导数一、导数的概念函数P=f(G),如果自变量G 在G 0处有增量x ∆，那么函数P 相应地有增量y ∆=f（G 0+x ∆）－f （G 0），比值xy∆∆叫做函数P=f （G ）在G 0到G 0+x ∆之间的平均变化率，即x y ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00。
如果当0→∆x 时，xy∆∆有极限，我们就说函数P=f(G)在点G 0处可导，并把这个极限叫做f （G ）在点G 0处的导数，记作f ’（G 0）或P ’|0x x =。
f ’(G 0)=0lim→∆x x y∆∆=0lim →∆x xx f x x f ∆-∆+)()(00。
例、若k x x f x x f x =∆-∆+→∆)()(lim 000，则xx f x x f x ∆-∆⋅+→∆)()2(lim000等于（） A ．k 2B ．k C ．k 21D ．以上都不是变式训练：设函数)(x f 在点0x 处可导，试求下列各极限的值．1．xx f x x f x ∆-∆-→∆)()(lim 000；2．.2)()(lim 000hh x f h x f h --+→3．若2)(0='x f ，则kx f k x f k 2)()(lim 000--→=？二、导数的几何意义函数P=f （G ）在点G 0处的导数的几何意义是曲线P=f （G ）在点p （G 0，f （G 0））处的切线的斜率。
也就是说，曲线P=f （G ）在点p （G 0，f （G 0））处的切线的斜率是f ’（G 0）。
切线方程为P －P 0=f /（G 0）（G －G 0）。
三、导数的运算1．基本函数的导数公式: ①0;C '=（C 为常数） ②()1;n n x nx -'=③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '=⑥()ln x x a a a '=;⑦()1ln x x '=;⑧()1l g log a a o x e x'=.习题：求下列函数的导数：（8分钟独立完成）（1）()f x π=（2）4()f x x =（3）()f x =4）()sin f x x =（5）()cos f x x =-（6）()3x f x =（7）()x f x e =（8）2()log f x x =（9）()ln f x x =（10）1()f x x =（11）31cos 44y x =+（12）1xy x=+（13）lg x y x e =-（14）3cos y x x =2、导数的四则运算法则： )()(])()([)()(])()([x g x f x g x f x g x f x g x f '-'='-'+'='+)()()()()()()()()()()(])()([2x g x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f '-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+'='练习：求下列函数的导数： （1）x x y 22+=；（2）x x y ln -=； （3）x x y sin =；（4）x x y ln =。
（5）xx y sin =；（6）x x y ln 2=。
3、复合函数求导：如果函数)(x ϕ在点G 处可导，函数f (u )在点u=)(x ϕ处可导，则复合函数P=f (u )=f [)(x ϕ]在点G 处也可导，并且 (f [)(x ϕ])ˊ=[])(x f ϕ')(x ϕ' 例、求下列函数的导数（1）P=x 21-cos G （2）P=ln(G +21x +) 练习：求下列函数的导数（1）P =2)13(1-x （2）P =sin （3G +4π） 常考题型：类型一、求导数相关问题例1、若曲线P ＝e －G 上点P 处的切线平行于直线2G ＋P ＋1＝0，则点P 的坐标是________．例2、曲线P ＝G e G －1在点(1，1)处切线的斜率等于( )A ．2eB ．eC ．2D ．1例3、[20PP ·新课标全国卷Ⅱ]设曲线P ＝aG －ln(G ＋1)在点(0，0)处的切线方程为P ＝2G ，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3类型二、求切线方程（一）已知切点坐标，求切线方程例1.曲线3231y x x =-+在点(11)-，处的切线方程 （二）已知切点斜率，求切线方程例2.与直线240x y -+=的平行的抛物线2y x =的切线方程 （三）已知曲线外一点，求切线方程例3.求过点(20)，且与曲线1y x=相切的直线方程．（四）已知曲线上一点，求过该点的切线方程 例4.求过曲线32y x x =-上的点(11)-，的切线方程． 变式训练：1、[20PP ·广东卷]曲线P ＝－5e G ＋3在点(0，－2)处的切线方程为________．2、[20PP ·江苏卷]在平面直角坐标系GOP 中，若曲线P ＝aG 2＋b x(a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7G ＋2P ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是________．3、与直线1+-y x ＝0平行,且与曲线P ＝132-x 相切的直线方程 类型三、求单调区间及极值、最值考点一求不含参数的函数的单调区间例1.求函数P =G 2(1－G )3的单调区间. 变式训练：1.函数x x y ln =的单调递减区间是（） A ．),(1+∞-e B ．),(1--∞e C ．),0(1-e D ．),(+∞e2.(05年广东高考题)函数32()31f x x x =-+是减函数的区间为() （Ａ）(2,)+∞（Ｂ）(,2)-∞（Ｃ）(,0)-∞（Ｄ）(0,2)考点二求含参数的函数的单调区间考例1、已知函数21()ln (1)2f x x m x m x =-+-，m ∈R ．当0m ≤时，讨论函数()f x 的单调性.例2、设函数f(G)=3223(1)1, 1.x a x a --+≥其中 求f(G)的单调区间；例3、设函数f (G )=aG －(a +1)ln(G +1)，其中a ≥--1，求f (G )的单调区间。
