第七章：粒子在电磁场中的运动P367——7.1，7.2证明在磁场B中，带电粒子的速度算符的各分量，满足下述的对易关系：[]zy xcq i v v B ˆ,2μ= （1） []xz ycq i v v B ˆ,2μ= （2） []y x z cq i v v B ˆ,2μ=（3） [证明]根据正则方程组：x x p Hx v ∂∂== ˆ ，Φ+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=q A c q p H 221ˆ μ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x x A c q p vˆˆ1ˆμ 同理 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=y y y A cq p v ˆˆ1ˆμ ()z y x p p p p ˆ,ˆ,ˆˆ 是正则动量，不等于机械动量，将所得结果代入（1）的等号左方： []⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=y y x x y xA c q p A c q p v vˆˆ,ˆˆ1,2μ][]yxA Acq ˆ,ˆ22μ+ （4） []0ˆ,ˆ=y x p p又A ˆ []z x yy x B c y x i c v v 22,μμ=⎪⎪⎭⎝∂-∂⋅=（因A B ⨯∇=ˆˆ）其余二式依轮换对称写出。
P368证明在规范变换下ψψρ*= （1） []ψψμψψψψμ***--=A cq p pj ˆˆ21 （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-=A c q p v ˆμ （机械动量的平均值）都不变 （3） （证明）如课本证明，要规范变换下，若将体系的波函数作以下变换（P368 20式）ψψciqfe→ （4）则薛定谔方程形式不变，将（4）代入（1）式等号右方，设变换后几率密度：ρρψψψψψψρ='=⋅=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='**-*ciqfc iqf c iqf c iqfee e e又设变换后几率流密度是j '，将（4）代入（2）式右方，同时又代入()t r f A A , ∇+→ψψψψμciqfc iqf ciqfciqfeP e ep ej *-*-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-='21 （5） 注意到算符的对易关系推广到三维：())(F )(F ,ˆr ir p⋅∇=∇ 6） 令ciqf er=)(F 则有：ciqf ep -=ep ciqf （7）=-e p c iqf(8)将（7）（5）式成为：()()j A cq p p f A cq f c q p e e f c q p e ej ciqfc iqf c iqf c iqf =--=∇+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∇--⎪⎭⎫ ⎝⎛∇+=****-*-ψψμψψψψμψψμψψψψμ2121 （9）在证明第3式时，设变换后的v 是v ' 。
写出右方平均值的显式，用（4）的波数变换，和)4('的矢势的变换式：τψψτψψτψψτψψμd e f A e cq d e p e d e f A c q p e d A c q p A c q p v c iqfc iqfciqf c iqfc iqfciqf⎪⎭⎫ ⎝⎛∇+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∇+-='⎪⎭⎫ ⎝⎛'-''=⎪⎭⎫⎝⎛'-'='*-*-*-*⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ˆˆˆˆˆˆ前式第一个积分可重复用（7）式，得：v d A c q p d f A c q d f c q p eev ciqfciqf '=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∇+-⎪⎭⎫ ⎝⎛∇+='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰***-μτψψτψψτψψμ ˆˆˆ命题得证P382——7.4 7.1——3.13 7.2——3.127.1）设带电粒子在互相垂直的均匀电场ε和均匀磁场B 中运动，求能级本征值和本征。
（参《导论》225P ）解：以电场方向为x 轴，磁场方向为z 轴，则)B ,0, （1）)0,Bx （2）满足关系 A ⨯粒子的x q p x C qB z ε-⎥⎥⎦⎤+⎪⎭⎫22（3） 取守恒量完全集为()z y p p H ,,，它们的共同本征函数可写成()()()zp y p i z y ex z y x +=ψψ,, （4）其中y P 和z P 为本征值，可取任意函数。
()z y x ,,ψ满足能量本证方程： ()()z y x E z y x H ,,,,ψψ=因此()x ψ满足方程()()()x E x x q x p x C qB p p u z y x ψψεψ=-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+22221 （5） 亦即，对于()x ψ来说，H 和F 式等价：()2222222222122z y y p p u x p uC qB q x uCB q xu H ++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+∂∂-⇒ε()()22202222022222221222zyp pux uCB q x x uCB q xu ++--+∂∂-=（6）其中 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=u p B C qB uC p uC qB q B q uCx y y εε2220 （7） 式（6）相当于一维谐振子能量算符n E ⎝⎛=n ⎝⎛+= （8） 其中y P 和式（4）中 （9） ()ξn H7.1）设带电粒子在互相垂直的均匀电场ε和均匀磁场B 中运动，求能级本征值和本征函数。
