第3讲 函数的奇偶性、对称性1．函数的奇偶性 奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )是偶函数关于y 轴对称 奇函数如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )是奇函数关于原点对称 (1)f (x )为奇函数⇔f (x )的图象关于原点对称；f (x )为偶函数⇔f (x )的图象关于y 轴对称． (2)如果函数f (x )是偶函数，那么f (x )＝f (|x |)．(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f (x )＝0，x ∈D ，其中定义域D 是关于原点对称的非空数集．(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．3．函数的对称性(1)若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a ＋b2对称，特别地，当a ＝b ＝0时，函数y ＝f (x )关于y 轴对称，此时函数y ＝f (x )是偶函数．(2)若函数y ＝f (x )满足f (x )＝2b －f (2a －x )，则函数y ＝f (x )关于点(a ，b )对称，特别地，当a ＝0，b ＝0时，f (x )＝－f (－x )，则函数y ＝f (x )关于原点对称，此时函数f (x )是奇函数．[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若f (x )是定义在R 上的奇函数，则f (－x )＋f (x )＝0.( ) (2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( )(3)如果函数f (x )，g (x )为定义域相同的偶函数，则F (x )＝f (x )＋g (x )是偶函数．( ) (4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．( )(5)若函数f (x )＝x 2＋(a ＋2)x ＋b ，x ∈[a ，b ]的图象关于直线x ＝1对称，则a ＋b ＝2.( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√ (5)√ [教材衍化]1．(必修1P35例5改编)下列函数中为偶函数的是( ) A ．y ＝x 2sin x B ．y ＝x 2cos x C ．y ＝|ln x |D ．y ＝2－x解析：选B.根据偶函数的定义知偶函数满足f (－x )＝f (x )且定义域关于原点对称，A 选项为奇函数，B 选项为偶函数，C 选项定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性，D 选项既不是奇函数，也不是偶函数．故选B.2．(必修1P45B 组T6改编)已知函数f (x )是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数，且在区间[a ，b ](a <b <0)上的值域为[－3，4]，则在区间[－b ，－a ]上的值域为________．解析：法一：根据题意作出y ＝f (x )的简图，由图知函数f (x )在[－b ，－a ]上的值域为[－4，3]法二：当x ∈[－b ，－a ]时，－x ∈[a ，b ]， 由题意得f (b )≤f (－x )≤f (a )， 即－3≤－f (x )≤4， 所以－4≤f (x )≤3，即在区间[－b ，－a ]上的值域为[－4，3]． 答案：[－4，3]3．(必修1P45B 组T4改编)设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x <0，x ，0≤x <1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝________． 解析：f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫2－12＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－4×⎝⎛⎭⎫－122＋2＝1. 答案：1 [易错纠偏](1)利用奇偶性求解析式时忽视定义域；(2)忽视奇函数的对称性； (3)忽视定义域的对称性．1．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2＋4x －3，则函数f (x )的解析式为f (x )＝________．解析：设x <0，则－x >0，所以f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2＋4(－x )－3]＝－x 2＋4x ＋3，由奇函数的定义可知f (0)＝0，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x －3，x >0，0，x ＝0，－x 2＋4x ＋3，x <0.