时，11a =，()121n n n a S S n -=-=-，()2n ≥， ∴()()()11212n n a n n =⎧⎪=⎨-≥⎪⎩. 又数列{}n b 为等比数列，222b a ==，458b a ==∴2424b q b ==， 又0n b >∴2q =，∴12n n b -=.()Ⅱ由()Ⅰ得：()()()()()()111112122122n n nn n c n n n n -==⎧⎧⎪⎪==⎨⎨-⋅≥-⋅≥⎪⎪⎩⎩设数列{}n c 的前n 项和为n T当2n ≥时，()()()23121231212n n T n =+-⋅+-⋅++-⋅()231122212n n =+⋅+⋅++-⋅，()()34121212222212n n n T n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅∴()341322212n n n T n +-=++++--⋅()()32121231212n n n -+-=+--⋅-()()21382112n n n -+=+---⋅()112125n n n ++=--⋅- ()1225n n +=-⋅-∴()()15222n n T n n +=+-⋅≥.当1n =时，111T c ==， 又当1n =时，()15221n n T n +=+-⋅=，综上，()1522n n T n +=+-⋅()1n ≥.18. 解：()Ⅰ由散点图可以判断y c =+适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型.()Ⅱ令w =y 关于w 的线性回归方程()()()()()()()88888111118888222211118iii iiii iii ii i i i i i i i i i i i i y y w w w y wy yw wy w y wy w y wyd w ww ww ww w=========----+--====----∑∑∑∑∑∑∑∑∑31280 6.85738681.6-⨯⨯==，57368 6.8110.6c y dw =-=-⨯=，所以y 关于w 的线性回归方程为110.668y w =+，所以y 关于x 的线性回归方程为110.6y =+()Ⅲ()i 由()Ⅱ知，当64x=时，年销售量y 的预报值为110.6654.6y =+=，年利润z 的预报值为654.60.26466.92z =⨯-=.()ii 根据()Ⅱ的结果知，年利润z 的预报值)20.2(110.622.12 6.868.36z x x =⨯+-=-+=-+，6.8=，即46.24x =时，年利润的预报值最大， 故年宣传费为46.24千元时，年利润预报值最大.19.解：()Ⅰ方法一：取PC 中点M ，连接MF DM ,，F M , 分别是PB PC ,中点,CB MF CB MF 21,//=∴，E 为DA 中点，ABCD 为正方形，CB DE CB DE 21,//=∴，DE MF DE MF =∴,//,∴四边形DEFM 为平行四边形，⊄∴EF DM EF ,//平面PDC ，⊂DM 平面PDC ，//EF ∴平面PDC .方法二：取PA 中点N ，连接NE ，NF .E 是AD 中点，N 是PA 中点，//NE DP ∴，又F 是PB 中点，N 是PA 中点，//NE AB ∴，//AB CD ，//NF CD ∴，又NE NF N =，NE ⊂平面NEF ，NF ⊂平面NEF ，DP ⊂平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，∴平面//NEF 平面PCD . 又EF ⊂平面NEF ，//EF ∴平面PCD .方法三：取BC 中点G ，连接EG ，FG ，在正方形ABCD 中，E 是AD 中点，G 是BC 中点//GE CD ∴又F 是PB 中点，G 是BC 中点，//GF PC ∴，又PCCD C =，,GE GEF GF GEF ⊂⊂平面平面， ,PC PCD CD PCD ⊂⊂平面平面，∴平面GEF //平面PCD . EF ⊂平面GEF//EF ∴平面PCD .方法四：⊥PA 平面ABC ,且四边形ABCD 是正方形，AP AB AD ,,∴两两垂直，以A 为原点，AP ，AB ，AD所在直线为z y x ,,轴，建立空间直角坐标系xyz A -， 则(),0,0,1P ()(),1,1,0,1,0,0C D⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛0,21,21,21,0,0F E 111,,222EF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则设平面PDC 法向量为(),,n x y z =，()()1,1,1,1,0,1-=-=PC PD则00PD n PC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即⎩⎨⎧=++-=+-00z y x z x ,取()1,0,1n =， 11022n EF ⋅=-=， 所以EF n ⊥，又EF ⊄平面PDC ，EF ∴∥平面PDC .