练习一 力学（质点和刚体、运动学和动力学）一、选择题:1.某质点的运动方程为6533+-=t t x (SI)，则该质点作(A)匀加速直线运动，加速度沿X 轴正方向. (B)匀加速直线运动，加速度沿X 轴负方向． (C)变加速直线运动，加速度沿X 轴正方向．(D )变加速直线运动，加速度沿X 轴负方向．参考解答： 速度2153d d t t x v -==，加速度t tv a 30d d -== 加速度随时间变化，为变加速运动；当t >0后，a <0，开始时v >0，为减速运动；后来v <0，为加速运动。

2.某物体的运动规律为t kv t v a 2d d -==，式中的k 为大于零的常数．当0=t 时，初速为0v ，则速度v 与时间t 的函数关系是 (A)0221v kt v +=(B)0221v kt v +-= (C )021211v kt v += (D)021211v kt v +-=．参考解答： 分离变量积分。

t kv t v 2d d -=，分离变量成t kt v v d d 2-=，两边积分⎰⎰-=tv v t t k v v 02d d 0，得202111kt v v -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-- 整理可得结果。

3.如图所示，质量为m 的物体用细绳水平拉住，静止在倾角为θ的固定的光滑斜面上，则斜面给物体的支持力为 (A)θcos mg . (B)θsin mg . (C )θcos mg . (D) θsin mg.参考解答：物体受力分析。

由于物体静止，合力为零。

列牛二力学方程 水平方向：0sin =-θN T 垂直方向：0cos =-mg N θ根据垂直关系可求结果，根据水平关系可求细绳中的张力。

4.如图，物体A 、B 质量相同，B 在光滑水平桌面上，滑轮与绳的质量以及空气阻力均不计，滑轮与其轴之间的摩擦也不计．系统无初速地释放，则物体A 下落的加速度是(A)g . (B)2/g . (C)3/g . (D )5/4g .参考解答：隔离物体受力分析。

假设加速度a A 和a B 。

列牛二定律方程 B 物体方程：B 2ma T = A 物体方程：A 1ma T mg =-附属关系：122T T =，B A 2a a =联立求解上述方程，可以得到各物理量，其中a A 即为答案。

5.对于一个物体系来说，在下列条件中，那种情况下系统的机械能守恒? (A)合外力为0． (B)合外力不作功．(C )外力和非保守内力都不作功. (D)外力和保守内力都不作功．参考解答：动量守恒的条件：合外力为零，其冲量即为零，内力的合力为零。

外力做功，内力也做功，无论它们的合力是否为零，因为各力有不同的作用点，各作用点有不同的位移，故做功可能不为零。

当把内保守力的功归结为系统的势能后，保守力的功不再计算。

机械能守恒的条件：外力做功和内非保守力做功均为零或不做功。

6.质量为m 的一艘宇宙飞船关闭发动机返回地球时，可认为该飞船只在地球的引力场中运动．已知地球质量为M ，万有引力恒量为G ．则当它从距地球中心1R 处下降到2R 处时，飞船增加的动能应等于 (A)2R GMm (B)22R GMm(C )2121R R R R GMm - (D)2121R R R GMm - (E)222121R R R R GMm -参考解答：系统间只有万有引力，为保守力，系统的机械能守恒。

两个状态的机械能11k 1p 1k 1R Mm GE E E E -=+=和22k 2p 2k 2R MmG E E E E -=+=相等。

后式减去前式得动能增量2121121k 2k k R R R R GMm R Mm G R Mm G E E E -=-=-=∆7.如图所示，有一个小块物体，置于一个光滑的水平桌面上，有一绳其一端连结此物体，另一端穿过桌面中心的小孔，该物体原以角速度ω在距孔为R 的圆周上转动，今将绳从小孔缓慢往下拉．则物体(A)动能不变，动量改变． (B)动量不变，动能改变． (C)角动量不变，动量不变．(D)角动量改变，动量改变. (E )角动量不变，动能、动量都改变.参考解答：由于绳拉物体的力不为零，所以物体动量不守恒。

由于绳拉物体的力总是通过转动中心，故其力矩为零。

所以物体角动量守恒。

由于物体运动半径逐步缩小，其位移方向不与半径垂直，故绳中的外力要做功，物体动能改变。

8.光滑的水平桌面上有长为l 2、质量为m 的匀质细杆，可绕过其中点O 且垂直于桌面的竖直固定轴自由转动。

起初杆静止．有一质量为m 的小球沿桌面正对着杆的一端，在垂直于杆长的方向上，以速率v 运动，如图所示．当小球与杆端发生碰撞后，就与杆粘在一起随杆转动．则这一系统碰撞后的转动角速度是 (A)12lv . (B)lv 32. (C )l v 73. (D)l v 43.参考解答：这是一个质点与刚体碰撞的问题。

无论是完全弹性还是完全非弹性碰撞，系统的角动量总是守恒的，因为关于转轴的合外力矩等于零，内力矩的和总是等于零的。

角动量守恒()ωωω22121l m l ml J l v m mvl +=+'= 或者 ()ωJ ml mvl +=2 解得ωωωl l l v 37431=+=二、填空题：1.已知质点运动方程为(S I) j )4(i )25(331221 t t t t r ++-+=,当t = 2s 时，=a .参考解答：加速度是位置矢量的二阶导数。