答案：⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x －3，x >0，0，x ＝0，－x 2＋4x ＋3，x <02.设奇函数f (x )的定义域为[－5，5]，若当x ∈[0，5]时，f (x )的图象如图所示，则不等式f (x )<0的解集为________．解析：由题图可知，当0<x <2时，f (x )>0；当2<x ≤5时，f (x )<0，又f (x )是奇函数，所以当－2<x <0时，f (x )<0，当－5≤x <－2时，f (x )>0.综上，f (x )<0的解集为(－2，0)∪(2，5]．答案：(－2，0)∪(2，5]3．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1，2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是________． 解析：因为f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1，2a ]上的偶函数， 所以a －1＋2a ＝0， 所以a ＝13.又f (－x )＝f (x )， 所以b ＝0， 所以a ＋b ＝13.答案：13判断函数的奇偶性(1)函数y ＝|x －4|－49－x 2的奇偶性是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数(2)(2020·“七彩阳光”联盟联考)已知函数f (x )＝|e |x |－2e|＋e |x |，g (x )＝3sin 2x ，下列描述正确的是( )A ．f (g (x ))是奇函数B ．f (g (x ))是偶函数C ．f (g (x ))既是奇函数又是偶函数D ．f (g (x ))既不是奇函数又不是偶函数【解析】 (1)由9－x 2>0可得－3<x <3，所以x －4<0， f (x )＝|x －4|－49－x 2＝4－x －49－x 2＝－x 9－x 2，f (－x )＝|x ＋4|－49－x 2＝4＋x －49－x2＝x 9－x 2＝－f (x )，所以函数y ＝|x －4|－49－x2是奇函数，故选A.(2)由题意知f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，f (g (－x ))＝f (－g (x ))＝f (g (x ))，故f (g (x ))是偶函数．【答案】 (1)A (2)B判定函数奇偶性的3种常用方法(1)定义法(2)图象法(3)性质法①设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．②复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇，一偶则偶”．[提醒](1)“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．(2)判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(－x)与f(x)的关系，只有对各段上的x都满足相同关系时，才能判断其奇偶性．1．设f(x)＝e x＋e－x，g(x)＝e x－e－x，f(x)，g(x)的定义域均为R，下列结论错误的是() A．|g(x)|是偶函数B．f(x)g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是偶函数D．f(x)＋g(x)是奇函数解析：选D.f(－x)＝e－x＋e x＝f(x)，f(x)为偶函数．g(－x)＝e－x－e x＝－g(x)，g(x)为奇函数．|g(－x)|＝|－g(x)|＝|g(x)|，|g(x)|为偶函数，A正确；f(－x)g(－x)＝f(x)[－g(x)]＝－f(x)g(x)，所以f(x)g(x)为奇函数，B正确；f(－x)|g(－x)|＝f(x)|g(x)|，所以f(x)|g(x)|是偶函数，C正确；f(x)＋g(x)＝2e x，f(－x)＋g(－x)＝2e－x≠－(f(x)＋g(x))，且f(－x)＋g(－x)＝2e－x≠f(x)＋g(x)，所以f(x)＋g(x)既不是奇函数也不是偶函数，D错误，故选D.2．判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝3－2x＋2x－3；(2)f(x)＝4－x2|x＋3|－3；(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ＞0，x 2－x ，x ＜0.解：(1)因为函数f (x )＝3－2x ＋2x －3的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫32，不关于坐标原点对称，所以函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0|x ＋3|－3≠0，得－2≤x ≤2且x ≠0，所以f (x )的定义域为[－2，0)∪(0，2]，关于原点对称． 