高中数学竞赛专题讲座（解析几何）一、基础知识1．椭圆的定义，第一定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的距离）的点的轨迹，即|PF 1|+|PF 2|=2a (2a>|F 1F 2|=2c).第二定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e(0<e<1)的点的轨迹（其中定点不在定直线上），即e dPF =||(0<e<1). 第三定义：在直角坐标平面内给定两圆c 1: x 2+y 2=a 2, c 2: x 2+y 2=b 2, a, b ∈R +且a ≠b 。

从原点出发的射线交圆c 1于P ，交圆c 2于Q ，过P 引y 轴的平行线，过Q 引x 轴的平行线，两条线的交点的轨迹即为椭圆。

2．椭圆的方程，如果以椭圆的中心为原点，焦点所在的直线为坐标轴建立坐标系，由定义可求得它的标准方程，若焦点在x 轴上，列标准方程为12222=+b y a x (a>b>0)， 参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x （θ为参数）。

若焦点在y 轴上，列标准方程为12222=+b y a y (a>b>0)。

3．椭圆中的相关概念，对于中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆12222=+by a x ， a 称半长轴长，b 称半短轴长，c 称为半焦距，长轴端点、短轴端点、两个焦点的坐标分别为(±a, 0), (0, ±b), (±c, 0)；与左焦点对应的准线（即第二定义中的定直线）为c a x 2-=，与右焦点对应的准线为c a x 2=；定义中的比e 称为离心率，且ac e =，由c 2+b 2=a2知0<e<1.椭圆有两条对称轴，分别是长轴、短轴。

4．椭圆的焦半径公式：对于椭圆=+2222by a x 1(a>b>0), F 1(-c, 0), F 2(c, 0)是它的两焦点。

若P(x, y)是椭圆上的任意一点，则|PF 1|=a+ex, |PF 2|=a-ex.5．几个常用结论：1）过椭圆上一点P(x 0, y 0)的切线方程为12020=+byy a x x ； 2）斜率为k 的切线方程为222b k a kx y +±=；3）过焦点F 2(c, 0)倾斜角为θ的弦的长为θ2222cos 2c a ab l -=。

6．双曲线的定义，第一定义：满足||PF 1|-|PF 2||=2a(2a<2c=|F 1F 2|, a>0)的点P 的轨迹；第二定义：到定点的距离与到定直线距离之比为常数e(>1)的点的轨迹。

7．双曲线的方程：中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线方程为12222=-b y a x ， 参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕtan sec b y a x （ϕ为参数）。

焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为12222=-b x a y 。

8．双曲线的相关概念，中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线12222=-by a x (a, b>0), a 称半实轴长，b 称为半虚轴长，c 为半焦距，实轴的两个端点为(-a, 0), (a, 0). 左、右焦点为F 1(-c,0), F 2(c, 0)，对应的左、右准线方程分别为.,22c a x c a x =-=离心率a ce =，由a 2+b 2=c 2知e>1。

两条渐近线方程为x a ky ±=，双曲线12222=-by a x 与12222-=-b y a x 有相同的渐近线，它们的四个焦点在同一个圆上。

若a=b ，则称为等轴双曲线。

9．双曲线的常用结论，1）焦半径公式，对于双曲线12222=-by a x ，F 1（-c,0）, F 2(c, 0)是它的两个焦点。

设P(x,y)是双曲线上的任一点，若P 在右支上，则|PF 1|=ex+a, |PF 2|=ex-a ；若P （x,y ）在左支上，则|PF 1|=-ex-a ，|PF 2|=-ex+a.2) 过焦点的倾斜角为θ的弦长是θ2222cos 2c a ab -。

10．抛物线：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫焦点，直线l 叫做抛物线的准线。

若取经过焦点F 且垂直于准线l 的直线为x 轴，x 轴与l 相交于K ，以线段KF 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，设|KF|=p ，则焦点F 坐标为)0,2(p ，准线方程为2px -=，标准方程为y 2=2px(p>0)，离心率e=1.11．抛物线常用结论：若P(x 0, y 0)为抛物线上任一点， 1）焦半径|PF|=2p x +； 2）过点P 的切线方程为y 0y=p(x+x 0)； 3）过焦点倾斜角为θ的弦长为θ2cos 12-p。

12．极坐标系，在平面内取一个定点为极点记为O ，从O 出发的射线为极轴记为Ox 轴，这样就建立了极坐标系，对于平面内任意一点P ，记|OP|=ρ,∠xOP=θ，则由（ρ，θ）唯一确定点P 的位置，（ρ，θ）称为极坐标。

13．圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比为常数e 的点P ，若0<e<1，则点P 的轨迹为椭圆；若e>1，则点P 的轨迹为双曲线的一支；若e=1，则点P 的轨迹为抛物线。