()Ⅱ⊥PA 平面ABC ,且四边形ABCD 是正方形，AP AB AD ,,∴两两垂直，以A 为原点，AP ，AB ，AD 所在直线为z y x ,,轴，建立空间直角坐标系xyz A -，则(),0,0,1P ()(),1,1,0,1,0,0C D ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛0,21,21,21,0,0F E 设平面EFC 法向量为()1111,,n x y z =，⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1,21,21,21,21,21FC EF则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0011n FC n EF , 即111111011022x y z x y z +-=⎧⎪⎨-++=⎪⎩， 取()2,1,31-=n ,则设平面PDC 法向量为()2222,,n x y z =，()()1,1,1,1,0,1-=-=PC PD则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0022n PC n PD ,即2222200x z x y z -+=⎧⎨-++=⎩,取()1,0,12=n ，()1475214120113,cos 212121=⨯⨯+⨯-+⨯=⋅⋅=n n n n n n .∴平面EFC 与平面PDC 所成锐二面角的余弦值为1475. （若第一问用方法四，则第二问部分步骤可省略）20. 解：()Ⅰ由12c a =可得，2a c =，又因为222b a c =-，所以223b c =. 所以椭圆C 方程为2222143x y c c +=，又因为3(1,)2M 在椭圆C 上，所以22223()12143c c+=.所以21c =，所以224,3a b ==，故椭圆方程为22143x y +=.()Ⅱ方法一：设l 的方程为1x my =+，联立221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩， 消去x 得22(34)690m y my ++-=，设点1122(,),(,)A x y B x y ， 有121222690,,,3434m y y y y m m --∆>+==++()12234y y m -===+所以()214234S m =⨯⨯+令1t t =≥， 有224241313t S t t t==++，由 函数13y t t =+，[1,)t ∈+∞[)2130,1,y t t '=->∈+∞ 故函数13y t t =+，在[1,)+∞上单调递增，故134t t +≥，故2242461313t S t t t ==≤++当且仅当1t =即0m =时等号成立，四边形APBQ 面积的最大值为6.方法二：设l 的方程为1x my =+，联立221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩， 消去x 得22(34)690m y my ++-=，设点1122(,),(,)A x y B x y ， 有121222690,,,3434m y y y y m m --∆>+==++有2212(1)||34m AB m +==+， 点(2,0)P -到直线l点(2,0)Q 到直线l从而四边形APBQ 的面积222112(1)23434m S m m +=⨯=++令1t t =≥， 有224241313t S t t t==++， 函数13y t t =+，[1,)t ∈+∞[)2130,1,y t t '=->∈+∞ 故函数13y t t =+，在[1,)+∞上单调递增， 有134t t +≥，故2242461313t S t t t==≤++当且仅当1t =即0m =时等号成立，四边形APBQ 面积的最大值为6.方法三：①当l 的斜率不存在时，:1l x =此时，四边形APBQ 的面积为6S =.②当l 的斜率存在时，设l 为：(1)y k x =-，(0)k ≠ 则22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩()22223484120k x k x k ∴+-+-=2212122284120,,3434k k x x x x k k -∆>+==++，1212()12y y k x x -=-==∴四边形APBQ 的面积1214242S y y =⨯⨯-=令234(3)t k t =+> 则234t k -=6S =11(0)3t <<116)3S t =<<∴ 06S <<∴综上，四边形APBQ 面积的最大值为6.21.解：()Ⅰ()f x 在(),-∞+∞上是单调递增函数,∴在x R ∈上，()240x a f x x e '=-+≥恒成立，即：()42x a x e ≥- ∴设()()42x h x x e =-R x ∈∴()()22x h x x e '=-，∴当(),1x ∈-∞时()0h x '>，∴()h x 在(),1x ∈-∞上为增函数， ∴当(1,)x ∈+∞时()0h x '<，∴()h x 在(1,)x ∈+∞上为减函数， ∴()()max 12h x h e ==()max 42x a x e ⎡⎤≥-⎣⎦∴2a e ≥，即[)2,a e ∈+∞ .