所以f (x )＝4－x 2（x ＋3）－3＝4－x 2x. 所以f (x )＝－f (－x )， 所以f (x )是奇函数．(3)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当x ＞0时，f (x )＝x 2＋x ，则当x ＜0时，－x ＞0，故f (－x )＝x 2－x ＝f (x )；当x ＜0时，f (x )＝x 2－x ， 则当x ＞0时，－x ＜0， 故f (－x )＝x 2＋x ＝f (x )， 故原函数是偶函数．函数奇偶性的应用(1)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________．(2)已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)等于________．【解析】 (1)因为f (x )为偶函数， 所以f (－x )－f (x )＝0恒成立， 所以－x ln(－x ＋a ＋x 2)－x ln(x ＋a ＋x 2)＝0恒成立，所以x ln a ＝0恒成立，所以ln a ＝0，即a ＝1.(2)f (－1)＋g (1)＝2，即－f (1)＋g (1)＝2①， f (1)＋g (－1)＝4，即f (1)＋g (1)＝4②， 由①②得，2g (1)＝6，即g (1)＝3. 【答案】 (1)1 (2)3已知函数奇偶性可以解决的4个问题(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解． (2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出． (3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f (x )±f (－x )＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性得参数的方程或方程(组)，进而得出参数的值．(4)画函数图象：利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象．1．已知函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1(x ∈R )，若f (a )＝2，则f (－a )的值为( ) A ．3 B ．0 C ．－1D ．－2解析：选B.设F (x )＝f (x )－1＝x 3＋sin x ，显然F (x )为奇函数，又F (a )＝f (a )－1＝1，所以F (－a )＝f (－a )－1＝－1，从而f (－a )＝0.故选B.2．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3（x ＋1），x ≥0，g （x ），x <0，则g (f (－8))＝( )A ．－1B ．－2C ．1D ．2解析：选A.因为f (x )为奇函数，所以f (－8)＝－f (8) ＝－log 39＝－2，所以g [f (－8)]＝g (－2)＝f (－2)＝－f (2) ＝－log 33＝－1.3．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x (1＋x )，则x ＜0时，f (x )＝________．解析：当x ＜0时，则－x ＞0，所以f (－x )＝(－x )(1－x )．又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )＝(－x )(1－x )，所以f (x )＝x (1－x )．答案：x (1－x )函数的对称性(1)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，当0<x <1时，f (x )＝2x －1，则f (log 29)＝( )A ．－79B ．8C ．－10D ．－259(2)已知函数f (x )＝ax ＋bx －b ，其图象关于点(－3，2)对称，则f (2)的值是________．【解析】 (1)f (x ＋2)＝－f (x )＝f (－x )，所以f (x )的图象的对称轴为x ＝1，f (log 29)＝－f ⎝⎛⎭⎫log 294，因为1<log 294<2，故f ⎝⎛⎭⎫log 294＝f ⎝⎛⎭⎫2－log 294＝f ⎝⎛⎭⎫log 2169，其中0<log 2169<1，所以f ⎝⎛⎭⎫log 2169＝2log 2169－1＝79， 故f (log 29)＝－79，故选A.(2)因为函数f (x )＝ax ＋b x －b ＝a ＋ab ＋bx －b ，所以函数的对称中心为(b ，a )．又因为函数f (x )＝ax ＋bx －b ，其图象关于点(－3，2)对称，所以a ＝2，b ＝－3.所以函数f (x )的解析式为f (x )＝2x －3x ＋3，所以f (2)＝2×2－32＋3＝15.