d e
z0
a H Ea c
HK a
2c z0 Ka
1 Ea ( H z0 )(HK a 2c K a ) 2 2 1 c H 2 K a 2cH K a 2 2
H z0 3
2c K a
b
2、被动土压力
当墙受到外力作用而被推向土体时，
填土中任意一点的竖向应力 z z 仍不变，
相应主动土压力强度
z＋q
h
pa (z＋q) Ka
A点土压力强度 B点土压力强度
z
B
若填土为粘性土，c＞0 临界深度z0
paA qKa paB (h＋q) Ka
z0 ＞0说明存在负侧压力区，计 算中应不考虑负压力区土压力



或
2
2
p zK p 2c K p
Kp 称为朗肯被动土压力系数
K p tg (45
2

2
)
z
p ztg (45 )
2

2
从以上公式可知：无粘性土的被动土压 力强度呈三角形分布。
Ep
H 3
H
1 E p H 2 K p 2
HK p
从以上公式可知：粘性土的被动土压力 强度呈梯形分布。
下 ep HK p 2c K p 19.0 6.0 3 2 10.0 3 376 .64 kPa
1 Ep H 2 K p 2cH K p 2 1 19.0 6.0 2 3 2 10.0 6.0 3 1233 .85 kN/m 2
E0
1 1 H 2 K 0 18.5 6.0 2 0.5 2 2
55.5kPa

=166.5 kN/m 4）静止土压力合力作用点
h H 3 6.0 / 3 2.0
例6-1计算图
静止土压力沿墙背的分布及其合力的作用点位置如图。
2.0m
7.2.2 朗肯土压力理论
朗肯土压力理论(Rankine,1857) （Rankine's earth pressure theory） 是根据半空间的应力状态和土的极限平衡条 件而得出的土压力计算方法。
静止土压力的分布
静止土压力分布 三角形分布 土压力作用点 作用点距墙底H/3
【例题 6-1】 已知某建于基岩上的挡土墙， 墙高 H＝6.0m， 墙后填土为中砂， 重度 ＝18.5kN/m3 ，内摩擦角 ＝30°。计算作用在此挡土墙上的静止土压力， 并画出静止土压力沿墙背的分布及其合力的作用点位置。
※ 朗肯土压力理论的假设： 1.挡土墙背面竖直； 2.墙背光滑； 3.墙后填土面水平。
1、主动土压力 粘性土（极限平衡状态)
1 3 tg (45 ) 2c tg(45 )
2


或
2
2
2
3 1tg (45 ) 2c tg(45 )

合力作用点在离挡土墙底面高 h1 处， h1 6.0 / 3 2.0 m。 2）挡土墙上的被动土压力的计算
K p tan2 (45 / 2) tan2 (45 30 / 2) 3
上 ep 0 kPa；
下 ep HKp 19.0 6.0 3 3 4 .2 0 kPa
2）主动土压力 （Active earth pressure)
3）被动土压力 （Passive earth pressure)
1） 静止土压力（E0）
挡土墙在墙后填土的推力作用下，不发生任何方向的移动或转动时， 墙后土体没有破坏，而处于弹性平衡状态，作用于墙背的水平压力称为静 止土压力E0 。 例如，地下室外墙在楼面和内隔墙的支撑作用下几乎无位移发生，作 用在外墙面上的土压力即为静止土压力。
力，称为被动土压力Ep（土体被动地被墙推移）。
+△
R
Ep
Ep
滑裂面
工程实例
桥台后为被动土压力
工程实例
墙前为被动土压力

