选修2-3 1.3.1 二项式定理
一、选择题
1．二项式(a ＋b )2n 的展开式的项数是( )
A ．2n
B ．2n ＋1
C ．2n －1
D ．2(n ＋1)
2．(x －y )n 的二项展开式中，第r 项的系数是( )
A ．C r n
B ．
C r ＋1n
C ．C r －1n
D ．(－1)r －1C r －1n
3．在(x －3)10的展开式中，x 6的系数是( )
A ．－27C 610
B ．27
C 410
C ．－9C 610
D ．9C 410
4．(2010·全国Ⅰ理，5)(1＋2x )3(1－3x )5的展开式中x 的系数是( )
A ．－4
B ．－2
C ．2
D ．4
5．在⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x 3＋1x 2n (n ∈N *)的展开式中，若存在常数项，则n 的最小值是( ) A ．3
B ．5
C ．8
D ．10
6．在(1－x 3)(1＋x )10的展开式中x 5的系数是( )
A ．－297
B ．－252
C ．297
D ．207
7．(2009·北京)在⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2－1x n 的展开式中，常数项为15，则n 的一个值可以是( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
8．(2010·陕西理，4)(x ＋a x )5(x ∈R )展开式中x 3的系数为10，则实数a 等于
( )
A ．－1 B.12 C ．1
D ．2
9．若(1＋2x )6的展开式中的第2项大于它的相邻两项，则x 的取值范围是
( )
A.112＜x ＜15
B.16＜x ＜15
C.112＜x ＜23
D.16＜x ＜25
10．在⎝
⎛⎭⎪⎫32x －1220的展开式中，系数是有理数的项共有( ) A ．4项
B ．5项
C ．6项
D ．7项
二、填空题
11．(1＋x ＋x 2)·(1－x )10的展开式中，x 5的系数为____________．
12．(1＋x )2(1－x )5的展开式中x 3的系数为________．
13．若⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2＋1ax 6的二项展开式中x 3的系数为52，则a ＝________(用数字作答)． 14．(2010·辽宁理，13)(1＋x ＋x 2)(x －1x )6的展开式中的常数项为________．
三、解答题
15．求二项式(a ＋2b )4的展开式．
16．m 、n ∈N *，f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋x )n 展开式中x 的系数为19，求x 2的系数的最小值及此时展开式中x 7的系数．
17．已知在(3x －123x
)n 的展开式中，第6项为常数项．
(1)求n ；
(2)求含x 2的项的系数；
(3)求展开式中所有的有理项．
18．若⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋124x n 展开式中前三项系数成等差数列．求：展开式中系数最大的项．
1.[答案] B 2[答案] D 3 [答案] D
[解析] ∵T r ＋1＝C r 10
x 10－r (－3)r .令10－r ＝6， 解得r ＝4.∴系数为(－3)4C 410＝9C 410.
4[答案] C
[解析] (1＋2x )3(1－3x )5＝(1＋6x ＋12x ＋8x x )(1－3x )5，
故(1＋2x )3(1－3x )5的展开式中含x 的项为1×C 35(－3x )3＋12x C 05＝－10x ＋12x ＝2x ，
所以x 的系数为2.
5[答案] B
[解析] T r ＋1＝C r n (2x 3)n －r ()1x 2r ＝2n －r ·C r n
x 3n －5r . 令3n －5r ＝0，∵0≤r ≤n ，r 、n ∈Z .
∴n 的最小值为5.
6[答案] D
[解析] x 5应是(1＋x )10中含x 5项与含x 2项．
∴其系数为C 510＋C 210(－1)＝207.
7[答案] D
[解析] 通项T r ＋1＝C r 10(x 2)n －r (－1x
)r ＝(－1)r C r n x 2n －3r ，常数项是15，则2n ＝3r ，且C r n ＝15，验证n ＝6时，r ＝4合题意，故选D.
8[答案] D
[解析] C r 5·x r (a x
)5－r ＝C r 5·a 5－r x 2r －5，令2r －5＝3，∴r ＝4， 由C 45·
a ＝10，得a ＝2. 9[答案] A
[解析] 由⎩⎨⎧ T 2>T 1T 2>T 3得⎩⎨⎧
C 162x >1C 162x >C 26(2x )2∴112＜x ＜15. 10[答案] A
[解析] T r ＋1＝C r 20(32x )20－r ⎝⎛⎭⎫－12r ＝⎝⎛⎭
⎫－22r ·(32)20－r C r 20·x 20－r ， ∵系数为有理数，
∴(2)r 与220－r
3均为有理数，
∴r 能被2整除，且20－r 能被3整除，
故r 为偶数，20－r 是3的倍数，0≤r ≤20.