【答案】 (1)A (2)15(1)函数满足f (x ＋t )＝f (t －x )(或f (x )＝f (2t －x ))，则函数关于直线x ＝t 对称，若函数满足f (x ＋2t )＝f (x )，则函数f (x )以2t (t ≠0)为周期．(2)若函数y ＝f (x )的对称中心为(a ，b )，根据函数y ＝f (x )图象上任意点关于该对称中心的对称点也在此函数图象上，利用恒等式求解．1．用min{a ，b }表示a ，b 两数中的最小值．若函数f (x )＝min{|x |，|x ＋t |}的图象关于直线x ＝－12对称，则t 的值为( )A ．－2B ．2C ．－1D ．1解析：选D.由于函数f (x )是两个函数y 1＝|x |，y 2＝|x ＋t |中的较小者，因此f (x )在不同的定义域内取值不同，故需作出其图象求解．在同一坐标系中，分别作出函数y ＝|x |与y ＝|x ＋t |的草图(如图)．由图象知f (x )的图象为图中的实线部分(A －B －C －O －E )．由于f (x )的图象关于直线x ＝－12对称，于是－t ＋02＝－12，所以t ＝1.2．函数f (x )＝x －ax －a －1的图象的对称中心是(4，1)，则a ＝________．解析：因为f (x )＝x －a x －a －1＝x －a －1＋1x －a －1＝1＋1x －a －1，所以函数f (x )图象的对称中心是(a ＋1，1)． 由已知得a ＋1＝4，故a ＝3. 答案：3函数性质的综合应用(高频考点)函数的奇偶性及单调性是函数的两大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，以选择题或填空题的形式考查，难度稍大，为中高档题．主要命题角度有：(1)函数的奇偶性与单调性相结合； (2)函数的奇偶性与对称性相结合． 角度一 函数的奇偶性与单调性相结合(2020·金丽衢十二校联考)定义在R 上的偶函数f (x )满足：f (4)＝f (－2)＝0，在区间(－∞，－3)与[－3，0]上分别单调递增和单调递减，则不等式xf (x )>0的解集为( )A．(－∞，－4)∪(4，＋∞)B．(－4，－2)∪(2，4)C．(－∞，－4)∪(－2，0)D．(－∞，－4)∪(－2，0)∪(2，4)【解析】因为f(x)是偶函数，所以f(4)＝f(－4)＝f(2)＝f(－2)＝0，又f(x)在(－∞，－3)，[－3，0]上分别单调递增与单调递减，所以xf(x)>0的解集为(－∞，－4)∪(－2，0)∪(2，4)，故选D.【答案】 D角度二函数的奇偶性与对称性相结合在R上定义的函数f(x)是偶函数，且f(x)＝f(2－x)．若f(x)在区间[1，2]上是减函数，则f(x)()A．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3，4]上是增函数B．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3，4]上是减函数C．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3，4]上是增函数D．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3，4]上是减函数【解析】由f(x)＝f(2－x)，函数f(x)关于x＝1对称，又因为f(x)在R上是偶函数，所以f(x)关于y轴对称．又因为f(x)在区间[1，2]上是减函数，所以f(x)在[0，1]上为增函数，在[－1，0]上为减函数，故函数图象如图所示．由图可知B正确．【答案】 B(1)关于奇偶性、单调性、对称性的综合性问题，关键是利用奇偶性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题．(2)掌握以下两个结论，会给解题带来方便：①f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(|x|)．②若奇函数在x＝0处有意义，则f(0)＝0.1．(2020·湖州模拟)设f (x )是定义在R 上以2为周期的偶函数，在区间[－1，0]上是严格单调递增函数，且满足f (e)＝0，f (2e)＝1，则不等式⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤10≤f （x ）≤1的解集为________．解析：根据函数周期为2且为偶函数知，f (e)＝f (e －2)＝0，f (2e)＝f (2e －4)＝f (6－2e)＝1，因为0<6－2e<e －2<1，且根据对称性知函数在[0，1]上单调递减，所以⎩⎨⎧0≤x ≤10≤f （x ）≤1的解为6－2e ≤x ≤e －2，故填[6－2e ，e －2]．答案：[6－2e ，e －2]2．偶函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，f (3)＝3，则f (－1)＝________． 解析：因为f (x )的图象关于直线x ＝2对称， 所以f (4－x )＝f (x )，所以f (4－1)＝f (1)＝f (3)＝3，即f (1)＝3. 