求导时注意到直角坐标系中的单位矢量是不变的。

(SI) j )4(i )2(d d 2t t t r v ++-==(SI) j )2(i )1(d d t tv a +-==将t = 2s 代入上式得到(S I) j )4(i )1(+-=a 或者2m/s j 4i +-2.试说明质点作何种运动时，将出现下述各种情况(0≠v )：(1)0,0≠≠n t a a ; .(2)0,0=≠n t a a ; .t a 、n a 分别表示切向加速度和法向加速度.参考解答：切向加速度和速度方向相同，该加速度用来改变速度的大小。

法向加速度和速度方向垂直，该加速度仅用来改变速度的方向。

速度大小和方向都不改变的运动是匀速直线运动；速度大小和方向都改变的运动是变速曲线运动，变速圆周运动是个特例； 速度大小改变而方向不变的运动是变速直线运动。

3.质量为m 的小球，用轻绳AB 、BC 连接，如图．剪断绳AB 前后的瞬间，绳BC 中的张力比T :='T .参考解答：物体受力分析。

剪断前是个力平衡问题。

水平方向：0sin =-F T θ 垂直方向：0cos =-mg T θ剪断后，小球下摆，做圆弧运动。

切向方向：Rv m m g 2sin =θ法向方向：0cos =-'θmg T根据上述垂直方向和法向方向的两个方程，可解得θ2cos 1='T T 。

4.一小珠可以在半径为R 的铅直圆环上作无摩擦滑动，今使圆环以角速度ω绕圆环竖直直径转动．要使小珠离开环的底部而停在环上某一点，则角速度ω最小应大于 .参考解答：这是一个质点动力学问题。

质点做水平面内的圆周运动。

分析受力，列出方程。

水平方向：2sin ωθmr N = 垂直方向：0cos =-mg N θ 其中θsin R r =。

两个方向的式子相除，解得θωcos R g=：其最小值为0=θ时，Rg =ω 其最大值为︒=90θ时，∞=ω，为什么？有摩擦力时如何？5.一吊车底板上放一质量为10kg 的物体，若吊车底板加速上升，加速度大小为t a 53+=(SI)，则2秒内吊车底板给物体的冲量大小I =_________;2秒内物体动量的增量大小p ∆=_________.参考解答：物体与底板一同上升，受合力为F = ma ，其中包含底板给的向上的支持力N 和向下的重力mg ，即F = N-mg 。

底板支持力N 的冲量()s N 35628.92252310253d d 2202221⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+⎪⎭⎫⎝⎛⨯+⨯⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+==⎰⎰gt t t m t mg ma t N I t t根据质点的冲量动量定理s N 1602252310253d d 22022021⋅=⎪⎭⎫⎝⎛⨯+⨯⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛+===∆⎰⎰t t m t m a t F p t t6.质量1=m kg 的物体，在坐标原点处从静止出发在水平面内沿X 轴运动，其所受合力方向与运动方向相同，合力大小为F=3+2x (SI)，那么，物体在开始运动的3m 内，合力所作功W =__________；且m 3=x 时，其速率v =__________.参考解答： 物体受合力做功()()()J 183333d 23d 232321=+⨯=+=+==⎰⎰x x x x x F W x x根据质点的动能定理W mv E =-=∆0212k ，解得 s /m 611822=⨯==m W v 从加速度到速度,用一次积分?7.半径为20cm 的主动轮，通过皮带拖动半径为50cm 的被动轮转动，皮带与轮之间无相对滑动．主动轮从静止开始作匀角加速转动。

在4s 内被动轮的角速度达到-1s rad π8⋅，则主动轮在这段时间内转过了 圈．参考解答：（1）匀加速转动，有()020220002 ,21 ,θθαωωαωθθαωω-+=++=+=t t t从静止开始t αω=得到tωα=，被动轮转过的角度t t t t ωωαθθθ212121220===-=∆被或者π164π8212122 220=⨯⨯====-=∆t t ωωωαωθθθ被 （2）皮带没有滑动，传动时主动轮和被动轮的边缘速度大小相同被被主主ωωr r =，也即转过的弧长相同，有被被主主θθ∆=∆R R 或者π40π162050=⨯=∆=∆被主被主θθR R 主动轮转过的圈数圈主 20π20π4π2==∆=θn8.一长为l 、重W 的均匀梯子，靠墙放置，如图．梯子下端连一倔强系数为k 的弹簧，当梯子靠墙竖直放置时，弹簧处于自然长度．墙和地面都是光滑的．当梯子依墙而与地面成θ角且处于平衡状态时，(1)地面对梯子的作用力的大小为 .(2)墙对梯子的作用力的大小为 .(3)W 、k 、l 、θ应满足的关系式为 ．参考解答：这是一个刚体平衡问题。

刚体平衡（静止）要求合外力为零，且合外力矩也为零。

需要受力分析，列方程求解。

墙面给予的支持力总是垂直于墙面的，力平衡 水平方向：022=-=-N kx N F 垂直方向：01=-W N力矩平衡（可任意假设一个转轴点），取A 点为转轴0cos 2sin 2=-θθlW l N 其它关系θcos l x =联立解得：θθsin 2 ,cos ,21kl W kl N W N ===三、证明题：1.质量为m 的小球，在水中受的浮力为常力F ，当它从静止开始沉降时，受到水的粘滞阻力为kv f -=(k 为常数)．证明小球在水中竖直沉降的速度v 与t 的关系为)1(/m kt e kFmg v ---=，式中t 为从沉降开始计算的时间．1.证：质点动力学问题。