辽宁省大连市2018届高三第一次模拟数学文试题 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}|1A x x =<，(){}|30B x x x =-<，则A B =U （ ） A ．()1,0- B ．()0,1 C ．()1,3- D ．()1,3 2.若复数11iz ai+=+为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．1 B ．0 C ．12-D ．-1 3.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如图，当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推．例如3266用算筹表示就是，则8771用算筹可表示为（ ）A ．B ．C ．D ．4.如图所示程序框图是为了求出满足2228n n ->的最小正偶数n ，那么空白框中及最后输出的n值分别是（ ）A ．1n n =+和6B ．2n n =+和6 C. 1n n =+和8 D ．2n n =+和8 5.函数()2tan 1xf x x x=++的部分图象大致为（ ）A ．B ．C. D ．6.等差数列{}n a 的公差不为零，首项11a =，2a 是1a 和5a 的等比中项，则数列{}n a 的前9项和是（ ） A ．9 B ．81 C.10 D ．907.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ）A ．431033238338.已知首项与公比相等的等比数列{}n a 中，若,m n N *∈满足224m n a a a =，则21m n+的最小值为（ ） A ．1 B ．32 C.2 D ．929.过曲线xy e =上一点()00,P x y 作曲线的切线，若该切线在y 轴上的截距小于0，则0x 的取值范围是（ ） A ．()0,+∞ B ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C.()1,+∞ D ．()2,+∞10.已知边长为2的等边三角形ABC ，D 为BC 的中点，以AD 为折痕进行翻折，使BDC ∠为直角，则过A B C D ，，，四点的球的表面积为（ ）A ．3πB ．4π C.5π D ．6π 11.将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移()0a a >个单位得到函数()cos 24g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，则a的值可以为（）A．512πB．712πC.1924πD．4124π12.已知双曲线2222:11x yCm m-=-的左、右焦点分别为1F、2F，若C上存在一点P满足12PF PF⊥，且12PF F∆的面积为3，则该双曲线的离心率为（）A．52B．72C.2 D．3第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设实数x，y满足约束条件405yx yx y≥⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩，则25z x y=++的最大值为．14.已知半径为R的圆周上有一定点A，在圆周上等可能地任意取一点与点A连接，则所得弦长小于3R的概率为．15.已知抛物线2:2C y x=，过点()1,0任作一条直线和抛物线C交于A、B两点，设点()2,0G，连接AG，BG并延长，分别和抛物线C交于点A′和B′，则直线A B′′过定点．16.已知菱形ABCD的一条对角线BD长为2，点E为AD上一点且满足12AE ED=u u u r u u u r，点F为CD的中点，若2AD BE•=-u u u r u u u r，则CD AF•=u u u r u u u r．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知ABC∆的内角,,A B C的对边分别为,,a b c，若2b=，且2cos cos cosb B a Cc A=+.()Ⅰ求B的大小；()Ⅱ求ABC∆面积的最大值.18. 大连市某企业为确定下一年投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费ix和年销售量()1,2,,8iy i=…数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.xyw()821ii x x =-∑()821ii w w =-∑81i ii x y =∑81i ii w y =∑46.65736.8289.8 1.6 215083.4 31280表中i w x =，18i i w w ==∑.()Ⅰ根据散点图判断，y a bx =+与y c dx =+哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）()Ⅱ根据()Ⅰ的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；()Ⅲ已知这种产品的年利润z 与x 、y 的关系为0.2z y x =-.