因为f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )， 所以f (－1)＝f (1)＝3. 答案：3核心素养系列3 逻辑推理、数学运算——奇偶函数的二次结论及应用结论一：若函数f (x )是奇函数，且g (x )＝f (x )＋c ，则必有g (－x )＋g (x )＝2c . [结论简证]由于函数f (x )是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以g (－x )＋g (x )＝f (－x )＋c ＋f (x )＋c ＝2c .对于函数f (x )＝a sin x ＋bx ＋c (其中a ，b ∈R ，c ∈Z )，选取a ，b ，c 的一组值计算f (1)和f (－1)，所得出的正确结果一定不可能是( )A ．4和6B ．3和1C ．2和4D ．1和2【解析】 设g (x )＝a sin x ＋bx ，则f (x )＝g (x )＋c ，且函数g (x )为奇函数．注意到c ∈Z ，所以f (1)＋f (－1)＝2c 为偶数．故选D.【答案】 D由上述例题可知，这类问题的求解关键在于观察函数的结构，构造出一个奇函数．有些问题是直观型的，直接应用即可，但有些问题是复杂型的，需要变形才能成功．结论二：若函数f (x )是奇函数，则函数g (x )＝f (x －a )＋h 的图象关于点(a ，h )对称． [结论简证]函数g (x )＝f (x －a )＋h 的图象可由f (x )的图象平移得到，不难知结论成立．函数f (x )＝x x ＋1＋x ＋1x ＋2＋x ＋2x ＋3的图象的对称中心为( ) A ．(－4，6) B ．(－2，3) C ．(－4，3) D ．(－2，6)【解析】 设g (x )＝－1x －1－1x －1x ＋1，则g (－x )＝－1－x －1－1－x －1－x ＋1＝1x －1＋1x＋1x ＋1＝－g (x )，故g (x )为奇函数．易知f (x )＝3－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1＋1x ＋2＋1x ＋3＝g (x ＋2)＋3，所以函数f (x )的图象的对称中心为(－2，3)．故选B.【答案】 B此类问题求解的关键是从所给函数式中分离(或变形)出奇函数，进而得出图象的对称中心，然后利用图象的对称性实现问题的求解．结论三：若函数f (x )为偶函数，则f (x )＝f (|x |)． [结论简证]当x ≥0时，|x |＝x ，所以f (|x |)＝f (x )；当x <0时，f (|x |)＝f (－x )，由于函数f (x )为偶函数，所以f (－x )＝f (x )，故f (|x |)＝f (x )． 综上，若函数f (x )为偶函数，则f (x )＝f (|x |)．(1)设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )>f (2x －1)成立的x 的取值范围是________；(2)若偶函数f (x )满足f (x )＝x 3－8(x ≥0)，则f (x －2)>0的条件为________．【解析】 (1)易知函数f (x )的定义域为R ，且f (x )为偶函数．当x ≥0时，f (x )＝ln(1＋x )－11＋x2，易知此时f (x )单调递增．所以f (x )>f (2x －1)⇒f (|x |)>f (|2x －1|)，所以|x |>|2x －1|，解得13<x <1. (2)由f (x )＝x 3－8(x ≥0)，知f (x )在[0，＋∞)上单调递增，且f (2)＝0.所以，由已知条件可知f (x －2)>0⇒f (|x －2|)>f (2)．所以|x －2|>2，解得x <0或x >4.【答案】 (1)⎝⎛⎭⎫13，1 (2){x |x <0或x >4}[基础题组练]1．(2020·舟山市普陀三中高三期中)下列函数既是奇函数，又在(0，＋∞)上单调递增的是( )A ．y ＝－x 2B ．y ＝x 3C ．y ＝log 2xD ．y ＝－3－x解析：选B.A.函数y ＝－x 2为偶函数，不满足条件．B ．函数y ＝x 3为奇函数，在(0，＋∞)上单调递增，满足条件．C ．y ＝log 2x 的定义域为(0，＋∞)，为非奇非偶函数，不满足条件．D ．函数y ＝－3－x 为非奇非偶函数，不满足条件．2．(2020·衢州高三年级统一考试)已知f (x )是R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 3＋ln(1＋x )，则当x ＜0时，f (x )＝( )A ．－x 3－ln(1－x )B ．x 3＋ln(1－x )C ．x 3－ln(1－x )D ．－x 3＋ln(1－x )解析：选C.当x <0时，－x >0，f (－x )＝(－x )3＋ln(1－x )，因为f (x )是R 上的奇函数，所以当x ＜0时，f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )3＋ln(1－x )]，所以f (x )＝x 3－ln(1－x )．3．