∴r ＝2,8,14,20.
11[答案] －162
12[答案] 5
[解析] 解法一：先变形(1＋x )2(1－x )5＝(1－x )3·(1－x 2)2＝(1－x )3(1＋x 4－2x 2)，展开式中x 3的系数为－1＋(－2)·C 13(－1)＝5；
解法二：C 35(－1)3＋C 12·C 25(－1)2＋C 22C 15
(－1)＝5. 13[答案] 2
[解析] C 36(x 2)3·()1ax
3＝20a 3x 3＝52x 3
，∴a ＝2. 14[答案] －5 [解析] (1＋x ＋x 2)()x －1x 6
＝()x －1x 6＋x ()x －1x 6＋x 2()x －1x 6，
∴要找出()x －1x 6中的常数项，1x 项的系数，1x 2项的系数，T r ＋1＝C r 6x 6－r (－1)r x －r ＝C r 6(－1)r x 6－2r ，
令6－2r ＝0，∴r ＝3，
令6－2r ＝－1，无解．
令6－2r ＝－2，∴r ＝4.
∴常数项为－C 36＋C 46＝－5.
15[解析] 根据二项式定理
(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n n b n n 得
(a ＋2b )4＝C 04a 4＋C 14a 3(2b )＋C 24a 2(2b )2＋C 34a (2b )3＋C 44(2b )4＝a 4＋8a 3b ＋24a 2b 2＋32ab 3＋16b 4.
16[解析] 由题设m ＋n ＝19，∵m ，n ∈N *.
∴⎩⎨⎧ m ＝1n ＝18，⎩⎨⎧ m ＝2n ＝17，…，⎩⎨⎧
m ＝18
n ＝1
. x 2的系数C 2m ＋C 2n ＝12(m 2－m )＋12
(n 2－n )＝m 2－19m ＋171. ∴当m ＝9或10时，x 2的系数取最小值81，此时x 7的系数为C 79＋C 710＝156. 17[解析] (1)T r ＋1＝C r n ·(3x )n －r ·(－123x
)r ＝C r n ·(x 13)n －r ·(－12·x －13
)r ＝(－12)r ·C r n ·x n －2r 3
. ∵第6项为常数项，
∴r ＝5时有n －2r 3
＝0，∴n ＝10. (2)令n －2r 3＝2，得r ＝12
(n －6)＝2， ∴所求的系数为C 210(－12)2＝454
. (3)根据通项公式，由题意得：⎩⎨⎧ 10－2r 3∈Z 0≤r ≤10r ∈Z
令10－2r 3
＝k (k ∈Z )，则10－2r ＝3k ， 即r ＝
10－3k 2＝5－32k . ∵r ∈Z ，∴k 应为偶数，∴k 可取2,0，－2，
∴r ＝2,5,8，∴第3项、第6项与第9项为有理项．
它们分别为C 210·(－12)2·x 2，C 510(－12
)5， C 810·(－12
)8·x －2. [解析] 通项为：T r ＋1＝C r n ·(x )n －r ·⎝ ⎛⎭
⎪⎫124x r . 由已知条件知：C 0n ＋C 2n ·122＝2C 1n ·12
，解得：n ＝8. 记第r 项的系数为t r ，设第k 项系数最大，则有： t k ≥t k ＋1且t k ≥t k －1.
又t r ＝C r －18·2－r ＋1，于是有：
⎩⎨⎧ C k
－18·2－k ＋1≥C k 8·2－k C k －18·2－k ＋1≥C k －28·2－k ＋2
即⎩⎪⎨⎪⎧
8！(k －1)！·(9－k )！×2≥8！k ！(8－k )！，8！(k －1)！·(9－k )！≥8！(k －2)！·(10－k )！×2. ∴⎩⎨⎧ 29－k ≥1k ，1k －1≥210－k .解得3≤k ≤4.
3 5和第4项T4＝7·x
7
4
.
∴系数最大项为第3项T3＝7·x。