y p 2
x R, y - ，0
关于y轴对称
F 0， - p

2
y p 2
（二）圆锥曲线的定义、标准方程和几何性质
例7（2019 上海）设 m 是常数，若点 F（0,5）是双曲线
m=
16 ．
y2 x2 1 的一个焦点，则
m9
【解析】由于点 F（0,5） 是双曲线 y2 x2 1 的一个焦点，
mx y 2m 1 0m R 相 切 的所 有 圆 中， 半 径 最 大的 圆 的 标准 方 程
为 x 12 y2 2．
【解析】由直线 mx y 2m 1 0m R与圆相切得圆心到直线的距离d 等于
圆的半径 r ，
即r m1 m1 ， m2 1 m2 1
到直线 2x y 0 的距离为 4 5 ，则圆 5
【解析】
的方程为 x 22 y2 9．
圆 C 的圆心在 x 轴正半轴上，圆心到直线 2x y 0 的距离为 4 5 ， 5
待定系数法
设圆的方程 x a2 y b2 r 2，其中圆心 (a, b) ，
C1
C2
C1
C2
C1
（一）直线与圆、圆与圆
例1（2016 浙江）已知
，方程 a2 x2 (a 2) y2 4x 8y 5a 0 表示圆，则
圆心坐标是
- 2,-4 ，半径是
5．
【解析】因为方程 a2 x2 (a 2) y2 4x 8y 5a 0 表示圆 ，
AB CD 0 ，则点 A 的横坐标为
．
（一）直线与圆、圆与圆
巩固练习1.
A
【解析】圆 x 22 y2 2 的圆心C2,0 ，半径r 2 ，可以计算 AB 2 2 ，
设点 P 到直线 x y 2 0 的距离为 h ，△ ABP的面积 S 1 AB h
2
设圆心 C2,0 到直线 x y 2 0 的距离为d ，
A
由点到直线距离公式计算得 d 2 2 .
hmax d r 2 2 2 3 2 ， hmin d r 2 2 2 2 2≤S≤6.
y
P
O
Cx
B
（一）直线与圆、圆与圆
巩固练习2. （2018 江苏） 在平面直角坐标系 xOy 中， 为直线 l : y 2x 上在第一象
r
m 1
m2 1
m 12
m2 1

m2 2m 1 m2 1

1

2m m2
1
，
因为
m2

1≥
2m
，
2m m2
1
≤1，当且仅当
m

1
时等号成立，
故 r ≤ 2 ，所以所求圆为 x 12 y2 2 ．
（一）直线与圆、圆与圆
例5 （2015 江苏） 在平面直角坐标系 xOy 中，以点 1,0 为圆心且与直线
A. 内切
【解析】由
B. 相交
，得
C. 外切
D. 相离
，所以圆
的圆心为
，半径为
．由圆 截直线
所得线段的长
度是 ，得
，解得
．
圆 的圆心为
，半径为
，所以
， ，所以圆 与圆
， 相交．
，因为
（一）直线与圆、圆与圆
巩固练习1.
（2018 全国 III）直线 x y 2 0 分别与 x 轴，y 轴交于 A, B 两点，点 P 在圆
y
O Fx
x 0， , y R
关于x轴对称
F p ,0 2
x p 2
y
FO
x
y
F
Ox
y
O x
F
x - ,0, y R x R, y 0，
O0,0
关于x轴对称
关于y轴对称
F - p ,0 2
x p 2
e 1
F 0，p 2
5.圆与圆的位置关系：
设圆C1半径为r1,设圆C2半径为r2, C1C2 为两圆的圆心距，则
内含
C1C2 r1 r2
内切
C1C2 r1 r2
相交
r1 r2 C1C2 r1 r2
外切
C1C2 r1 r2
相离
C1C2 r1 r2
C C2 1ຫໍສະໝຸດ C C2 1C2设圆心到直线距离为 d,圆的半径为 r，则 d r时，直线与圆相离；d r时，直线与圆相切；d r时，直线与圆相交
C
C
C
4.直线与圆相交的弦长：
AB 2 r2 d 2
B
D
A
C
在RtACD中，AC
r, CD
d,
AD