土压力及位移量间的关系
- △ a +△ p
E
Ep Ea -△
o
△a
Eo
△p
+△
对同一挡土墙，在填土 1. Ea ＜Eo ＜＜Ep 的物理力学性质相同的 2. △p ＞＞△a 条件下有以下规律：
主动土压力系数
K a t an2 45o ＝0.49 2
(h-z0)/3
墙底处土压力强度
pa hKa 2c K a＝ 38.8kPa
Ea
6m
临界深度
z0 2c /( K a )＝ 1.34m
hKa-2c√Ka
主动土压力 主动土压力作用点 距墙底的距离
Ea (h z0 )(hKa 2c K a ) / 2 ＝ 90.4kN / m
【解】 1）挡土墙上的主动土压力的计算
K a tan2 (45 / 2) tan2 (45 30 / 2) 1/ 3
下 上 HKa 19.0 6.0 1/ 3 38.0 kPa ea 0 kPa； ea
Ea H 2 K a / 2 19.0 6.02 1/ 6 114.0 kN/m
静止土压力的合力作用点在离挡土墙底面高 2.0m 处。 2）挡土墙上的主动土压力的计算
K a tan2 (45 / 2) tan2 (45 30 / 2) 1/ 3 ；
z0 2c 2 10 1.82 m Ka 19 1/ 3
上 ea 2c K a 2 10.0 1 / 3 11.55 kPa
HK a
1.无粘性土主动土压力强度与z成正比，沿墙高呈三
角形分布 2.合力大小为分布图形的面积，即三角形面积 3.合力作用点在三角形形心，即作用在离墙底 H/3处
2) 粘性土的主动土压力强度包括两部分： 一部分是由自重引起的土压力强度 zK a，另 一部分是由粘聚力引起的负侧压力强 度 2c K a 。
38.0kPa
342.0kPa
a)主动土压力
b)被动土压力
例题分析
• 【例】有一挡土墙，高6米，墙背直立、光滑，墙后填土
面水平。填土为粘性土，其重度、内摩擦角、粘聚力如下 图所示 ，求主动土压力及其作用点，并绘出主动土压力 分布图
h=6m
=17kN/m3
c=8kPa
=20o
• 【解答】
2c√Ka z0
-△
E0
Eo a
工程实例
填土
静止土压力
E
地下室
地下室侧墙
2） 主动土压力（Ea ） 挡土墙在填土压力作用下，向着背离土体方向发生移动或转动时，墙 后土体由于侧面所受限制的放松而有下滑的趋势，土体内潜在滑动面上的 剪应力增加，使作用在墙背上的土压力逐渐减小。当挡土墙的移动或转动 达到一定数值时，墙后土体达到主动极限平衡状态，此时作用在墙背上的
合力作用点在离挡土墙底面高 h2 处，
34.64 6.0 3.0 1 / 2 (376 .64 34.64) 6.0 2.0 h2 2.17 1233 .85
4）绘制挡土墙上的静止土压力、主动土压力、被动土压力沿深度的分布图。
11.55kPa
34.64kPa
挡
6m
下 ea HKa 2c K a 19.0 6.0 1 / 3 2 10.0 1 / 3 26.45 kPa
1 2 2c 2 Ea H Ka 2cH Ka 2
1 2 10.0 2 2 19.0 6.0 1 / 3 2 10.0 6.0 1 / 3 55.24kN/m 2 19.0
(1 / 3)(h z0 ) 1.55m
【例题 6-3】 某混凝土挡土墙墙高为 H=6.0m，墙背竖直光滑，墙后填土面 水平。填土重度 =19.0kN/m3，粘聚力 c =10kPa，内摩擦角 =30°。计算作用 在此挡土墙上的静止土压力、主动土压力、被动土压力，并画出土压力分布图。
合力作用点在离挡土墙底面高 h1 处， h1 (6.0 1.82) / 3.0 1.39 m。 3）挡土墙上的被动土压力的计算
K p tan2 (45 / 2) tan2 (45 30 / 2) 3
上 ep 2c K p 2 10 .0 3 34.64 kPa
1.82m
土 墙
E 0=171.00kN/m E a=55.24kN/m
2m 1.39m
E p=1233.85kN/m
2.17m
376.64kPa
57.00kPa
26.45kPa
a）静止土压力
b)主动土压力
c)被动土压力
• 几种常见情况下土压力计算

1.填土表面有均布荷载（以无粘性土为例）
q A
填土表面深度z处竖向应力为(q+z)
土压力，称为主动土压力Ea （土体主动推墙）。
-△
+△
Ea
Ea
R
Ep
滑裂面
工程实例
墙后为主动土压力
3）被动土压力（Ep）
当挡土墙在较大的外力作用下，向着土体的方向移动或转动时，墙后 土体由于受到挤压，有向上滑动的趋势，土体内潜在滑动面上的剪应力反 向增加，使作用在墙背上的土压力逐渐增大。当挡土墙的移动或转动达到 一定数值时，墙后土体达到被动极限平衡状态，此时作用在墙背上的土压
而水平向应力x 却逐渐增大，直至出现被
动朗肯状态。此时，x 达最大限值p，因
此p 是大主应力，也就是被动土压力强度，
而z 则是小主应力。
由极限平衡条件公式可得
无粘性土