普陀区2015学年度第一学期初三质量调研数 学 试 卷 2016.1（时间：100分钟，满分：150分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上]1． 如图1，BD 、CE 相交于点A ，下列条件中，能推得DE ∥BC 的条件是（ ▲ ） （A ）AE ∶EC =AD ∶DB ； （B ）AD ∶AB =DE ∶BC ； （C ）AD ∶DE =AB ∶BC ； （D ）BD ∶AB =AC ∶EC ．2．在△ABC 中，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，DE ∥BC ，如果△ADE 的面积等于3，那么△ABC 的面积等于（ ▲ ）（A ）6； （B ）9； （C ）12； （D ）15．3．如图2，在Rt △ABC 中，∠C =90°，CD 是斜边AB 上的高，下列线段的比值不等于．．．cos A 的值的是（ ▲ ） （A ）AD AC； （B ）AC AB； （C ）BD BC； （D ）CD BC．4．如果a 、b 同号，那么二次函数21y ax bx =++的大致图像是（ ▲ ）DCBA图2E DCBA图15．下列命题中，正确的是（ ▲ ）（A ）圆心角相等，所对的弦的弦心距相等； （B ）三点确定一个圆；（C ）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧； （D ）弦的垂直平分线必经过圆心．6．已知在平行四边形ABCD 中，点M 、N 分别是边BC 、CD 的中点，如果a AB =，b AD =，那么向量MN 关于a 、b 的分解式是（ ▲ ） （A ）1122a b -； （B ）1122a b -+； （C ）1122a b +； （D ）1122a b --．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．如果:2:5x y =，那么yx xy +-= ▲ ． 8．计算：2()()a b a b ++-= ▲ ．9．计算： 2sin 45cot 30tan 60+= ▲ ．10．已知点P 把线段AB 分割成AP 和PB (AP ＞PB ) 两段，如果AP 是AB 和PB 的比例中项，那么:AP AB 的值等于 ▲ ．11．在函数①c bx ax y ++=2，②22)1(x x y --=，③2255xx y -=，④22+-=x y 中，y 关于x 的二次函数是 ▲ ．（填写序号） 12．二次函数223y x x =+-的图像有最 ▲ 点．13．如果抛物线n mx x y ++=22的顶点坐标为（1，3），那么n m +的值等于 ▲ ．14．如图3，点G 为△ABC 的重心，DE 经过点G ，DE ∥AC ， EF ∥AB ，如果DE 的长是4，那么CF 的长是 ▲ ．15．如图4，半圆形纸片的半径长是1cm ，用如图所示的方法将纸片对折，使对折后半圆的中点M 与圆心O 重合，那么折痕CD 的长是 ▲ cm ．图316．已知在Rt △ABC 中，∠C =90°，点P 、Q 分别在边AB 、AC 上，4AC =，3BC AQ ==，如果△APQ 与△ABC 相似，那么AP 的长等于 ▲ ．17．某货站用传送带传送货物．为了提高传送过程的安全性，工人师傅将原坡角为45°的传送带AB ，调整为坡度31:=i 的新传送带AC （如图5所示）．已知原传送带AB 的长是24米．那么新传送带AC 的长是 ▲ 米．18．已知A （3，2）是平面直角坐标系中的一点，点B 是x 轴负半轴上一动点，联结AB ，并以AB 为边在x 轴上方作矩形ABCD ，且满足:1:2BC AB =，设点C 的横坐标是a ，如果用含a 的代数式表示点D 的坐标，那么点D 的坐标是 ▲ ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）已知：如图6，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，13AD BC =，点M 是边BC 的中点，AD a =，AB b =.（1）填空：BM = ▲ ，MA = ▲ .（结果用a 、b 表示）.（2）直接在图中画出向量2a b +.（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）O图4图5图6M B20．（本题满分10分）将抛物线212y x =先向上平移2个单位，再向左平移m (m ＞0)个单位，所得新抛物线经过点（-1，4），求新抛物线的表达式及新抛物线与y 轴交点的坐标．21．（本题满分10分）如图7，已知AD 是⊙O 的直径，AB 、BC 是⊙O 的弦，AD ⊥BC ，垂足是点E ，8BC =，2DE =．求⊙O 的半径长和sin ∠BAD 的值．22．（本题满分10分）如图8，已知有一块面积等于12002cm 的三角形铁片ABC ，已知底边BC 与底边上的高的和为100cm （底边BC 大于底边上的高），要把它加工成一个正方形铁片，使正方形的一边EF 在边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、 AC 上，求加工成的正方形铁片DEFG 的边长．图7DA图8F GE D CB A23．（本题满分12分）已知：如图9，在四边形ABCD 中，ADB ACB ∠=∠，延长AD 、BC 相交于点E ，求证：（1）△ACE ∽△BDE ； （2）BE DC AB DE =．24．（本题满分12分）如图10，已知在平面直角坐标系xOy 中， 二次函数273y ax x c =-+的图像经过 点A （0, 8）、B （6, 2），C （9, m ），延长AC 交x 轴于点D . （1）求这个二次函数的解析式及m 的值； （2）求ADO ∠的余切值；（3）过点B 的直线分别与y 轴的正半轴、x 轴、线段AD 交于点P （点A 的上方）、M 、Q ，使以点P 、A 、Q 为顶点的三角形与△MDQ 相似，求此时点P 的坐标.图10图9EDC B A25．（本题满分14分）如图11，已知锐角∠MBN 的正切值等于3，△PBD 中，∠BDP ＝90°，点D 在∠MBN 的边BN 上，点P 在∠MBN 内，PD ＝3，BD ＝9．直线l 经过点P ，并绕点P 旋转，交射线BM 于点A ，交射线DN 于点C ．设CACP＝x ， （1）求x ＝2时，点A 到BN 的距离；（2）设△ABC 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）当△ABC 因l 的旋转成为等腰三角形时，求x 的值．l PNMDCBA图11 PNMDB 备用图普陀区2015学年度第一学期九年级数学期终考试试卷参考答案及评分说明一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．(A)； 2．(C)； 3．(C)； 4．(D)； 5．(D)； 6． (B).二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.73； 8. b a +3； 9. 213 ； 10.215-； 11．④； 12. 低； 13．1； 14．2； 15．3；16 17．8； 18．三、解答题（本大题共7题，其中第19---22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分，满分78分）19．