第五章作业题解
5.1 已知正常男性成人每毫升的血液中含白细胞平均数是7300, 标准差是700. 使用切比雪 夫不等式估计正常男性成人每毫升血液中含白细胞数在5200到9400之间的概率.
解：设每毫升血液中含白细胞数为，依题意得，7300)(==X E μ，700)(==X Var σ 由切比雪夫不等式，得
)2100|7300(|)94005200(<-=<<X P X P
982100
700112
222=-=-≥εσ.
5.2 设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布, 使用切比雪夫不等式证明 1
{02}P X λλλ
-<<≥
. 解：因为)(~λP X ，所以λμ==)(X E 。

λσ==)(2
X Var
故由切比雪夫不等式，得
)|(|)20(λλλ<-=<<X P X P λλλ
λεσ1
11222-=-=-≥ 不等式得证.
5.3 设由机器包装的每包大米的重量是一个随机变量, 期望是10千克, 方差是0.1千克2. 求100袋这种大米的总重量在990至1010千克之间的概率.
解：设第i 袋大米的重量为X i ，(i =1,2,…,100)，则100袋大米的总重量为∑==
100
1
i i
X
X 。

因为 10)(=i X E ，1.0)(=i X Var ，
所以 100010100)(=⨯=X E ，101.0100)(=⨯=X Var
由中心极限定理知，
10
1000
-X 近似服从)1,0(N
故 )10|1000(|)1010990(<-=<<X P X P
1)10(2)10|10
1000
(|
-Φ≈<-=X P
998.01999.021)16.3(2=-⨯=-Φ=
5.4 一加法器同时收到20个噪声电压,(1,2,,20)i V i =L ，设它们是相互独立的随机变量，
并且都服从区间[0,10]上的均匀分布。

记20
1
k
k V V
==
∑，求(105)P V >的近似值。

解：()5,()10012(1,2,,20)k k E V D V k ===L ，由定理1，得
(105)P V >
P =>
)
387.020)1210(100
(
>-=V P
)
387.020
)1210
(100(
1≤--=V P
)387.0(1Φ-≈ 348.0=
即有 (105)P V >0.348≈
5.5 一复杂的系统由100个相互独立起作用的部件组成, 在整个运行期间每个部件损坏的概率为0.1, 为了使整个系统起作用, 至少要有85个部件正常工作. 求整个系统起作用的概率 解：设正常工作的部件数为X ，因为部件正常工作的概率为9.01.01=-=p ， 所以 )9.0,100(~B X ，有909.0100)(=⨯=X E ，91.090)(=⨯=X Var
由中心极限定理知，3
90
-X 近似服从)1,0(N 故所求的概率为
)3
5
390(
1)85(1)85(-<--=<-=≥X P X P X P 9525.0)67.1()3
5
()35(1=Φ=Φ=-Φ-≈
5.6 银行为支付某日即将到期的债券需准备一笔现金. 这批债券共发放了500 张, 每张债券 到期之日需付本息1000元. 若持券人(一人一张) 于债券到期之日到银行领取本息的概率为0.4,问银行于该日应至少准备多少现金才能以99.9% 的把握满足持券人的兑换? 解：设领取本息的人数为X ，则)4.0,500(~B X 。

有
2004.0500)(=⨯=X E ，1206.0200)(=⨯=X Var
由中心极限定理知，
120
200-X 近似服从)1,0(N
又设要准备现金x 元，则满足兑换的概率为
)1202001000/()1000()1000(-Φ≈≤
=≤x x X P x X P 依题意，要满足 )1.3(999.0)120200
1000/(
Φ=≥-Φx ，即要
1.3120
200
1000/≥-x
解之得 80.2339581000)2001201.3(=⨯+≥x
故应准备234000元的现金。

第五章《大数定律和中心极限定理》定义、定理、公式小结及补充：。