AB ,
2
则
AB 2
2
d2

r2
（一）直线与圆、圆与圆
mx y 2m 1 0m R 相 切 的所 有 圆 中， 半 径 最 大的 圆 的 标准 方 程
为 x 12 y2 2 ． 【解析】观察直线 mx y 2m 1 0 可化为mx 2 y 1 0 ，
表示直线 mx y 2m 1 0 恒过定点 P2，-1 ，
圆心C1,0 到直线距离的最大值就是 PC ,r PC 2 .
（一）直线与圆、圆与圆
例6（2016 山东）已知圆 M：x2 y2 2ay 0a 0截直线 x y 0 所得线段的
长度是 2 2 ，则圆 M 与圆 N：x 12 y 12 1 的位置关系是 B
m9
故该双曲线的焦点在 y 轴上，从而
．
从而得出
，解得
．
（二）圆锥曲线的定义、标准方程和几何性质
例8 （2018 江苏）在平面直角坐标系
xOy
中，若双曲线
x2 a2

y2 b2
1(a
0,b
0)
的
右 焦 点 F（c,0） 到 一 条 渐 近 线 的 距 离 为 3 c ， 则 其 离 心 率 的 值 2
所以 a2 a 2 ，解得 a 1或a 2
当
时，
圆的方程为
，即
．
圆心的坐标为（- 2，- 4），半径为 5．
当 a 2 时， 圆的方程为 4x2 4 y2 4x 8y 10 0 ，即 x2 y2 x 2 y 5 0 ，
2 此时， D2 E2 4F 1 4 4 5 0 ，应舍去.
所以圆的方程为 x2 y2 - 2x 0 .
【 另解】 由图可知，三角形ABO是等腰直角三角形， 所以经过三个点的圆的圆心是OB中点（1,0），半径等于1.
y
A
B
O
x
数形结合
（一）直线与圆、圆与圆
例3 （2016 天津）已知圆 C 的圆心在 x 轴正半轴上，点 (0, 5）在圆 C 上，且圆心
2
2
2
因为 AB CD 0 ,所以 AB CD ,故 ACD 为等腰直角三角形，
点 C 到直线 l : y 2x 的距离 d 2 r ， 2
即 5 2 5a2 10a 25 ，解得 a 31舍 .
5
4
D O
C
Bx
（二）圆锥曲线的定义、标准方程和几何性质
1.椭圆定义：
F1-c,0，F2 c,0其中c2 a 2 b2
关于x轴、y轴对称，关于（ 0,0）中心对称
A1- a,0，A2 a,0
F1-c,0，F2 c,0其中c2 a2 b2
关于x轴、y轴对称，关于（0,0）中心对称
2a、2b、2c 长轴 A1A2 2a，短轴B1B2 2b，焦距F1F2 2c 实轴A1A2 2a，虚轴B1B2 2b，焦距F1F2 2c
解析几何专题讲座
天津市第十四中学 管亚楠
核心是“坐标法” 解决解析几何问题的“三步曲”
几何问题
翻译
转化
代数结果
代数问题
运算
（一）直线与圆、圆与圆 （二）圆锥曲线的定义、标准方程和几何性质 （三）直线与圆锥曲线
（一）直线与圆、圆与圆
1.常用公式：
直线的点斜式方程：y yo k (x x0 ) 直线的斜截式方程：y kx b
限内的点，
，以 AB 为直径的圆 C 与直线 交于另一点 ．若
AB CD 0 ，则点 的横坐标为
3
．
【解析】设 Aa,2a a 0 ，点C 是 A, B 的中点，则圆心C a 5 , a ，
2
y
A
半径 r 1 AB
a 52 4a2

5a2 10a 25 ，
x 22 y2 2 上，则△ ABP面积的取值范围是
A. 2,6 B. 4,8 C. [ 2,3 2] D. [2 2,3 2]
巩固练习2.
（2018 江苏） 在平面直角坐标系 xOy 中， 为直线 l : y 2x 上在第一象
限内的点，
，以 AB 为直径的圆 C 与直线 交于另一点 ．若
两点Ax1, y1 , Bx2 , y2 间的距离 AB x2 x1 2 y2 y1 2
点Px0 , y0 到直线l : Ax By C 0的距离d
Ax0 By0 C A2 B2
两平行直线l1 : Ax By C1 0与l2 : Ax By C2 0间的距离d
2
（一）直线与圆、圆与圆
例2（2018 天津） 在平面 直角坐标系中 ，经过三点 (0,0),(1,1),(2,0) 的圆的 方程