根据()Ⅱ的结果回答下列问题： ()i 年宣传费64x =时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ()ii 年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n u v u v u v ……，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：()()()121nii i nii uu v vu u β∧==--=-∑∑，v u αβ∧∧=-.19.在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，,E F 分别是线段AD ，PB 的中点，1PA AB ==.()Ⅰ求证：//EF 平面DCP ；()Ⅱ求F 到平面PDC 的距离.20.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12，点3(1,)2M 在椭圆C 上.()Ⅰ求椭圆C 的方程；()Ⅱ已知()2,0P -与()2,0Q 为平面内的两个定点，过点()1,0的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，求四边形APBQ 面积的最大值.21. 已知函数()ln f x x =，()g x x m =+.()Ⅰ若()()f x g x ≤恒成立，求m 的取值范围；()Ⅱ已知1x ，2x 是函数()()()F x f x g x =-的两个零点，且12x x <，求证：121x x <.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1:4cos 02C πρθθ⎛⎫=≤< ⎪⎝⎭，2:cos 3C ρθ=.()Ⅰ求1C 与2C 交点的极坐标；()Ⅱ设点Q 在1C 上，23OQ QP =u u u r u u u r，求动点P 的极坐标方程.23.选修4-5：不等式选讲已知函数()223f x x x m =+++，m R ∈.()Ⅰ当2m =-时，求不等式()3f x ≤的解集；()Ⅱ(),0x ∀∈-∞，都有()2f x x x≥+恒成立，求m 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:CDADD 6-10:BBACC 11、12：CB 二、填空题 13.14 14.2315.()4,0 16.-7 三、解答题17.解：()Ⅰ由2cos cos cos b B a C c A =+可得2sin cos sin cos sin cos sin B B A C C A B =+=，故1cos 2B =， 所以3B π=.()Ⅱ方法一：由2,3b B π==，根据余弦定理可得224ac a c =+-，由基本不等式可得22424,ac a c ac =+-≥-所以4ac ≤， 当且仅当a c =时，等号成立.从而11sin 4222ABC S ac B ∆=≤⨯⨯= 故ABC △方法二：因为sin sin sin 2a b c A B C ====所以,a A c C ==，112sin sin sin()2233S ac B A C B A A π==⋅=-)6A π=-+ 当262A ππ-=，即3A π=时，max S =故ABC △18.解：()Ⅰ由散点图可以判断y c =+适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型.()Ⅱ令w =y 关于w 的线性回归方程$()()()()()()() 888881111188882222 11118i i i i i i i i i i ii i i i ii i i ii i i iy y w w w y wy yw wy w y wy w y wy dw w w w w w w w ===== ====----+--====----∑∑∑∑∑∑∑∑∑31280 6.85738681.6-⨯⨯==，$57368 6.8110.6c y dw=-=-⨯=$，所以y关于w的线性回归方程为$110.668y w=+，所以y关于x的线性回归方程为$110.668y x=+.()Ⅲ()i由()Ⅱ知，当64x=时，年销售量y的预报值为$110.66864654.6y=+=，年利润z的预报值为654.60.26466.92z=⨯-=$.()ii根据()Ⅱ的结果知，年利润z的预报值()20.2(110.668)13.622.12 6.868.36z x x x x x=⨯+-=-++=--+$，当 6.8x=，即46.24x=时，年利润的预报值最大，故年宣传费为46.24千元时，年利润预报值最大.19.()Ⅰ方法一：取PC中点M，连接MFDM,，FM,Θ分别是PBPC,中点,CBMFCBMF21,//=∴，EΘ为DA中点，ABCD为正方形，CBDECBDE21,//=∴，DEMFDEMF=∴,//,∴四边形DEFM为平行四边形，⊄∴EFDMEFΘ,//平面PDC，⊂DM平面PDC，//EF∴平面PDC.