若f (x )＝(e x －e －x )(ax 2＋bx ＋c )是偶函数，则一定有( ) A ．b ＝0 B ．ac ＝0C ．a ＝0且c ＝0D ．a ＝0，c ＝0且b ≠0解析：选C.设函数g (x )＝e x －e －x .g (－x )＝e －x －e x ＝－g (x )，所以g (x )是奇函数．因为f (x )＝g (x )(ax 2＋bx ＋c )是偶函数．所以h (x )＝ax 2＋bx ＋c 为奇函数．即h (－x )＋h (x )＝0恒成立，有ax 2＋c ＝0恒成立．所以a ＝c ＝0.当a ＝c ＝b ＝0时，f (x )＝0，也是偶函数，故选C.4．设f (x )是定义在实数集上的函数，且f (2－x )＝f (x )，若当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则有( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫13<f (2)<f ⎝⎛⎭⎫12 B ．f ⎝⎛⎭⎫12<f (2)<f ⎝⎛⎭⎫13C ．f ⎝⎛⎭⎫12<f ⎝⎛⎭⎫13<f (2)D ．f (2)<f ⎝⎛⎭⎫12<f ⎝⎛⎭⎫13解析：选C.由f (2－x )＝f (x )可知函数f (x )的图象关于x ＝1对称，所以f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫32，f ⎝⎛⎭⎫13＝f ⎝⎛⎭⎫53，又当x ≥1时，f (x )＝ln x 单调递增，所以f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫53<f (2)，即f ⎝⎛⎭⎫12<f ⎝⎛⎭⎫13<f (2)，故选C. 5．若函数f (x )＝ln(ax ＋x 2＋1)是奇函数，则a 的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．±1D ．0解析：选C.因为f (x )＝ln(ax ＋x 2＋1)是奇函数，所以f (－x )＋f (x )＝0.即ln(－ax ＋x 2＋1)＋ln(ax ＋x 2＋1)＝0恒成立，所以ln[(1－a 2)x 2＋1]＝0，即(1－a 2)x 2＝0恒成立，所以1－a 2＝0，即a ＝±1.6．(2020·杭州四中第一次月考)设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为单调递减函数，且f (2)＝0，则不等式3f （－x ）－2f （x ）5x≤0的解集为( )A ．(－∞，－2]∪(0，2]B ．[－2，0)∪[2，＋∞)C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．[－2，0)∪(0，2]解析：选D.因为函数f (x )在(0，＋∞)上为单调递减函数，且f (2)＝0，所以函数f (x )在(0，2)上的函数值为正，在(2，＋∞)上的函数值为负，当x >0时，不等式3f （－x ）－2f （x ）5x ≤0等价于3f (－x )－2f (x )≤0，又f (x )是奇函数，所以有f (x )≥0，所以有0<x ≤2，同理当x <0时，可解得－2≤x <0.综上，不等式3f （－x ）－2f （x ）5x≤0的解集为[－2，0)∪(0，2]，故选D.7．若f (x )＝k ·2x ＋2－x 为偶函数，则k ＝________，若f (x )为奇函数，则k ＝________． 解析：f (x )为偶函数时，f (－1)＝f (1)，即k 2＋2＝2k ＋12，解得k ＝1.f (x )为奇函数时，f (0)＝0，即k ＋1＝0，所以k ＝－1(或f (－1)＝－f (1)，即k 2＋2＝－2k －12，解得k ＝－1)．答案：1 －18．若关于x 的函数f (x )＝tx 2＋2x ＋t 2＋2 018x 5x 2＋t (t >0)的最大值为M ，最小值为N ，且M ＋N ＝4，则实数t 的值为________．解析：因为f (x )＝tx 2＋2x ＋t 2＋2 018x 5x 2＋t ＝t ＋2x ＋2 018x 5x 2＋t＝t ＋g (x )，其中g (x )是奇函数，M ＋N ＝t ＋g (x )＋t ＋g (－x )＝2t ＝4⇒t ＝2.答案：29．(2020·杭州市富阳二中高三质检)已知定义在R 上的函数f (x )满足：①f (1＋x )＝f (1－x )；②在[1，＋∞)上为增函数，若x ∈⎣⎡⎦⎤12，1时，f (ax )<f (x －1)成立，则实数a 的取值范围为________．解析：根据题意，可知函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称， 因为其在[1，＋∞)上为增函数，则在(－∞，1)上是减函数， 并且自变量离1越近，则函数值越小， 由f (ax )<f (x －1)可得，|ax －1|<|x －1－1|， 化简得|ax －1|<|x －2|，因为x ∈⎣⎡⎦⎤12，1，所以|x －2|＝2－x ， 所以该不等式可以化为x －2<ax －1<2－x ，即不等式组⎩⎪⎨⎪⎧（a －1）x >－1（a ＋1）x <3在x ∈⎣⎡⎦⎤12，1上恒成立， 从而有⎩⎪⎨⎪⎧（a －1）×12>－1（a －1）×1>－1（a ＋1）×12<3（a ＋1）×1<3，解得0<a <2，故答案为(0，2)．