解：（1；32MA a b =--. ··········································· （3分+3分） （2）答案略. ·············································································· （4分）20．解：由题意可设新抛物线的表达式是2)(212++=m x y . ··························· （2分） 该图像经过点（-1，4），∴把1-=x ，4=y 代入2)(212++=m x y ，得 2)1(2142++-=m . 解得31=m ， 21m =-（不合题意，舍去）. ································· （4分） ∴此时新抛物线的表达式是2)3(212++=x y . ·································· （1分）令0=x ，得213=y . ···································································· （2分） ∴新抛物线2)3(212++=x y 与y 轴的交点坐标为（0，213）. ··········· （1分）21、解：联结OB ． ··················································································· （1分） AD 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦，AD ⊥BC ，垂足为点E ，∴∠090=OEB ，BC EC BE 21==． ·········································· （2分） 又 8BC =，∴4BE =． ························································· （1分） 设⊙O 的半径长是x ，则2OE x =-．在Rt △OEB 中，∠090=OEB ，∴222BO OE BE =+，即2224(2)x x +-=，解得5x =． ··············· （2分）∴⊙O 的半径长是5． ·································································· （1分） ∴1028AE AD DE =-=-=． ················································· （1分）由勾股定理得：AB = ························································ （1分） 在Rt △AEB 中，∠090=AEB ， ∴sin∠5BE BAD AB ===················································ （1分）22．解法一：过点A 作AH ⊥BC ，垂足为H ，交DG 于P ． ······························· （1分）由题意得：11200,2100.BC AH BC AH ⎧=⎪⎨⎪+=⎩ ·············································· （1分）解得：60,40.BC AH =⎧⎨=⎩································································ （1分）设正方形DEFG 的边长为x cm ．∵四边形DEFG 是正方形，EF 在边BC 上，∴DG ∥BC ．得△ADG ∽△ABC ． ····························································· （1分）由AH ⊥BC ．得AP ⊥DG ，即AP 是△ADG 的高． ······················ （1分） ∴AP DGAH BC=． ································································· （1分） ∵PH ⊥BC ，GF ⊥BC ， ∴PH =GF ，AP=AH-PH=AH-GF ． ··········· （1分） ∴AH GF DGAH BC-=． ························································· （1分）得404060x x-=， 解得24x =． ············································ （1分） 答：加工成的正方形铁片DEFG 的边长等于24cm ． ··················· （1分）解法二：过点A 作AH ⊥BC ，垂足为H ，交DG 于P ． ···························· （1分）设正方形DEFG 的边长是x cm ，AH =h cm ，BC =a cm ．由题意得：2400a h =，100a h +=． ·································· （1分）∵四边形DEFG 是正方形，EF 在边BC 上，∴DG ∥BC ．得△ADG ∽△ABC ． ····························································· （1分） 由AH ⊥BC ．得AP ⊥DG ，即AP 是△ADG 的高． ······················ （1分） ∴AP DGAH BC=． ································································· （1分） ∵PH ⊥BC ，GF ⊥BC ， ∴PH =GF ，AP=AH-PH=AH-GF ． ··········· （1分）∴h x xh a-=． ··································································· （1分） 得ah x a h =+=2400100=24． ····················································· （2分）答：加工成的正方形铁片DEFG 的边长等于24cm ． ··················· （1分）23． 