图②
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满足题设的x的取值范围即为图象y1＝x＋1在图象y2＝ log2(－x)上方部分对应的x的值．观察图象知－1<x<0.
【答案】 (1)(－∞，0)∪(1，＋∞) (2)(－1,0)
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规律技巧 指数函数，对数函数，幂函数这三类函数的图 象易于画出，因此，利用它们的图象来进行比较大小，讨论方 程根的情况等问题常用数形结合法.
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3．转化与化归思想 【例3】 已知函数f(x)＝a－2x＋2 1. (1)确定a的值使f(x)为奇函数； (2)当x∈R时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围．
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【解】 易知x∈R时，2x＋1≠0，∴f(x)的定义域为R.若 f(x)为奇函数，则有f(－x)＝－f(x)，当x＝0时，f(0)＝0，
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【解】 logaA＝12[logax＋13(－12logax－2logay)] ＝1256logax－23logay＝12×56×4－23×5＝0. ∴A＝1.
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2．比较大小的常用方法
【例6】
a＝15－
3 4
，b＝(0.04)
－13
，c＝(
5)0.4，下列不等
式中正确的是( )
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数学思想
1.数形结合思想
【例1】
2－x x≤0，
(1)设函数f(x)＝ 1 x2
x>0，
若f(x0)>1，则x0
的取值范围是________； (2)使x＋1>log2(－x)成立的x的取值范围是__________．
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【解析】 (1)在同一坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝1的图 象，如图①所示．
当a>1时，y＝logax为增函数，∴23<a.
∴a>1.
当0<a<1时，y＝logax为减函数，∴23>a.
∴0<a<23.
综上讨论知，a的取值范围是
{a|0<a<23，或a>1}．
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规律技巧 分类讨论思想在本章中应用非常突出，因为指 数函数与对数函数的底数a，当a>1，或0<a<1时，函数的图象 与性质截然不同，所以在底数a不确定的情况下，必须分类讨 论．在幂函数y＝xα中，α>0，或α<0时，幂函数的性质也截然 不同，因此也必须分类讨论．
3 (1)(
2×
3)6＋(
2×
4
2) 3 －(－g2.
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20
【解】 (1)原式＝
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21
【例5】 已知logax＝4，logay＝5，
试求A＝x·3
1
1 2 的值．
xy2
【分析】 由于指数的层次太多，我们可以通过等式两边
分别取对数达到化简的目的．
图①
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8
由图象易知，满足f(x0)>1的x0的取值范围即为y＝f(x)的图 象在直线y＝1上方的部分所对应的x的值，所以x0<0，或x0>1.
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9
(2)令y1＝x＋1，y2＝log2(－x)，函数y2＝log2(－x)的定义域 是(－∞，0)，在同一坐标系中分别作出两函数的图象，如图 ②所示．
A．c＞b＞a B．a＞b＞c
C．b＞c＞a D．a＞c＞b
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24
【解析】 利用函数的单调性进行比较．
a＝15－
3 4
，b＝15－23
，c＝15－0.2，
∵f(x)＝15x为减函数，又－0.2＞－23＞－34，
∴a＞b＞c.
【答案】 B
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4
3．从指数与对数、指数函数与对数函数之间的内在联 系，体现了数学之美．
4．研究函数时，函数图象的作用要充分重视．利用图象 的直观性，这也是数形结合思想方法的重要体现．
5．要注意分类讨论，以上三种不同类型的函数中，都渗 透了分类讨论的数学思想方法．
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5
6．比较大小的常用方法： (1)利用函数的单调性比较； (2)作差法或作商法比较； (3)媒介法； (4)图象法.
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规律技巧 (1)函数y＝f(x)为奇函数，且在x＝0时有定义， 则f(0)＝0.
(2)若M≥f(x)恒成立，只要M不小于f(x)的最大值；若 M≤f(x)恒成立，只要M不大于f(x)的最小值．这样，求字母a的 范围问题就转化为求f(x)的最值问题.
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基本方法 1.根式、对数式的运算 分数指数幂的运算与对数的运算是指数函数及对数函数的 基础，掌握好基本运算法则，也是提高运算能力的前提． 【例4】 计算下列各式的值．
∴f(0)＝a－20＋2 1＝a－1＝0，∴a＝1. ∴当a＝1时，f(x)为奇函数．
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(2)由f(x)≥0恒成立，可得a≥2x＋2 1. ∵x∈R时，恒有2x>0， ∴2x＋1>1，∴0<2x＋1 1<1， ∴0<2x＋2 1<2. 要使a≥2x＋2 1恒成立，只要a≥2即可． 故a的取值范围是[2，＋∞)．
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2．分类讨论思想 【例2】 若loga23<1，求a的取值范围． 【分析】 由对数函数y＝logax的性质知，当a>1时，y＝ logax为增函数，当0<a<1时，y＝logax为减函数． 而本例中底数a不确定，故应分类讨论．
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【解】 ∵logaa＝1，loga23<1，即loga23<logaa.
第二章 基本初等函数(Ⅰ)
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本章回顾
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知识网络
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规律方法总结 1.函数是描述客观世界变化规律的重要模型，不同的变化 规律需要不同的函数模型来描述．本章学习的三种不同类型的 函数模型，刻画了客观世界中三类不同的变化规律，因而具有 不同的对应关系． 2．从正整数指数幂出发，经过推广得到了有理数指数 幂，又由“有理数逼近无理数”的思想，认识了实数指数幂， 这个过程体现了数学概念推广的基本思想．