变式训练：1、[20PP ·山东卷]设函数f (G )＝a ln G ＋x －1x ＋1，其中a 为常数．(1)若a ＝0，求曲线P ＝f (G )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)讨论函数f (G )的单调性．2、【20PP ·安徽卷】设函数f (G )＝1＋(1＋a )G －G 2－G 3，其中a >0. (1)讨论f (G )在其定义域上的单调性；考点三：利用单调区间求未知参数取值范围：例1、[20PP ·新课标全国卷Ⅱ]若函数f (G )＝kG －ln G 在区间(1，＋∞)单调递增，则k 的取值范围是( )优质参考文档A ．(－∞，－2]B ．(－∞，－1]C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞)例2、[20PP ·全国新课标卷Ⅰ]已知函数f (G )＝aG 3－3G 2＋1，若f (G )存在唯一的零点G 0，且G 0＞0，则a 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－1)例3、[20PP ·辽宁卷]当G ∈[－2，1]时，不等式aG 3－G 2＋4G ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[－5，－3]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，－98C ．[－6，－2]D ．[－4，－3] 变式训练：（山东省烟台市20PP 届高三上学期期末考试试题（数学文））已知函数32()f x ax bx =+的图像经过点(1,4)M ，曲线在点M 处的切线恰好与直线90x y +=垂直.（Ⅰ）求实数,a b 的值；（Ⅱ）若函数()f x 在区间[,1]m m +上单调递增，求m 的取值范围.考点四：结合单调性求极值问题求函数的极值的步骤:(1)确定函数的定义域，求导数'()f x . (2)求方程'()0f x =的根.(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义域分成若干小开区间，并列成表格.检查'()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么)(x f 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么)(x f 在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么)(x f 在这个根处无极值.注:可导函数()y f x =在0x x =处取得极值是0'()0f x =的充分不必要条件. 例1、已知函数在处都取得极值．（1）求、的值；变式训练：设1,2x x ==是()ln f x a x bx x =++函数的两个极值点.（1）试确定常数a 和b 的值；（2）试判断1,2x x ==是函数()f x 的极大值点还是极小值点，并求相应极值. 例2、（06安徽卷）设函数()32()f x x bx cx x R =++∈，已知()()()g x f x f x '=-是奇函数。
（Ⅰ）求b 、c 的值。
（Ⅱ）求()g x 的单调区间与极值。
例3、已知函数d x b a c bx ax x f +--++=)23()(23的图象如图所示． （I ）求d c ,的值；（II ）若函数)(x f 在2=x 处的切线方程为0113=-+y x ，求函数)(x f 的解析式；xxb ax x f ln 42)(+-=311==x x 与a b（III ）在（II ）的条件下，函数)(x f y =与m x x f y ++'=5)(31的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围．例4、[20PP ·江西卷]已知函数f (G )＝(G 2＋bG ＋b )1－2x (b ∈R )．(1)当b ＝4时，求f (G )的极值；(2)若f (G )在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，13上单调递增，求b 的取值范围．变式训练：1、已知函数()f x x b =+的图象与函数23)(2++=x x x g 的图象相切,记()()()F x f x g x =.（Ⅰ）求实数b 的值及函数()F x 的极值；（Ⅱ）若关于x 的方程k x F =)(恰有三个不等的实数根，求实数k 的取值范围.2、（20PP 全国Ⅱ文20）已知函数32()3(36)124()f x x ax a x a a R =++-+-∈ (Ⅰ)证明：曲线()0y f x x ==在(2,2)的切线过点；（Ⅱ）若00()(1,3)f x x x x =∈在处取得极小值，,求a 的取值范围.考点五：结合单调性求最值问题求函数在[,]a b 上最值的步骤：（1）求出()f x 在(,)a b 上的极值. （2）求出端点函数值(),()f a f b .（3）比较极值和端点值，确定最大值或最小值.例1、(20PP 年重庆卷)已知函数f(G)＝aG 3＋G 2＋bG(其中常数a ，b ∈R)，g(G)＝f(G)＋f ′(G)是奇函数．(1)求f(G)的表达式；(2)讨论g(G)的单调性，并求g(G)在区间[1,2]上的最大值与最小值． 例2、设函数f(G)＝aG 3＋bG ＋c(a ≠0)为奇函数，其图象在点(1，f(1))处的切线与直线G －6P －7＝0垂直，导函数f ′(G)的最小值为－12. (1)求a ，b ，c 的值；(2)求函数f(G)的单调递增区间，并求函数f(G)在[－1,3]上的最大值和最小值．例3、已知函数21()ln ,()(1),12f x x a xg x a x a =+=+≠-．（I ）若函数(),()f x g x 在区间[1,3]上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数a 的取值范围；（II ）若(1,](2.71828)a e e ∈=，设()()()F x f x g x =-，求证：当12,[1,]x x a ∈时，不等式12|()()|1F x F x -<成立．例4、[20PP ·安徽卷]设函数f (G )＝1＋(1＋a )G －G 2－G 3，其中a ＞0. (1)讨论f (G )在其定义域上的单调性；(2)当G ∈[0，1]时，求f (G )取得最大值和最小值时的G 的值．四、导数与不等式恒成立问题：可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。