方法二：取PA中点N，连接NE，NF.EQ是AD中点，N是PA中点，//NE DP∴，又F Q 是PB 中点，N 是PA 中点，//NE AB ∴，//AB CD Q ，//NF CD ∴，又NE NF N =Q I ，NE ⊂平面NEF ，NF ⊂平面NEF ，DP ⊂平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，∴平面//NEF 平面PCD .又EF ⊂Q 平面NEF ，//EF ∴平面PCD .方法三：取BC 中点G ，连接EG ，FG ，在正方形ABCD 中，E 是AD 中点，G 是BC 中点//GE CD ∴又F Q 是PB 中点，G 是BC 中点，//GF PC ∴， 又PC CD C =I ，,GE GEF GF GEF ⊂⊂平面平面， ,PC PCD CD PCD ⊂⊂平面平面，∴平面GEF //平面PCD . EF ⊂Q 平面GEF//EF ∴平面PCD .()Ⅱ方法一：//EF Θ平面PDC ，F ∴到平面PDC 的距离等于E 到平面PDC 的距离， ⊥PA Θ平面ABCD ，PA DA ⊥∴，1==AD PA Θ，在PAD Rt ∆中2=DP ，⊥PA Θ平面ABCD ，PA CB ⊥∴，又⊥CB ΘAB ，A AB PA =I ,AB PAB PA PAB ⊂⊂平面，平面，CB ⊥∴平面PAB ，又PB ⊂Q 平面PAB ， CB PB ⊥∴,故3PC =.222PD DC PC +=∴，PDC ∆∴为直角三角形，Q PDE C PDC E V V --=，设E 到平面PDC 的距离为h ， 则11111121132322h ••••=••••， 24h =∴F ∴到平面PDC 的距离42.方法二：//EF Q 平面PCD ，∴点F 到平面PCD 的距离等于点E 到平面PCD 的距离，又Q AD I 平面PCD D =,E 是AD 中点，∴点A 到平面PCD 的距离等于点E 到平面PCD 距离的2倍.取DP 中点H ,连接AH ,由=AD AP 得AH PD ⊥,由AB AP ⊥,AB AD ⊥,AD AP A =I ,AP ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，AB ⊥∴平面PAD ，又//AB CD Q CD ⊥∴平面PAD ，∴平面PCD ⊥平面PAD . 又Q 平面PCD I 平面PAD PD =，AH PD ⊥，AH ⊂平面PAD ，AH ⊥∴平面PCD ，AH ∴长即为点A 到平面PCD 的距离，由1AP AD ==，AP AD ⊥，22AH ∴=. E ∴点到平面PCD 的距离为24， 即F 点到平面PCD 的距离为24.20. 解：()Ⅰ由12c a =可得，2a c =，又因为222b a c =-，所以223b c =. 所以椭圆C 方程为2222143x y c c +=，又因为3(1,)2M 在椭圆C 上，所以22223()12143c c+=.所以21c =，所以224,3a b ==，故椭圆方程为22143x y +=. ()Ⅱ方法一：设l 的方程为1x my =+，联立221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩， 消去x 得22(34)690m y my ++-=，设点1122(,),(,)A x y B x y ， 有121222690,,,3434m y y y y m m --∆>+==++ ()()2121212222224694343412134y y y y y y m m m m m -=+---⎛⎫=-⨯ ⎪++⎝⎭+=+ 所以()211214234m S m +=⨯+令21,1t m t =+≥， 有224241313t S t t t==++，由 函数13y t t=+，[1,)t ∈+∞[)2130,1,y t t '=->∈+∞ 故函数13y t t=+，在[1,)+∞上单调递增，故134t t +≥，故2242461313t S t t t ==≤++当且仅当1t =即0m =时等号成立，四边形APBQ 面积的最大值为6.方法二：设l 的方程为1x my =+，联立221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩， 消去x 得22(34)690m y my ++-=，设点1122(,),(,)A x y B x y ， 有121222690,,,3434m y y y y m m --∆>+==++有2212(1)||34m AB m +==+， 点(2,0)P -到直线l点(2,0)Q 到直线l从而四边形APBQ 的面积22112(1)234m S m +=⨯=+令1t t =≥， 有224241313t S t t t==++， 函数13y t t =+，[1,)t ∈+∞[)2130,1,y t t '=->∈+∞ 故函数13y t t =+，在[1,)+∞上单调递增， 有134t t +≥，故2242461313t S t t t==≤++当且仅当1t =即0m =时等号成立，四边形APBQ 面积的最大值为6.方法三：①当l 的斜率不存在时，:1l x =此时，四边形APBQ 的面积为6S =.