小波分析及其应用
Wavelet Analysis and It’s Applications
西南交通大学 电气工程学院
何正友 （zheng_u@)
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0.1信号的时－频联合分析
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参考：
0”W.1av信elets号aM3nd..VS的1eutbt多ebr时alni,d分C－od辨in频g分“, 联析合原分理析
机器将要
锋利钻头
1.2 出现故障 时频分析的必要性
要 点 1.2机.2器例已经子 出现故障
钻头有点 钝
钻头很钝
机械故障诊断
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小波分析概述
小波分析是当前数学中一个迅速发展的新领域，它同时具有理 论深刻和应用十分广泛的双重意义。
小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程师 J.Morlet在1974年首先提出的，通过物理的直观和信号处理的实 际需要经验的建立了反演公式，当时未能得到数学家的认可。正如 1807年法国的热学工程师J.B.J.Fourier提出任一函数都能展开成 三角函数的无穷级数的创新概念未能得到著名数学家 grange，place以及A.M.Legendre的认可一样。幸 运的是，早在七十年代，A.Calderon表示定理的发现、Hardy空 间的原子分解和无条件基的深入研究为小波变换的诞生做了理论上 的准备，而且J.O.Stromberg还构造了历史上非常类似于现在的小 波基；1986年著名数学家Y.Meyer偶然构造出一个真正的小波 基，并与S.Mallat合作建立了构造小波基的统一的方法。－多分辨 分析
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1.2 时频分析的必要性
要 点 1.2.2例子
(a)线性调频信号 (b)正弦调制信号 ©三次方相位 (d)双曲型信号
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1.2 时频分析的必要性
要 点 1.2.2例子
多分量信号 13
1.2 时频分析的必要性
要 点 1.2.2例子
人类的语音(exp(ix)+1=0的发音）
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语音分析是时频分析发展的一个重要原因
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小波分析概述
建立多尺度分析之后，小波分析才开始蓬
勃发展起来，其中比利时女数学家
I.Daubechies撰写的《小波十讲(Ten
Lectures on Wavelets)》对小波的普及起了
重要的推动作用。它与Fourier变换、窗口
Fourier变换(Gabor变换)相比，这是一个时间
和频率的局域变换，因而能有效的从信号中提取
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小波变换用于无损数据隐藏（交通图象）
原始图象 （1024×768）
（1024×768）
信息隐藏后的伪装图象
同时隐藏 5 张（320×280）图象（见下页） 8
同时隐藏的 5 张（320×280）交通图象，可完全恢复
（1）上海延安路
（2）外地
（3） 上海 曲阳路
（4） 上海 曲阳路
（5） 上海 曲阳路
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小波分析概述
(1)小波分析用于信号与图象压缩是小波分析应用的一个重要 方面。它的特点是压缩比高，压缩速度快，压缩后能保持信号 与图象的特征不变，且在传递中可以抗干扰。基于小波分析的 压缩方法很多，比较成功的有小波包最好基方法，小波域纹理 模型方法，小波变换零树压缩，小波变换向量压缩等。 (2)小波在信号分析中的应用也十分广泛。它可以用于边界的 处理与滤波、时频分析、信噪分离与提取弱信号、求分形指 数、信号的识别与诊断以及多尺度边缘检测等。 (3)在工程技术等方面的应用。包括计算机视觉、计算机图形 学、曲线设计、湍流、远程宇宙的研究与生物医学方面。
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小波分析概述
事实上小波分析的应用领域十分广泛，它包括：数学领域 的许多学科；信号分析、图象处理；量子力学、理论物理；军 事电子对抗与武器的智能化；计算机分类与识别；音乐与语言 的人工合成；医学成像与诊断；地震勘探数据处理；大型机械 的故障诊断等方面；例如，在数学方面，它已用于数值分析、 构造快速数值方法、曲线曲面构造、微分方程求解、控制论 等。在信号分析方面的滤波、去噪声、压缩、传递等。在图象 处理方面的图象压缩、分类、识别与诊断，去污等。在医学成 像方面的减少B超、CT、核磁共振成像的时间，提高分辨率 等。
信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号
进行多尺度细化分析(Multiscale Analysis)，
解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题，
从而小波变化被誉为“数学显微镜”，它是调和分
析发展史上里程碑式的进展。
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小波分析概述
小波分析的应用是与小波分析的理论研究紧密地结 合在一起的。现在，它已经在科技信息产业领域取得了 令人瞩目的成就。 电子信息技术是六大高新技术中重要 的一个领域，它的重要方面是图象和信号处理。现今， 信号处理已经成为当代科学技术工作的重要部分，信号 处理的目的就是：准确的分析、诊断、编码压缩和量 化、快速传递或存储、精确地重构(或恢复)。从数学地 角度来看，信号与图象处理可以统一看作是信号处理(图 象可以看作是二维信号)，在小波分析的许多应用中，都 可以归结为信号处理问题。现在，对于其性质随实践是 稳定不变的信号，处理的理想工具仍然是傅立叶分析。 但是在实际应用中的绝大多数信号是非稳定的，而特别 适用于非稳定信号的工具就是小波分析。
Prentice Hall PTR, 1995
• 2.一定分辨率的近
1逼近的好坏与分辨率高低是一致的。 2高分辨率应包含低分辨率逼近。 3以小波来说，a = 2 j 越小，分辨率越高。
当在某一个分 辨度检测不到 的现象，在另 一个分辨度却 很容易观察处
理。
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图像压缩示意 (真彩色图像)
阈值T(0、5、10、20)测试 结果(1级分解)
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研究生讲座：小波分析及其应用
小波分析是近二十年出现的一 种新的数学分析方法，它被数学 家和工程师们独立地发现，是调 和分析50年来发展的一个突破性 进展，反映了大科学时代学科之 间相互渗透、交叉、融合的趋势 ，是纯粹数学与应用数学及工程 技术殊途同归的光辉典范。
阈值T(0、20、40、80) 结果(3级分解)
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图像压缩示意
阈值T(0、5、10、20)测试结果(1级分解) 阈值T(0、20、40、80)结果(3级分解)
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数据嵌入核磁共振医学图象 (可无损恢复)
(水印图象见下页)
(a)原始 (512×512×8)
(b)小波域嵌入水印图象
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水印图象
(192×120×2 二值图象)