答案：(0，2)10．(2020·温州调研)已知f (x )是定义在[－2，2]上的奇函数，当x ∈(0，2]时，f (x )＝2x－1，函数g (x )＝x 2－2x ＋m .如果对于任意x 1∈[－2，2]，存在x 2∈[－2，2]，使得g (x 2)＝f (x 1)，则实数m 的取值范围是________．解析：当x ∈(0，2]时，f (x )＝2x －1∈(0，3]，又f (x )是定义在[－2，2]上的奇函数，所以f (0)＝0，当x ∈[－2，0)时，f (x )∈[－3，0)，所以函数f (x )的值域是[－3，3]．当x ∈[－2，2]时，g (x )＝x 2－2x ＋m ∈[m －1，m ＋8]．由任意x 1∈[－2，2]，存在x 2∈[－2，2]，使得g (x 2)＝f (x 1)，可得[－3，3]⊆[m －1，m ＋8]，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤－3，m ＋8≥3⇒－5≤m ≤－2.答案：[－5，－2]11．已知函数f (x )＝2x ＋k ·2－x ，k ∈R . (1)若函数f (x )为奇函数，求实数k 的值；(2)若对任意的x ∈[0，＋∞)，都有f (x )>2－x 成立，求实数k 的取值范围． 解：(1)因为f (x )＝2x ＋k ·2－x 是奇函数， 所以f (－x )＝－f (x )，k ∈R ， 即2－x ＋k ·2x ＝－(2x ＋k ·2－x )，所以(k ＋1)·(1＋22x )＝0对一切k ∈R 恒成立， 所以k ＝－1.(2)因为x ∈[0，＋∞)，均有f (x )>2－x ， 即2x ＋k ·2－x >2－x 对x ∈[0，＋∞)恒成立， 所以1－k <22x 对x ∈[0，＋∞)恒成立， 所以1－k <(22x )min ，因为y ＝22x 在[0，＋∞)上单调递增， 所以(22x )min ＝1.所以1－k <1，解得k >0. 所以实数k 的取值范围为(0，＋∞)．12．(2020·绍兴一中高三期中)已知f (x )为偶函数，当x ≥0时，f (x )＝－(x －1)2＋1，求满足f [f (a )]＝12的实数a 的个数．解：令f (a )＝x ，则f [f (a )]＝12变形为f (x )＝12；当x ≥0时，f (x )＝－(x －1)2＋1＝12，解得x 1＝1＋22，x 2＝1－22； 因为f (x )为偶函数，所以当x <0时，f (x )＝12的解为x 3＝－1－22，x 4＝－1＋22；综上所述，f (a )＝1＋22，1－22，－1－22，－1＋22； 当a ≥0时，f (a )＝－(a －1)2＋1＝1＋22，方程无解；f (a )＝－(a －1)2＋1＝1－22，方程有2解； f (a )＝－(a －1)2＋1＝－1－22，方程有1解； f (a )＝－(a －1)2＋1＝－1＋22，方程有1解； 故当a ≥0时，方程f (a )＝x 有4解，由偶函数的性质，易得当a <0时，方程f (a )＝x 也有4解，综上所述，满足f [f (a )]＝12的实数a 的个数为8.[综合题组练]1．已知f (x )是奇函数，且当x ＜0时，f (x )＝x 2＋3x ＋2.若当x ∈[1，3]时，n ≤f (x )≤m 恒成立，则m －n 的最小值为 ( )A.94 B ．2 C.34D.14解析：选A.设x ＞0，则－x ＜0，所以f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2＋3(－x )＋2]＝－x 2＋3x －2.所以在[1，3]上，当x ＝32时，f (x )max ＝14；当x ＝3时，f (x )min ＝－2.所以m ≥14且n ≤－2.故m －n ≥94.2．(2020·宁波效实中学高三月考)对于函数f (x )，若存在常数a ≠0，使得x 取定义域内的每一个值，都有f (x )＝f (2a －x )，则称f (x )为准偶函数．下列函数中是准偶函数的是( )A ．f (x )＝xB ．f (x )＝x 2C ．f (x )＝tan xD ．f (x )＝cos(x ＋1)解析：选D.由f (x )为准偶函数的定义可知，若f (x )的图象关于x ＝a (a ≠0)对称，则f (x )为准偶函数，A ，C 中两函数的图象无对称轴，B 中函数图象的对称轴只有x ＝0，而D 中f (x )＝cos(x ＋1)的图象关于x ＝k π－1(k ∈Z )对称．3．已知函数f (x )＝a －12x ＋1.若f (x )为奇函数，则a ＝________．解析：法一：因为f (x )是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即a －12－x ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12x ＋1，则2a ＝12－x ＋1＋12x ＋1＝2x 1＋2x ＋12x ＋1＝2x ＋12x ＋1＝1，所以a＝12. 