二项式定理练习题
1．展开
41(1)
x +． 2．展开6．
3．求12
()x a +的展开式中的倒数第4项
4．求（1）6(23)a b +，（2）6
(32)b a +的展开式中的第3项． (1) （2）
点评：6(23)a b +，6
(32)b a +的展开后结果相同，但展开式中的第r 项不相同
5．（1）求9(
3x 的展开式常数项； （2）求9
(3x +的展开式的中间两项
6．（1）求7
(12)x +的展开式的第4项的系数； （2）求91
()x x
-的展开式中3
x 的系数及二项式系数
7．求42
)43(-+x x 的展开式中x 的系数
8．已知
()()n
m
x x x f 4121)(+++= *(,)m n N ∈的展开式中含x 项的系数为36，求
展开式中含2x 项的系数最小值
9．已知
n 的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列，
（1）证明展开式中没有常数项；（2）求展开式中所有的有理项
10．求6
0.998的近似值，使误差小于0.001．
答案：
1．展开4
1(1)x
+．
解一： 411233
4444
11111(1)1()()()()C C C x x x x x
+=++++23446411x x x x =++++．
解二：4444413123
444111(1)()(1)()1x x C x C x C x x x x
⎡⎤+=+=++++⎣⎦ 2344641
1x x x x
=+
+++．
2．展开6
．
解：66
31
(21)x x =-
6152433221
6666631[(2)(2)(2)(2)(2)(2)1]x C x C x C x C x C x x
=
-+-+-+ 322360121
64192240160x x x x x x =-+-+-+．
3．求12
()
x a +的展开式中的倒数第4项
解：12
()x a +的展开式中共13项，它的倒数第4项是第10项，
91299339
39911212220T C x a C x a x a -+===．
4．求（1）6(23)a b +，（2）6
(32)b a +的展开式中的第3项．
解：（1）24242216(2)(3)2160T C a b a b +==， （2）24242
216(3)(2)4860T C b a b a +==．
点评：6(23)a b +，6
(32)b a +的展开后结果相同，但展开式中的第r 项不相同
5．（1）求9
(
3x
的展开式常数项； （2）求9
(
3x +
的展开式的中间两项
解：∵39929
2
19
9()33r r r r r r r x T C C x ---+==⋅， ∴（1）当3
90,62
r r -==时展开式是常数项，即常数项为637932268T C =⋅=； （2）9
(
3x 的展开式共10项，它的中间两项分别是第5项、第6项，
489
912
59
3423
T C x
x
--=⋅=，15
95109
2693T C x --=⋅= 6．（1）求7
(12)x +的展开式的第4项的系数；
（2）求91
()x x
-的展开式中3
x 的系数及二项式系数
解：7
(12)x +的展开式的第四项是333317(2)280T C x x +==，
∴7
(12)x +的展开式的第四项的系数是280． （2）∵91()x x
-的展开式的通项是9921991
()(1)r r
r r r r r T C x C x x
--+=-=-， ∴923r -=，3r =，
∴3x 的系数339(1)84C -=-，3
x 的二项式系数3984C =．
7．求42
)43(-+x x
的展开式中x 的系数分析：要把上式展开，必须先把三项中的某两项结合起来，看成一项，才可以用二项式定理展开，然后再用一次二项式定理，，也可以先把三项式分解成两个二项式的积，再用二项式定理展开
解：（法一）42)43(-+x x 4
2]4)3[(-+=x x
02412344(3)(3)4C x x C x x =+-+⋅22224(3)4C x x ++⋅3234
444(3)44C x x C -+⋅+⋅，
显然，上式中只有第四项中含x 的项，
∴展开式中含x 的项的系数是768433
3
4-=⋅⋅-C
（法二）：42)43(-+x x 4)]4)(1[(+-=x x 4
4)4()1(+-=x x
)(4434224314404C x C x C x C x C +-+-=0413222334444444(4444)C x C x C x C x C +⋅+⋅+⋅+⋅
∴展开式中含x 的项的系数是34C -3
34444C +768-=．
8．已知
()()n
m
x x x f 4121)(+++= *(,)m n N ∈的展开式中含x 项的系数为
36，求展开式中含2
x 项的系数最小值
分析：展开式中含2
x 项的系数是关于n m ,的关系式，由展开式中含x 项的系数为36，可得3642=+n m ，从而转化为关于m 或n 的二次函数求解
解：()()1214m n
x x +++展开式中含x 的项为
1124m n C x C x ⋅+⋅=11(24)m n C C x + ∴11
(24)36m n C C +=，即218m n +=，
()
()1214m
n
x x +++展开式中含2x 的项的系数为
t =222224m
n C C +222288m m n n =-+-， ∵218m n +=， ∴182m n =-，
∴2
2
2(182)2(182)88t n n n n =---+-2
16148612n n =-+
23715316()44n n =-
+，∴当378
n =
时，t 取最小值，但*
n N ∈， ∴ 5n =时，t 即2
x 项的系数最小，最小值为272，此时5,8n m ==．
9．已知
n 的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列，
（1）证明展开式中没有常数项；（2）求展开式中所有的有理项
解：由题意：1
221121()22
n n C C ⋅=+⋅，即0892=+-n n ，∴8(1n n ==舍去）
∴8
18
(r
r r
r T C
-+=⋅824
81()2r r r r C x x --=-⋅⋅()16384
12r r
r r C x -=-⋅08r r Z ≤≤⎛⎫
⎪∈⎝⎭
①若1+r T 是常数项，则
04
316=-r
，即0316=-r ， ∵r Z ∈，这不可能，∴展开式中没有常数项； ②若1+r T 是有理项，当且仅当
4
316r
-为整数， ∴08,r r Z ≤≤∈，∴ 0,4,8r =，
即 展开式中有三项有理项，分别是：4
1x T =，x T 8355=
，2
9256
1-=x T
10．求6
0.998的近似值，使误差小于0.001． 解：6
601
16
66660.998
(10.002)(0.002)(0.002)C C C =-=+-+
+-，
展开式中第三项为22
60.0020.00006C =，小于0.001，以后各项的绝对值更小，
可忽略不计，
∴6
601
1660.998
(10.002)(0.002)0.998C C =-≈+-=，
一般地当a 较小时(1)1n
a na +≈+。