小专题（十二）线段的计算
类型1 中点问题（整体思想）
【例】如图，点C 在线段AB 上，点M ，N 分别是AC ，BC 的中点.
（1）若9cm,6cm AC CB ==，则线段MN 的长为___________cm ： （2）若cm,cm AC a CB b ==，则线段MN 的长为___________cm ； （3）若AB m =cm ，求线段MN 的长度；
（4）若点C 为线段AB 上任意一点，且AB n =cm,其他条件不变，你能猜想MN 的长度吗？并用一句简洁的话描述你发现的结论. 【变式1】若MN k =cm ，求线段AB 的长.
【变式2】若将例题中的“点C 在线段AB 上”改为“点C 在线段AB 的延长线上”，其他条件不变，（3）中结论还成立吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由. 方法指导
如图，只要点C 在线段AB 所在直线上，点M ，N 分别是AC ，BC 的中点，那么
1
2
MN AB =
.
变式训练
1.如图，C 是线段AB 上一点，M 是AB 的中点，N 是AC 的中点，若8AB =cm ， 3.2AC =cm ，则线段MN 的长为____________cm.
2.如图，已知点C，D为线段AB上顺次两点，M，N分别是AC，BD的中点.
（1）若2410
AB CD
==
，，求MN的长；
（2）若AB a CD b
==
，，请用含a，b的式子表示出MN的长.
类型2 直接计算
3.如图，已知线段AB，按下列要求完成画图和计算：
（1）延长线段AB到点C,使2
BC AB
=,取线段AC的中点D；
（2）在（1）的条件下，如果4
AB=，求线段BD的长度.
类型3 方程思想
4.如图，已知B，C两点把线段AD分成2：5：3三部分，点M为AD的中点，6cm
BM=，求CM和AD的长.
5.如图，已知线段AB和CD的公共部分
11
34
BD AB CD
==，线段AB，CD的中点E，
F之间的距离是10cm，求AB，CD的长.
类型4 分类讨论思想
6.已知线段60
AB=cm，在直线AB上画线段BC，使20
BC=cm，点D是AC的中点，求CD的长度.
7.课间休息时小明拿两根木棒玩，小明说：“较短木棒AB长40cm，较长木棒CD 长60cm，将它们的一端重合，放在同一条直线上，此时两根木棒的中点分别是点E和点F，则点E和点F间的距离是多少？你说对了我就给你玩.”聪明的你请帮小华求出此时两根木棒的中点E和F间的距离是多少？
类型5 动态问题
8.如图，数轴上A，B两点对应的有理数分别为10和15，点P从点A出发，以每秒1
个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点Q同时从原点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒.
（1）当05
t
<<时，用含t的式子填空：BP=____________,AQ=___________. （2）当2
t=时，求PQ的值；
（3）当
1
2
PQ AB
=时，求t的值.
参考答案
【例】解：（1）
152（2）2
a b （3）因为点M ，N 分别是AC ，BC 的中点，所以1
1
,2
2MC
AC CN BC .又
因
为
MN
MC CN
，所以
1
1()cm.22
2m
MN
AC BC AB （4）猜想：1cm 22
n
MN AB .结论：若点C 为线段AB 上一点，且点M ，N 分别是AC ，BC 的中点，则1
2
MN
AB . 【变式1】解：因为点M 是AC 的中点，所以1
2
CM
AC .因为点N 是BC 的中点，所以1
2
CN
BC .所以1
1
()2
2
MN CM CN
AC BC AB .所以22cm AB MN
k .
【变式2】解：cm 2
m
MN
成立.当点C 在线段AB 的延长线上时，如图.
因为点M ，N 分别是AC ，BC 的中点，所以1
1
,22
MC
AC CN BC .又因为MN MC CN ，所以1
1()cm 222
m
MN
AC BC AB . 变式训练 1.2，4
2.解：（1）因为24,10AB CD .所以14AC DB .因为M ，N 分别为AC ，BD 的中点，所以1
1
,22CM
AC DN BD .所以1
()72
MC DN AC DB .所以17MN
MC DN CD .（2）因为,AB a CD b ，所以AC DB a b .所以
1
1
()()22
MC DN AC DB a b .所以1
()2
MN MC DN CD
a b b 1
()2
a b . 3.解：（1）图略.（2）因为2BC
AB ，且4AB ，所以8BC .所以
8412AC AB BC .因为D 为AC 中点，所以1
62
AD AC .所以642BD
AD AB .
4.解：设2cm,5cm,3cm AB x BC x CD x ，则10cm AD AB BC CD x .因为
M
是
AD 的中点，所以1
5cm 2
AM MD
AD x .所以
523cm BM
AM
AB x x x .因为6cm BM .所以36x .解得2x
.故
532224(cm),1010220(cm)CM MD CD x x x AD x .
5.解：设cm BD x ，则3cm,4cm,6cm AB x CD x AC
x .因为点E ，F 分别为
AB ，CD 的中点，所以1
1
1.5cm,2cm 2
2
AE
AB x CF CD x ，所以6 1.52 2.5EF
AC AE CF
x x x x （cm ）.因为10cm EF ，所以2.510x .
解得4x .所以12cm,16cm AB CD .
6.解：当点C 在线段AB 上时，如图1，11
()22
CD
AC AB BC 1
1
(6020)4020(cm)22；当点C 在线段AB 的延长线上时，如图2，11
1
1
()(6020)80402
2
2
2
CD
AC AB BC （cm ）.所以CD 的长度为20cm 或40cm.
7.解：如图1.当AB 在CD 的左侧且点B 和点C 重合时，因为点E 是AB 的中点，所以1
1
4020(cm)22
BE
AB .因为点F 是CD 的中点，所以11
6030(cm)22
CF
CD ，所以203050(cm)EF BE CF .如图2，当AB
在CD 上且点B 和点C 重合时，因为点E 是AB 的中点，所以
1
1
4020(cm)22
BE
AB .因为点F 是CD 的中点，所以
11
6030(cm)2
2
CF CD .所以302010(cm)EF CF BE .所以此时两根
木棒的中点E 和F 间的距离是50cm 或10cm.
8.解：（1）5t 102t （2）当2t 时，5AP .点P 在线段AB 上；10OQ ，
点Q 在线段OA 上.如图所示：
此时()(10)2108PQ OP OQ OA AP OQ t t t .
（3）|||()||(10)2||10|PQ OP OQ OA AP OQ t t t ，因为1
2
PQ AB ，所以|10|2t .5.解得7.5t 或12.5t .。