()Ⅱ方法一：因为a x x e x g x -+-=)54()(2，所以0)1()('2≥-=x e x g x ， 所以)(x g 在(),-∞+∞上为增函数，因为)(2)()(21m g x g x g =+，即)()()()(21x g m g m g x g -=-， )()()()(21x g m g m g x g --和同号，所以不妨设12x m x <<,设()(2)()2()(1)h x g m x g x g m x m =-+->≥，…8分 所以222)1()12()('-+---=-x e x m e x h x x m ，因为2m x x e e -<，22(21)(1)(22)(22)0m x x m m x ----=--≤，所以'()0h x >，所以)(x h 在(,)m +∞上为增函数， 所以()()0h x h m >=，所以222()(2)()2()0h x g m x g x g m =-+->， 所以221(2)2()()()g m x g m g x g x ->-=， 所以212m x x ->，即122x x m +<.方法二：()()()245x x g x e f x x x e a ==-+-()()()122g x g x g m +=[)1,m ∈+∞，∴()()()12222112245452452x x m x x e a x x e a m m e a -+-+-+-=-+- ∴()()()1222211224545245x x m x x e x x e m m e -++-+=-+ ∴设()()245x x x x e ϕ=-+x R ∈，则()()()122x x m ϕϕϕ+=， ∴()()210x x x e ϕ'=-≥∴()x ϕ在x R ∈上递增且()10ϕ'= 令()1,x m ∈-∞，()2,x m ∈+∞设()()()F x m x m x ϕϕ=++-, ()0,x ∈+∞， ∴()()()2211m x m x F x m x e m x e +-'=+---- 0x >∴0m x m x e e +->>，()()()22112220m x m x m x +----=-≥ ∴()0F x '>， ()F x 在()0,x ∈+∞上递增， ∴()()()02F x F m ϕ>=，∴()()()2m x m x m ϕϕϕ++->，()0,x ∈+∞ 令1x m x =-∴()()()112m m x m m x m ϕϕϕ+-+-+> 即：()()()1122m x x m ϕϕϕ-+> 又()()()122x x m ϕϕϕ+=，∴()()()()12222m x m x m ϕϕϕϕ-+->即：()()122m x x ϕϕ-> ()x ϕ在x R ∈上递增∴122m x x ->，即：122x x m +<得证.22.()Ⅰ解：联立⎩⎨⎧==θρθρcos 43cos ，23cos ±=θ， 20πθ<≤ ，6πθ=，32=ρ， 交点坐标⎪⎭⎫ ⎝⎛6,32π. ()Ⅱ设()θρ,P ,()00,θρQ 且004cos ρθ=，⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈2,00πθ， 由已知23OQ QP =，得⎪⎩⎪⎨⎧==θθρρ0052， 2=4cos 5ρθ∴，点P 的极坐标方程为⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈=2,0,cos 10πθθρ. 23.解：()Ⅰ当m =-2时，()()4103223-2=1023452x x f x x x x x x ⎧⎪+≥⎪⎪⎛⎫=++-⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫--≤-⎪ ⎪⎝⎭⎩＜＜, 当4130x x +≤⎧⎨≥⎩解得12x ≤≤0；当30132x -≤＜＜，恒成立 当45332x x --≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩解得32x ≤≤--2 此不等式的解集为1-22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，. ()Ⅱ当(),0x ∈-∞时()3302223=3432mx f x x x m x m x ⎧⎛⎫+- ⎪⎪⎪⎝⎭=+++⎨⎛⎫⎪--+≤- ⎪⎪⎝⎭⎩＜＜， 当302x -＜＜时，不等式化为23+≥+m x x.由22[()()]+=--+-≤-=-x x x x当且仅当2-=-x x 即=x .3m +≥-∴3m ≥--∴当32≤-x 时，不等式化为243--+≥+x m x x.253m x x ≥++∴，令253y x x=++，3(,]2x ∈-∞-. 22350,(,]2y x x '=->∈-∞-， 253y x x=++∴在3(,]2-∞-上是增函数. ∴当32=-x 时，253=++y x x 取到最大值为356-. ∴356m ≥-∴.综上3m ≥--。