1．2 信号奇异性检测
信号中的奇异点及不规则的突变部分经常带有比较重要的信 息，它是信号重要的特征之一。比如，在故障诊断(特别是机械故 障诊断〕中，故障通常表现为输出信号发生突变，因而对突变点 的检测在故障诊断中有着非常重要的意义。 长期以来，傅里叶变换是研究函数奇异性的主要工具，其方 法是研究函数在博里叶变换域的衰减以推断函数是否具有奇异性 及奇异性的大小。但傅里叶变换缺乏空间局部性，它只能确定一 个函数奇异性的整体性质，而难以确定奇异点在空间的位置及分 布情况。而小波变换具有空间局部化性质，因此，利用小波变换 来分析情号的奇异性及奇异性位置和奇异度的大小是比较有效的 。 通常情况下，信号奇异性分两种情况:一种是信号在某个时刻 内，其幅值发生突变.引起信号的非连续，幅值的突变处是第一种 类型的间断点；另一种是信号外观上很光滑，幅值没有突变，但 是，信号的一阶微分有突变产生，且一阶微分是不应续的，称为 第二种类型的间断点。
例2 给定一信号(信号文件名为leleccum. mat) ，请用db1小 波对信号分别进行单尺度和兰尺度分解，求出各次分解 的低频系数和高颇系数，并分别用低频系数、高颇系数 以及低高颇系数进行重构。 解: 该问题是适用小波分析进行信号单、多尺度分解与 重构方法的全面的讨论。通过对该问题的分析，主要让 学生清楚如何用小波分析对信号进行单尺度、多尺度分 解以及对信号进行部分重向和全面重构。
2 定理6.1 假定小波φ(x) 是紧支撑的， f ( x) L ( R)是有界和连续的 如果对于某个 0<a<1, f(x)的小波变换满足：
Wf ( s, x ) Ks 1 / 2
那么f(x)是R上具有指数 a 的Lipschitz a 连续。 1、检测第一种类型的间断点 在这个例子中，介绍了在用小波分析来检测第一类间断点 情况下，信号幅位变化的准确时间，即间断点的准确位置。在 这个例子中，信号的不连续是由于低频持征的正弦信号在后半 部分中，突然有中高频特征的正弦信号加入了。分析的目的是 将中高频特征的正弦信号加入的时间点检测出来。
函数的正则性与奇异性是两个相对的概念，Lipschitz a 指 数越大，函数越光滑；函数在一点连续、可微，则在该点的 Lipschitz a 指数为1。在一点可导，而导数有界且不连续时， Lipschitz a 指数仍为1 ;如果f(x)在x0的Lipschitz a< 1 ，则称函 数在x0点是奇异的。一个在x0点不连续但有界的函数，该点的 Lipschitz a 指数为0 。 函数积分一次，其Lipschitz a 指数加1，函数微分一次，其 Lipschitz a 指数减1，对于具有直到n阶的连续导数的函数f(x), 有以下定义： 定义6.2 设n 是一非负整数， n< α <= n+1 ，如果存在着两个常 数A 和h0>0 ，以及n次多项式Pn (h)， 使得对任意的h<=h0，均 有: | f(x0+h)-Pn (h)| < A |h|a ,则说f(x) 在点x0为Lipschitz a 连 续。 如果上式对区间(c,d)内的所有x的均成立，且x+h属于(c,d)， 称f(x)在(c,d)上是一致Lipschitz α. 等价的表达式： | f(n)(x0+h)-f(n)(x0)| < A |h|a-n
用于一维信号分析的函数主要有:
(1)小波分解函数 • cwt 连续小波变换 • dwt 单尺度离散小波变换 • dwtper 单尺度离散小波变换(周期性) • wavedec 多尺度小波分解(多分辨分析）
(2) 小波重建函数 • idwt 单尺度离散小波反变换 • idwtper 单尺度离散小波重构(周期性) • waverec 多尺度小波重构
程序清单：
我们看到，该信号的一阶微分曲线在t＝100点处，有明显 的不连续。将该信号进行小波分解后，第一层的高频部分d1将 信号的不连续点显示得相当明显，这个断裂点在信号的中部发 生，在其它地方可以忽略。由上图可以看出，利用小波分析进 行信号的不连续点的定位非常精确。像这种间断点的定位，一 般来说，是在小波分解的第一层和第二层高频部分中进行判断 的。
在利用小波分析这种局部奇异性时，小波系数取决于f(x) 在 x0点的邻域内的特性及小波变换所选取的尺度。在小波变换中， 局部奇异性可定义为: 2 定义6.3 设 f ( x) L ( R) ，小波φ(x) 满足实且连续可微，并具有n 阶消失矩(n 为正整数) .若对于 x x0 有:
Wf ( s, x) Ks
我们看到，在该信号的小波分解中，第一层(D1)和第二层 (D2)的高频部分将信号的不连续点显示得相当明显，因为信号 的断裂部分包含的是高频部分。这里需要说明的是，如果我们 只想辨别出信号的不连续点，用dbl小波比db5、波效果更好。 由上固可以看出，信号不连续点的时域定位非常精确，即该点 在时域中(t＝500)一个非常小的范围之内。这种情况一般是在 小波分解的第一层和第二层高频中判断。 2．检测第二种类型的间断点 例 对某一给定的信号，它是由两个独立的满足指数方程的 信号连接起来的．请利用小波分析来检测出第二类司断点的准 确位置。 解：这个例子中的信号，在外观上是很光滑的曲线变。分析 的目的是将第二类间断点寻找出来。 程序清单：
