10.3二项式定理【考纲要求】1、能用计数原理证明二项式定理.2、会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 【基础知识】1、二项式定理：nn n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+---ΛΛ222110)(二项式的展开式有1n +项，而不是n 项。
2、二项式通项公式：r r n r n r b a C T -+=1 （0,1,2,,r n =⋅⋅⋅） （1）它表示的是二项式的展开式的第1r +项，而不是第r 项（2）其中rn C 叫二项式展开式第1r +项的二项式系数，而二项式展开式第1r +项的系数是字母幂前的常数。
（3）注意0,1,2,,r n =⋅⋅⋅3、二项式展开式的二项式系数的性质（1）对称性：在二项展开式中，与首末两项“等距离”的两项的二项式系数相等。
即m nC =m n n C - （2）增减性和最大值：在二项式的展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值，如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等且最大。
（3）所有二项式系数的和等于2n ，即n nn n n n n n n n C C C C C C 212210=++++++--ΛΛ奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，即15314202-=+++=+++n n n n n n n C C C C C C ΛΛΛΛ4.二项展开式的系数0123,,,,n a a a a a ⋅⋅⋅的性质：对于2012()n n f x a a x a x a x =++++g g g 0123(1)n a a a a a f ++++⋅⋅⋅+=，0123(1)(1)n n a a a a a f -+-+⋅⋅⋅+-=-5、证明组合恒等式常用赋值法。
【例题精讲】例1 若,,......)21(2004200422102004R x x a x a x a a x ∈++++=-求（10a a +）+（20a a +）+……+（20040a a +）解：对于式子：,,......)21(2004200422102004R x x a x a x a a x ∈++++=- 令x=0，便得到：0a =1令x=1，得到2004210......a a a a ++++=1又原式：（10a a +）+（20a a +）+……+（20040a a +）=)......(2003)......(2004200421002004210a a a a a a a a a +++++=++++ ∴原式：（10a a +）+（20a a +）+……+（20040a a +）=2004 例2. 已知二项式n xx )2(2-，（n ∈N *）的展开式中第5项的系数与第3项的系数的 比是10：1，（1）求展开式中各项的系数和（2）求展开式中系数最大的项以及二项式系数最大的项 解：（1）∵第5项的系数与第3项的系数的比是10：1，∴110)2()2(2244=-⋅-⋅CC nn ，解得n=8 令x=1得到展开式中各项的系数和为(1-2)8=1(2) 展开式中第r 项, 第r+1项,第r+2项的系数绝对值分别为r n r C--⋅218,r r C 28⋅,1182++⋅r r C ,若第r+1项的系数绝对值最大,则必须满足：r n r C--⋅218≤r r C 28⋅ 并且1182++⋅r r C ≤r rC 28⋅，解得5≤r ≤6；所以系数最大的项为T 7=1792111x ⋅；二项式系数最大的项为T 5=112061x ⋅10.3二项式定理强化训练【基础精练】1．在二项式(x 2－1x)5的展开式中，含x 4的项的系数是 ( )A ．－10B ．10C ．－5D ．52．(2009·北京高考)若(1＋2)5＝a ＋b 2(a ，b 为有理数)，则a ＋b ＝ ( )A ．45B ．55C ．70D ．803．在( 1x＋51x3)n的展开式中，所有奇数项的系数之和为1 024，则中间项系数是( )A ．330B ．462C ．682D ．7924．如果⎝⎛⎭⎪⎫3x 2－2x 3n的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为 ( )A ．10B ．6C ．5D ．35．在⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －y 25的展开式中，系数大于－1的项共有 ( )A ．3项B ．4项C ．5项D ．6项 6．二项式41(1)n x +-的展开式中，系数最大的项是 ( )A ．第2n ＋1项B ．第2n ＋2项C ．第2n 项D ．第2n ＋1项和第2n ＋2项7．若(x 2＋1x3)n 展开式的各项系数之和为32，则其展开式中的常数项是________．8．（ x ＋2x2)5的展开式中x 2的系数是________；其展开式中各项系数之和为________．(用数字作答) 9．若⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －229的展开式的第7项为214，则x ＝________.10．已知(x －124x)n的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列．(1)证明：展开式中没有常数项； (2)求展开式中所有有理项．11．设(2x －1)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，求：(1)a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4；(2)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|； (3)a 1＋a 3＋a 5；(4)(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3＋a 5)2.