证明：（1）∵+180ADB BDE ∠∠=，+180ACB ACE ∠∠=， ··············· （2分）又∵ADB ACB ∠=∠， ························································· （1分） ∴BDE ACE ∠=∠． ·························································· （1分） ∵AEC BED ∠=∠， ·························································· （1分） ∴△AEC ∽△BED ． ························································ （1分） （2）∵△AEC ∽△BED ，∴DE BECE AE =． ·································································· （1分） ∴DE CEBE AE=． ································································· （1分） ∵DEC BEA ∠=∠， ·························································· （1分） ∴△DEC ∽△BEA ． ························································· （1分） ∴DC DEAB BE=． ·································································· （1分） ∴BE DC AB DE =． ························································ （1分）24．解：（1）由题意得8,72366.3c a c =⎧⎪⎨=-⨯+⎪⎩解得2,98.a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ································· （2分） ∴这个二次函数的解析式是227893y x x =-+. ···························· （1分） ∵点C （9, m ）在这个二次函数的图像上，∴把9x =，y m =代入解析式，得5m =. ································· （1分） 所以m 的值为5.（2）解一：由（1）得C （9, 5）.设直线AC 的表达式是()0y kx b k =+≠， 由题意得8,59.b k b =⎧⎨=+⎩解得1,38.k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴直线AC 表达式是183y x =-+. ················································· （2分） ∴点D 的坐标是（24, 0）. ···························································· （1分） 在Rt △ADO 中，cot 3ODADO AO∠==. ······································· （1分） 解二：由（1）得C （9, 5）.过点C 作CE ⊥x 轴，由CE ∥y 轴，可得CE DEAO DO=. ······················· （1分） 得598DO DO-=. ·········································································· （1分） 解得24DO =. ·········································································· （1分） 在Rt △ADO 中，cot 3ODADO AO∠==. ······································· （1分） （3）∵AQP MQD ∠=∠， QMD ∠>APQ ∠，∴△APQ 与△MDQ 相似只能APQ MDQ ∠=∠. ···························· （1分） 可得cot cot APQ MDQ ∠=∠.过点B 作BF ⊥y 轴，在Rt △FBP 中，cot 3PF APQ BF∠==， 解得18PF =. ··········································································· （2分）∴点P 的坐标是（0, 20）. ··························································· （1分）25、解：（1）过点A 作AH ⊥BN ，垂足为点H . ············································· （1分）由∠BDP ＝90°，可得PD ∥AH ． ·········································· （1分）∴AH CA PD CP=． ····································································· （1分） ∵CA CP ＝x ， x ＝2，PD ＝3， 得：=6AH ． ······································································· （1分）（2） 同理得：=3AH x ． ································································ （1分）在Rt △ABH 中，由tan 3MBN ∠=，可得BH x =， ·················· （1分）从而9DH x =-．∵ PD ∥AH ，∴CH CA CD CP =． 得：9=1x CD x --． ·································································· （1分） ∵12ABC S BC AH =， ∴193921x y x x -⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭． 化简得：2121x y x =-．（1＜x ≤9）······································· （1分+1分） H l P NMD C B A（3）过点P 作PQ ∥AB ，交BN 于点Q .则△PQC ∽△ABC .由△ABC 是等腰三角形，可得△PQC 是等腰三角形.由PQ ∥AB ，可得tan 3PQD ∠=.∴=1DQ，PQ .① 如果AB AC =，得PQ PC =.∴1CD DQ ==.∴1052CB x CQ ===. ······························································ （1分） ②如果AB BC =，得PQ QC =.∴QC =1DC =. ················································ （1分）∴55CB x CQ ===. ..................................................... （1分） ③如果AC BC =，得PC QC =.在Rt △PDC 中，由勾股定理得：4CD =. ································· （1分） ∴9413145CB x CQ +===+. ························································· （1分） 综上所述，当△ABC 因l 的旋转成为等腰三角形时，x 的值等于5和135．Q lPNMD C B A。