普陀区2019学年度第一学期初三质量调研
数 学 试 卷
（时间：100分钟 满分：150分）
考生注意：
1. 本试卷含三个大题，共25题. 答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作
答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效.
2. 除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或
计算的主要步骤.
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1. 已知
3
5
x y =，那么下列等式中，不一定正确的是（ ） （A ）53x y = （B ）8x y += （C ）
8
5
x y y += （D ）
3
5
x x y y +=
+ 2. 下列二次函数中，如果函数图像的对称轴是y 轴，那么这个函数是（ ）
（A ）22y x x =+
（B ）221y x x =++ （C ）22y x =+
（D ）2(1)y x =-
3. 已知在Rt △ABC 中，∠C = 90°，1
sin 3
A =，那么下列说法中正确的是（ ）
（A ）1cos 3B = （B ）1cos 3A =
（C ）tan A
（D ）cot B 4. 下列说法中，正确的是（ ）
（A ）如果k = 0，a 是非零向量，那么0ka = （B ）如果e 是单位向量，那么1e = （C ）如果b a =，那么b a =或b a =-
（D ）已知非零向量a ，如果向量5b a =-，那么a ∥b
5. 如果二次函数2()y x m n =-+的图像如图1所示，
那么一次函数y mx n =+的图像经过（ ） （A ）第一、二、三象限 （B ）第一、三、四象限 （C ）第一、二、四象限
（D ）第二、三、四象限
6. 如图2，在Rt △ABC 中，∠ACB = 90°，CD ⊥AB ，垂足为点D ，如果
2
ADC CDB C =△△， AD = 9，那么BC 的长是（ ） （A ）4 （B ）6 （C ） （D ）
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7. 化简：1
2()()2
a b a b +--=__________.
8. 抛物线2(2)y a x =-在对称轴左侧的部分是上升的，那么a 的取值范围是__________. 9. 已知函数2()321f x x x =--，如果x = 2，那么()f x =__________.
10. 如果抛物线22y ax ax c =++与x 轴的一个交点坐标是(1,0)，那么与x 轴的另一个交点
的坐标是__________.
11. 将二次函数222y x x =-+的图像向下平移m （0m >）个单位后，它的顶点恰好落在x
轴上，那么m 的值等于__________. 12. 已知在Rt △ABC 中，∠C = 90°，1
cot 3
B =
，BC = 2，那么AC = __________. 13. 如图3，△ABC 的中线AD 、CE 交于点G ，点F 在边AC 上，GF ∥BC ，那么
GF
BC
的值是__________.
14. 如图4，在△ABC 与△AED 中，
AB BC
AE ED
=
，要使△ABC 与△AED 相似，还需要添加一个条件，这个条件可以是__________.（只需填一个条件） 图3 图4 图5
D
C
B
A
C
B
E
D
A
G F
E
D
C
B
A
C
B
D
A
图2
15. 如图5，在Rt △ABC 中，∠C = 90°，AD 是三角形的角平分线，
如果AB =
AC =那么点D 到直线AB 的距离等于__________.
16. 如图6，斜坡AB 长为100米，坡角∠ABC = 30°，现因“改小坡度”工程的需要，将斜坡
AB 改造成坡度1:5i =的斜坡BD （A 、D 、C 三点在地面的同一条垂线上），那么由点A 到点D 下降了__________米.（结果保留根号）
图6 图7 图8
17. 如图7，在四边形ABCD 中，∠ABC = 90°，对角线AC 、BD 交于点O ，AO = CO ，
CD ⊥BD ，如果CD = 3，BC = 5，那么AB = __________. 18. 如图8，在Rt △ABC 中，∠C = 90°，AC = 5，5
sin 13
B =
，点P 为边BC 上一点， PC = 3，将△ABC 绕点P 旋转得到△'''A B C （点A 、B 、C 分别与点'A 、'B 、'C 对应），使''B C ∥AB ，边''A C 与边AB 交于点G ，那么'A G 的长等于__________.
三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19. （本题满分10分）
计算：222sin 60cos60tan 604cos45︒-︒︒-︒
20. （本题满分10分）
如图9，在△ABC 中，点D 、E 、F 分别在边AB 、AC 、BC 上，DE ∥BC ，EF ∥AB ，
:1:3AD AB =.
（1）当DE = 5时，求FC 的长；
（2）设AD a =，CF b =，那么FE =__________， EA =__________（用向量a 、b 表示）
C
B
A
O
D
C B
A
D C
B
A
F
E
D
C
B
A
图9
如图10，在△ABC 中，点P 、D 分别在边BC 、AC 上，P A ⊥AB ，垂足为点A ， DP ⊥BC ，垂足为点P ，AP BP
PD CD
=
. （1）求证：∠APD =∠C ；
（2）如果AB = 3，DC = 2，求AP 的长.
22. （本题满分10分）
函数m y x =
与函数x
y k
=（m 、k 为不等于零的常数）的图像有一个公共点(3,2)A k -， 其中正比例函数y 的值随x 的值增大而减小，求这两个函数的解析式.
23. （本题满分12分）
已知，如图11，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AOD BOC S S =△△. （1）求证：
DO CO
OB OA
=
； （2）设△OAB 的面积为S ，CD
k AB
=，求证：2(1)ABCD S k S =+四边形.
D
C
P
B
A
图10
O
D
C
B
A
图11
在平面直角坐标系xOy中（如图12），已知抛物线2
8 ()
3
y ax a x c
=+++（0
a≠）经过点(3,2)
A--，与y轴交于点(0,2)
B-，抛物线的顶点为C，对称轴与x轴交于点D.
（1）求抛物线的表达式及点C的坐标；
（2）点E是x轴正半轴上的一点，如果∠AED =∠BCD，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，点P是位于y轴左侧抛物线上的一点，如果△P AE是以AE为直角边的直角三角形，求点P的坐标.
图12
如图13，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C = 90°，AD = 2，BC = 5，DC = 3，点E在
边BC上，tan3
AEC
∠=，点M是射线DC上一个动点（不与点D、C重合），联结BM交射线AE于点N，设DM x
=，AN y
=.
（1）求BE的长；
（2）当动点M在线段DC上时，试求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）当动点M运动时，直线BM与直线AE的夹角等于45°，请直接写出这时线段DM 的长.
E D C
B
A
N
M E
D
C
B
A
图13
备用图
参考答案
一、选择题 1、B
2、C
3、A
4、D
5、B
6、C
二、选择题
7、2a b + 8、2a < 9、7 10、()3,0- 11、1
12、6 13、1
3 14、B E ∠=∠（答案不唯一） 15、2
16、50- 17、154 18、20
13
三、解答题
19、3+20、（1）10
（2）1
2
a b -
21、（1）证明略 （222、y x =-，9
y x
=- 23、证明略 24、（1）24423y x x =+-，3
(,5)2
C -- （2）(1,0)E
（3）或3
(,5)2
--
25、（1）2
（2）y =
03x <<）
（3）
1
2
或13。