第六章小波分析的应用
第一节 Matlab的小波分析 第二节 用Haar小波提取湍流多尺度相干结构
第一节 Matlab的小波分析
随着小波理论的日益成熟，人们对小波皮分 析的实际应用越来越重视，它已经广泛地应用于 信号处理、图像处理、量子场论、地震勘探、语 音识别与合成，音乐、雷达、CT成像、 彩色复 印、流体湍流、天体识别、机器视觉、机械故障 诊断与监控、分形以及数字电视等科技领域。在 本节，主要介细如何利用用小波分析函数处理一 些实际的工程问题。
K 为常数，则称a为x0点的奇异性指数(也称Lipschitz 指数)。 定义6.4 对于x x0，有 Wf ( s, x) Wf ( s, x0 ) ，则称x0 为小被变 换在尺度s下的局部极值点。 小波变换模极大值点，对应于信号的奇异点，可通过检测小波 变换模极大值点的方法来检测信号突变点。
f ( x0 h) f ( x0 ) A h ,

x0 (a, b), x0 h [a, b]
则称函数f(x)在x0具有指数a的利普希茨(Lipschitz)连续，a叫利 普希茨指数。如果f(x)在区间(a,b)上都连续，则称为一致利普 希茨连续。 将具有指数a的利普希茨连续函数的全体记为 Ca，对于函 数 f(x),使得f(x)属于Ca的a的上界，称为f(x)的正则性指数。
一般说来，一维信号的消噪过程可分为三个步骤进行： (1)一维信号的小波分解。选择一个小波并确定一个小波分解 的层次N，然后对信号s进行N层小波分解。 (2)小波分解高频系数的阈值量化。对第1到第N层的每一层高 频系数，选择一个阈值进行软阈值量化处理。 (3)一维小波的重构。根据小波分解的第N层的低频系数和经过 量化处理后的第1层到第N层的高频系数，进行一维信号的小波 重构。 在这三个步骤之中，最关键的就是如何选取阈值和如何进行阈 值的量化，从某种程度上说，它直接关系到信号消噪的质量。 在上面的说明过程中，我们是以最简单的信号模型对信号消 噪进行说明,在实际中，这种最基本的模型是不能直接运用的， 为了求得模型的标准偏差．需要对信号消噪的主要函数wden的 输入参数进行设置。该函数最简单的用法是：
a6=wrcoef(‘a’,c,l,’db5’,6) subplot(812) plot(a6) for i=1:6 decmp=wrcoef(‘d’,c,l,’db5’,7-i) subplot(8,1,i+2) plot(decmp) end
1 0 -1 20 0 -2 10 0 -1 0.5 0 0 -0.5 20 0 -2 0.5 0 0 -0.5 0.5 0 0 -0.5 0.5 0 0 -0.5 0
100 100 100 100 100
200 200 200 200 200
300 300 300 300 300
400 400 400 400 400
500 500 500 500 500
600 600 600 600 600
700 700 700 700 700
800 800 800 800 800
1. 1 小波分析的一些数学计算 在这里，我们以小波分析这数学工具处理一些数 学问题，从某种意义上讲，这种应用是帮助读者对 小波分析理论本身有进一步的理解。
例1：对于一给定的正弦信号：
利用用多分辩分析对该信号进行分解与重向。
解: 该问题是一个纯数学问题，通过对该问题的讲解，我们可以 加深对小波分析中的多分辨分析的理解，即如何时信号进行 多层分解与重构。在这里，我们分别选用db1 和coif3 小波对 该正弦信号进行三层多分辩分析，处理过程可编程如下: 见程序 p6_1.m
例：对一个给定的含有突变点的信号(信号的文件名为 freqbrk.mat)，请利用小波分 析对信号突变点的时机进行检测。
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.80
400
500
600
700
800
900
1000
Load freqbrk S = freqbrk Ls = length(s) [c,l] = wavedec(s,6,’db5’) Subplot(811) plot(s)
1.3 小波分析用于信号消噪处理
1．噪声信号的小波分析 运用小波分析进行一维信号消噪处理是小波分析的一个重 要应用之一，下面我们将其消噪的基本原理作一个简要的说明。 一个含噪声的一维信号的模型可以表示成如下的形式：
在这里，我们以一个最简单的噪声模型加以说明，即认 为e(i)为高斯白噪声N(0，1)，噪声级(noise level)为1。在实 际的工程中，有用信号通常表现为低频信号或是一些比较平 稳的信号，而噪声信号则通常表现为高频传号。所以消噪过 程可按如下方法进行处理：首先对信号进行小波分解(如进 行三层分解，分解过程如图3．7所示)，则噪声部分通常包 含在cDl，cD2，cD3中，因而，可以以门限阈值等形式对小 波系数进行处理，然后对信号进行重构即可以达到消噪的目 的。对信号s(i)消噪的目的就是要抑制信号中的噪声部分， 从而在s(i)中恢复出真实信号f(i)。