解：以电场方向为x 轴，磁场方向为z 轴，则()0,0,εε=， ()B B ,0,0= （1）去电磁场的标势和矢势为x εφ-=， ()0,,0Bx A = （2）满足关系 φε-∇=， A B ⨯∇=粒子的Hamiton 量为 x q p x C qB p p u H z y x ε-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=22221 （3） 取守恒量完全集为()z y p p H ,,，它们的共同本征函数可写成()()()zp y p i z y ex z y x +=ψψ,, （4）其中y P 和z P 为本征值，可取任意函数。
()z y x ,,ψ满足能量本证方程： ()()z y x E z y x H ,,,,ψψ=因此()x ψ满足方程(p x C qB p p u z y x ψ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+22221 （5） 亦即，对于()x ψ来说，H 和F 式等价：222222222y p uC qB q x uCB q xu H ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+∂∂-⇒ε()22221zyp pu++-= （6）其中 ⎪⎪⎭⎫+u p B C y ε（7） 式（6uCB q =ω再加上两项函数，因此本题能级为()222022221221z y p p u x uC B q n E ++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ω 222221221z y p u p B C B u C uC q B n +--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=εε （8） 其中y P 和z P 为任意实数， ,2,1,0=n式（4）中 为以()x ψ为()0x x -变量的一维谐振子能量本征函数，即()()()202ξξψψ-=-=eH x x x n n （9） ()ξn H 为厄密多项式，()()00x x CB q x x u -=-=ωξ 。
7.1设带电粒子相互的均匀电场E 和均匀磁场B中运动，求其能谱及波函数（取磁场方向为z 轴，电场方向为x 轴方向）[解] 为使能量本征方程能够求得，可以这样选择矢势，使0=x A Bx A y = 0=z AqxHz ε-=}ˆ2（1Hˆ,ˆ[H，z p ˆ守恒，ψ22x∂∂整理，并约去同因式)(z z p y y p i e +后，得到X （x ）的本征方程 )()(]})(2[212{222222222x EX x X p p x q eqBp x cB q xz y y=+++-+∂∂-μεμμ)()(]})(212[)()(22{222222222x EX x X Bcp p p qBcqBcp x c qBxy zy y =++++--+∂∂-μεμμμεμμμ（3）或者简写作)()(})(22{0202222x EX x X E x x x=+-+∂∂-ωμμ式中 20,qBq Bqcpx c qB yεμμω+≡=，2220)(212Bc p p p E y zy μεμμ+-+=方程式（3）明显的是一个沿x 方向振动的谐振子的定态薛定谔方程式，它的固有频率是ω，振动中心在0x x =一点上，同时具有能量本征值： 0E E -其中0E 是有关于y 、z 方向的分能量，按一维谐振子理论，它的能级是 cqBn n E E μω )21()21(0+=+=- (4) 它的本征函数写作([)()(2120x H eC x X n x x n =--μωμω这个运动电荷的总能量E 是：p p cqB n E E zy μμ 2)21(220-+=++= （6）7.202)(r r V =[解] 将本征函数表示成合流超几何级数，因而决定能量 令 =A ϕ 2(V 根据本章习题4中合 算符公式（2）再添上前述附加项：)(ˆ),(ˆ}22{})28(2]111[2{)(21)2(212]11[2ˆ21222222222222222222202222222222z H H z zcB q c B ic z c qB c B ic z H +=+∂∂-+++∂∂+∂∂+∂+∂∂-=+++∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-=ϕρμωμρμωμϕμϕρρρρμρμωρμϕμρρϕρρμ（1）哈氏算符的两面部分1ˆH 与ϕρ,有关，第二部分)(ˆ2z H 与z 有关，这二者是对易，因此能量本征值也分二部分，可以分别计算，也可有分离变量法将本征函数分为二部分：)(),(),,(ϕϕρϕρψZ c z = （2） 得到：ZE Z zZE C cB qC c B ic CCCC22222122222222222222)28(2]11[2=+∂∂-=++∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-μωμρμωμϕμϕρρρρμ（3） （3）式左方的哈氏算符),(ˆ1ϕρH 可以和ϕ∂∂=i l zˆ对易，因此),(ϕρc 可以和这个算符的本征函数有共同因式可设)(),(ρϕρϕR e C im = （4）22d R d ρ相当于第4题（5）0]4)2[(122222222122=--+++R mc B q E cmBq d dRd R d ρρμϕρϕ')5(')5(通过交换，得到合流超几何方程式（从略）以及能级公式⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+++=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+++=22122221222222m m n k m m n c qB k E γμμμμ(6)式子的第一项是z 方向运动的能量，第二项代表与()ϕρ,有关横向能量，它与 hcqB 2=γ成正比，将（5）与')5(比较，令22222202222ωμωμγγ+⎪⎭⎫⎝⎛=+=c qB得到本题的能级如下：⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=22122120m m n k Eγμω（7）这各能量公式的第一项是z 向运动的方程式的决定的一维谐振自的能级，在公式（7）中,2,1,0,2,1,0,2,1,0±±===m h k。