【拓展提高】1．在(3x －2y )20的展开式中，求： (1)二项式系数最大的项； (2)系数绝对值最大的项； (3)系数最大的项．【基础精练参考答案】1.B 【解析】：T k ＋1＝C k 5x 2(5－k )(－x －1)k ＝(－1)k C k 5x 10－3k(k ＝0,1，…，5)，由10－3k ＝4得k ＝2.含x 4的项为T 3，其系数为C 25＝10.2.C 【解析】：由二项式定理得：(1＋2)5＝1＋C 152＋C 25(2)2＋C 35(2)3＋C 45(2)4＋C 55·(2)5＝1＋52＋20＋202＋20 ＋42＝41＋292，∴a ＝41，b ＝29，a ＋b ＝70.3.B 【解析】：∵二项式的展开式的所有项的二项式系数和为2n，而所有偶数项的二项式系数和与所有奇数项的二项式系数和相等．由题意得，2n －1＝1 024，∴n ＝11，∴展开式共有12项，中间项为第六项、第七项，系数为C 511＝C 611＝462.4.C 【解析】：∵T k ＋1＝C k n (3x 2)n －k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 3k ＝(－1)k ·C k n 3n －k ·2k ·x 2n －5k ， ∴由题意知2n －5k ＝0，即n ＝5k2，∵n ∈N *， k ∈N，∴n 的最小值为5.5.B 【解析】：⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －y 25的展开式共有6项，其中3项(奇数项)的系数为正，大于－1；第六项的系数为C 5520⎝ ⎛⎭⎪⎫－125＞－1，故系数大于－1的项共有4项． 6.A 【解析】：由二项展开式的通项公式T k ＋1＝41k n C + (－x )k＝(－1)k41kn C +x k，可知系数为(－1)k 41k n C +，与二项式系数只有符号之差，故先找中间项为第2n ＋1项和第2n ＋2项，又由第2n ＋1项系数为(－1)2n 41k n C +＝41kn C +，第2n ＋2项系数为(－1)2n ＋12141n n C ++＝－2141n n C ++＜0，故系数最大项为第2n ＋1项．7.10【解析】：展开式中各项系数之和为S ＝C 0n ＋C 1n ＋…＋C n n ＝2n＝32，∴n ＝5.T k ＋1＝5k C ()52kx － (1x3)k ＝5k C 1023k k x －－＝5kC 105k x －，∴展开式中的常数项为T 3＝C 25＝10.8. 10 253【解析】：∵T k ＋1＝C k 5x 5－k ·(2x2)k ＝C k 5x5－3k·2k ， 由5－3k ＝2，∴k ＝1，∴x 2的系数为10. 令x ＝1得系数和为35＝243.9. －13【解析】：由T 7＝C 6923x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－226＝214，∴x ＝－13.10.【解析】依题意，前三项系数的绝对值是1，C 1n (12)，C 2n (12)2，且2C 1n ·12＝1＋C 2n (12)2，即n 2－9n ＋8＝0，∴n ＝8(n ＝1舍去)， ∴展开式的第k ＋1项为C k 8(x )8－k (－124x)k＝(－12)k C k 8·x8－k 2·x －k 4＝(－1)k ·C k82k ·x 16－3k 4. (1)证明：若第k ＋1项为常数项， 当且仅当16－3k4＝0，即3k ＝16， ∵k ∈Z，∴这不可能，∴展开式中没有常数项． (2)若第k ＋1项为有理项，当且仅当16－3k4为整数， ∵0≤k ≤8，k ∈Z，∴k ＝0,4,8， 即展开式中的有理项共有三项，它们是：T 1＝x 4，T 5＝358x ，T 9＝1256x －2.11.【解析】设f (x )＝(2x －1)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5， 则f (1)＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝1，f (－1)＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝(－3)5＝－243.(1)∵a 5＝25＝32，∴a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝f (1)－32＝－31. (2)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 5| ＝－a 0＋a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5 ＝－f (－1)＝243.(3)∵f (1)－f (－1)＝2(a 1＋a 3＋a 5)， ∴a 1＋a 3＋a 5＝2442＝122. (4)(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3＋a 5)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5) ＝f (1)×f (－1)＝－243. 【拓展提高参考答案】(3)由于系数为正的项为奇数项，故可设第2k －1项系数最大，于是2222222242424202022222222202220203232,3232k k k k k k k k k k k kC C ----------⎧⎪⎨⎪⎩g g gg g g g g ≥C ≥C 化简得221014310070.10163924k k k k ⎧-⎪⎨+-⎪⎩g ≤≥0又k 为不超过11的正整数，可得k ＝5，即第2×5－1＝9项系数最大，T 9＝C 820·312·28·x 12·y 8.。