②当l 的斜率存在时，设l 为：(1)y k x =-，(0)k ≠ 则22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩()22223484120k x k x k ∴+-+-=2212122284120,,3434k k x x x x k k -∆>+==++，1212()12y y k x x -=-== ∴四边形APBQ 的面积1214242S y y =⨯⨯-=令234(3)t k t =+> 则234t k -=6S =11(0)3t <<116)3S t =<<∴ 06S <<∴综上，四边形APBQ 面积的最大值为6.21.解：()Ⅰ令()()()ln (0)F x f x g x x x m x =-=-->，有11()1x F x x x-'=-=，当1x >时，()0F x '<，当01x <<时，()0F x '>，所以()F x 在(1,)+∞上单调递减，在(0,1)上单调递增，()F x 在1x =处取得最大值，为1m --，若()()f x g x ≤恒成立，则10m --≤即1m ≥-.()Ⅱ方法一：120x x <<Q ，211x x >∴， 11221122ln 0,ln ln ln 0x x m x x x x x x m --=⎧-=-⎨--=⎩Q ∴， 即2121ln ln x x x x -=-21211ln ln x x x x -=-∴， 欲证：121xx <21211ln ln x x x x -<=-，只需证明21ln ln x x -<只需证明21ln x x <.设1t =>，则只需证明12ln ,(1)t t t t<->， 即证：12ln 0,(1)t t t t -+<>. 设1()2ln (1)H t t t t t=-+>，22221(1)()10t H t t t t -'=--=-<， ()H t ∴在(1,)+∞单调递减，()(1)2ln1110H t H ∴<=-+=，12ln 0t t t-+<∴，所以原不等式成立. 方法二：由（1）可知，若函数()()()F x f x g x =-有两个零点，有(1)0F >，则1m <-，且1201x x <<<， 要证121x x <，只需证211x x <，由于()F x 在(1,)+∞上单调递减，从而只需证211()()F x F x >，由12()()0F x F x ==， 只需证111111()ln 0F m x x x =--<， 又111()ln 0F x x x m =--=，11ln m x x =-∴ 即证1111111111ln ln ln 0m x x x x x x --=-+-< 即证11112ln 0x x x -+-<，1(01)x <<. 令1()2ln (01)h x x x x x=-+-<<，2221221()10x x h x x x x -+'=+-=>， 有()h x 在(0,1)上单调递增，()(1)0h x h <=，11111()2ln 0h x x x x =-+-<∴. 所以原不等式121x x <成立.22.()Ⅰ解：联立⎩⎨⎧==θρθρcos 43cos ，23cos ±=θ， 20πθ<≤Θ，6πθ=，32=ρ， 交点坐标⎪⎭⎫ ⎝⎛6,32π.()Ⅱ设()θρ,P ,()00,θρQ 且004cos ρθ=，⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈2,00πθ， 由已知23OQ QP =u u u r u u u r ，得⎪⎩⎪⎨⎧==θθρρ0052， 2=4cos 5ρθ∴，点P 的极坐标方程为⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈=2,0,cos 10πθθρ. 23.解：()Ⅰ当m =-2时，()()4103223-2=1023452x x f x x x x x x ⎧⎪+≥⎪⎪⎛⎫=++-⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫--≤-⎪ ⎪⎝⎭⎩＜＜, 当4130x x +≤⎧⎨≥⎩解得12x ≤≤0；当30132x -≤＜＜，恒成立 当45332x x --≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩解得32x ≤≤--2 此不等式的解集为1-22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，. ()Ⅱ当(),0x ∈-∞时()3302223=3432mx f x x x m x m x ⎧⎛⎫+- ⎪⎪⎪⎝⎭=+++⎨⎛⎫⎪--+≤- ⎪⎪⎝⎭⎩＜＜， 当302x -＜＜时，不等式化为23+≥+m x x.由22[()()]+=--+-≤-=-x x x x 当且仅当2-=-x x即=x. 3m +≥-∴3m ≥--∴当32≤-x 时，不等式化为243--+≥+x m x x.253m x x ≥++∴，令253y x x=++，3(,]2x ∈-∞-. 22350,(,]2y x x '=->∈-∞-Q ，253y x x=++∴在3(,]2-∞-上是增函数. ∴当32=-x 时，253=++y x x 取到最大值为356-. ∴356m ≥-∴.综上3m ≥--。