这三种圆锥曲线统一的极坐标方程为θρcos 1e ep-=。

二、方法与例题1．与定义有关的问题。

例 1 已知定点A （2，1），F 是椭圆1162522=+y x 的左焦点，点P 为椭圆上的动点，当3|PA|+5|PF|取最小值时，求点P 的坐标。

[解] 见图11-1，由题设a=5, b=4, c=2245-=3,53==a c e .椭圆左准线的方程为325-=x ，又因为1161254<+，所以点A 在椭圆内部，又点F 坐标为（-3，0），过P 作PQ 垂直于左准线，垂足为Q 。

由定义知53||||==e PQ PF ，则35|PF|=|PQ|。

所以3|PA|+5|PF|=3(|PA|+35|PF|)=3(|PA|+|PQ|)≥3|AM|(AM ⊥左准线于M)。

所以当且仅当P 为AM 与椭圆的交点时，3|PA|+5|PF|取最小值，把y=1代入椭圆方程得4155±=x ，又x<0，所以点P 坐标为)1,4155(- 例2 已知P ，'P 为双曲线C ：12222=-by a x 右支上两点，'PP 延长线交右准线于K ，PF 1延长线交双曲线于Q ，（F 1为右焦点）。

求证：∠'P F 1K=∠KF 1Q.[证明] 记右准线为l ，作PD ⊥l 于D ，l E P ⊥'于E ，因为E P '//PD ，则|'||'|||||E P K P PD PK =，又由定义|'||'|||||11E P F P e PD PF ==，所以|'||||'||||'|||11K P PK E P PD F P PF ==，由三角形外角平分线定理知，F 1K 为∠PF 1P 的外角平分线，所以∠K F P 1'=∠KF 1Q 。

2．求轨迹问题。

例3 （1984年高考理科）求经过定点M （1，2），以y 轴为准线，离心率为21的椭圆的左顶点的轨迹方程解：因为椭圆经过点M （1，2），且以y 轴为准线，所以椭圆在y 轴右侧，长轴平行于x 轴设椭圆左顶点为A （x,y ），因为椭圆的离心率为21，所以左顶点A 到左焦点F 的距离为A 到y 轴的距离的21，从而左焦点F 的坐标为),23(y x设d 为点M 到y 轴的距离，则d=1根据21||=dMF 及两点间距离公式，可得 1)2(4)32(9,)21()2()123(22222=-+-=-+-y x y x 即 这就是所求的轨迹方程例4 长为a, b 的线段AB ，CD 分别在x 轴，y 轴上滑动，且A ，B ，C ，D 四点共圆，求此动圆圆心P 的轨迹。

[解] 设P(x, y)为轨迹上任意一点，A ，B ，C ，D 的坐标分别为A(x-2a ,0), B(x+2a,0), C(0, y-2b ), D(0, y+2b), 记O 为原点，由圆幂定理知|OA|•|OB|=|OC|•|OD|，用坐标表示为442222b y a x -=-，即.42222b a y x -=- 当a=b 时，轨迹为两条直线y=x 与y=-x ；当a>b 时，轨迹为焦点在x 轴上的两条等轴双曲线； 当a<b 时，轨迹为焦点在y 轴上的两条等轴双曲线。

例5 在坐标平面内，∠AOB=3π，AB 边在直线l: x=3上移动，求三角形AOB 的外心的轨迹方程。

[解] 设∠xOB=θ,并且B 在A 的上方，则点A ，B 坐标分别为B(3, 3tan θ),A(3,3tan(θ-3π)),设外心为P(x,y)，由中点公式知OB 中点为M ⎪⎭⎫ ⎝⎛θtan 23,23。

由外心性质知.3tan tan 23⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=πθθy 再由OB PM ⊥得23tan 23--x y θ×tan θ=-1。

结合上式有 )3tan(πθ-•tan θ=.2332⎪⎭⎫⎝⎛-x ①又 tan θ+)3tan(πθ-=.32y ② 又 .3tan 3tan3⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--==πθθπ所以tan θ-)3tan(πθ-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+3tan tan 13πθθ两边平方，再将①，②代入得1124)4(22=--y x 。

即为所求。

3．定值问题。

例6 过双曲线12222=-by a x (a>0, b>0)的右焦点F 作B 1B 2x ⊥轴，交双曲线于B 1，B 2两点，B 2与左焦点F 1连线交双曲线于B 点，连结B 1B 交x 轴于H 点。

求证：H 的横坐标为定值。

[证明] 设点B ，H ，F 的坐标分别为(asec α,btan α), (x 0, 0), (c, 0)，则F 1，B 1，B 2的坐标分别为(-c, 0), (c, ab 2-), (c, a b 2)，因为F 1，H 分别是直线B 2F ，BB1与x 轴的交点，所以.cos sin sin ,cos sin 20αααααb a ac ab x b a ab c ++=-=①所以 ααααα222220cos cos sin sin 2)sin (b ab a c b b a cx -++=ααααα222222sin cos sin sin )sin (c b ab a c b b a +-++= )sin )(sin ()cos sin (sin )sin (2b c b c b a a c b b a +-+++=αααααα。