法二：因为f (x )为奇函数，定义域为R ，所以f (0)＝0.所以a －120＋1＝0，所以a ＝12.经检验，当a ＝12时，f (x )是一个奇函数．答案：124．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且f (x )－g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x，则f (1)，g (0)，g (－1)之间的大小关系是________．解析：在f (x )－g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x中，用－x 替换x ，得f (－x )－g (－x )＝2x ，由于f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，所以f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，因此得－f (x )－g (x )＝2x .联立方程组解得f (x )＝2－x －2x 2，g (x )＝－2－x ＋2x 2，于是f (1)＝－34，g (0)＝－1，g (－1)＝－54，故f (1)>g (0)>g (－1)． 答案：f (1)>g (0)>g (－1)5．(2020·杭州学军中学高三质检)已知函数y ＝f (x )在定义域[－1，1]上既是奇函数，又是减函数．(1)求证：对任意x 1，x 2∈[－1，1]，有[f (x 1)＋f (x 2)]·(x 1＋x 2)≤0； (2)若f (1－a )＋f (1－a 2)＜0，求实数a 的取值范围． 解：(1)证明：若x 1＋x 2＝0，显然不等式成立． 若x 1＋x 2＜0，则－1≤x 1＜－x 2≤1， 因为f (x )在[－1，1]上是减函数且为奇函数， 所以f (x 1)＞f (－x 2)＝－f (x 2)， 所以f (x 1)＋f (x 2)＞0.所以[f (x 1)＋f (x 2)](x 1＋x 2)＜0成立． 若x 1＋x 2＞0，则1≥x 1＞－x 2≥－1， 同理可证f (x 1)＋f (x 2)＜0.所以[f (x 1)＋f (x 2)](x 1＋x 2)＜0成立．综上得证，对任意x 1，x 2∈[－1，1]，有[f (x 1)＋f (x 2)]·(x 1＋x 2)≤0恒成立．(2)因为f (1－a )＋f (1－a 2)＜0⇔f (1－a 2)＜－f (1－a )＝f (a －1)，所以由f (x )在定义域[－1，1]上是减函数，得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤1－a 2≤1，－1≤a －1≤1，1－a 2＞a －1，即⎩⎪⎨⎪⎧0≤a 2≤2，0≤a ≤2，a 2＋a －2＜0，解得0≤a ＜1.故所求实数a 的取值范围是[0，1)．6．(2020·宁波市余姚中学高三模拟)设常数a ∈R ，函数f (x )＝(a －x )|x |. (1)若a ＝1，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )是奇函数，且关于x 的不等式mx 2＋m >f [f (x )]对所有的x ∈[－2，2]恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝(1－x )|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧（1－x ）x ，x ≥0（x －1）x ，x <0，当x ≥0时，f (x )＝(1－x )x ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14， 所以f (x )在⎣⎡⎦⎤0，12内是增函数， 在⎝⎛⎭⎫12，＋∞内是减函数； 当x <0时，f (x )＝(x －1)x ＝⎝⎛⎭⎫x －122－14， 所以f (x )在(－∞，0)内是减函数； 综上可知，f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤0，12， 单调减区间为(－∞，0)，⎝⎛⎭⎫12，＋∞. (2)因为f (x )是奇函数，所以f (－1)＝－f (1)， 即(a ＋1)·1＝－(a －1)·1，解得a ＝0. 所以f (x )＝－x |x |，f [f (x )]＝x 3|x |； 所以mx 2＋m >f [f (x )]＝x 3|x |，即m >x 3|x |x 2＋1对所有的x ∈[－2，2]恒成立．因为x ∈[－2，2]，所以x 2＋1∈[1，5]．所以x 3|x |x 2＋1≤x 4x 2＋1＝x 4－1＋1x 2＋1＝x 2＋1＋1x 2＋1－2≤165.所以m >165.所以实数m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫165，＋∞.。