n
P ( B Aj ) P Aj
i 1 i

i
P( A )P(B A )
[题型一 概率的基本计算] 【例 1.1】 A B C ___
A A B C B A B C C A B A D A B A
C
C
1 【P332，例 1】事件 A, B ，满足 P ( A) P ( B ) 和 2 ) P ( A B ) 1则有(
【P326，例 3】设工厂 A,B 的产品的次品率分别 为 1%和 2%，现在从由产品 A 和 B 的产品分别占 60%和 40%的一批产品中随机抽取 1 件 （1）求该产品是次品的概率 （2）已知取出为次品，求该次品属于 A 生产的 概率
【例 1.9】设有甲、乙两个箱子，甲箱中有 m 只 白球， n 个红球，乙箱中有 a 个白球， b 个红球， 现从甲箱中任意取出一只放入乙箱，再从乙箱中 任取出一球，求 （1）从乙中取出的是白球的概率 （2）已知从乙中取出的是白球，从甲放入乙中 的是白球的概率 （3）已知从乙中取出的是白球，从甲放入乙中 的是红球的概率
(六)全概率公式与贝叶斯公式 1.完备事件组：若事件 A1
Ai Aj ,1 i j n，称事件 A1 ,
An ,
, An 是一个完备事
件组.
2.全概率公式： P ( B ) P ( Ai ) P ( B Ai ).
i 1
n
3.贝叶斯公式：
P ( Aj B )
5.[必然事件]：随机试验中必然发生的事件，记 作 . 6.[不可能事件]：每次试验中一定不发生，记为 .
(二) 事件的关系和运算 1.事件间的关系 (1) 包含： A B (2) 相等： A B. (3) 和： A B. A B (4) 积： A B =AB (5) 差: (6)互斥(互不相容)： AB . (7)对立(互逆)： A B ， A B . 对立事件记为 B A.
【例】甲乙两名运动员进行打靶训练，每次打靶 甲中靶的概率为 0.5，乙中靶的概率为 0.3，甲 乙两人都中靶的概率为 0.2，每次打靶中只要有 一人中靶就称为此次打靶合格，第 n次 n 3 打靶 合格恰好是第 3 次合格的概率 ___
63
(三)概率的定义与性质 1.概率的定义 (1)非负性： P ( A) 0. (2)规范性： P ( ) 1.(反之不成立) (3)可列可加性： A1 , A2 , 两两互不相容
P ( A1 A2 ) P ( A1 ) P ( A2 )
2.概率的性质 (1)非负性： 0 P ( A) 1. (2)规范性： P () 0, P ( ) 1. (3)有限可加性： A1 , A2 , , An 两两互不相容
）
【 P332 ， 例 2 】 设 X ,Y 为 2 个 随 机 变 量 ， 且
3 , P X 0,Y 0 7 P max X ,Y 0 =___
4 P X 0 P Y 0 7
则
【 P328 ， 4 】 设 A, B, C 是 随 机 事 件 ， 且
【例】 设 A, B, C 是三个相互独立的随机事件，且 则下列给定的四对事件中不一定相互 0 P (C ) 1， 独立的是 ( ) ( A) A B 与 C ( B ) A C 与C (C ) A B 与 C ( D ) AB 与C
【题型四 全概率公式与贝叶斯公式】 【P327，例 4】在 1,2,3,4 中任取 1 个数为 X ， 再从1, X 中任取一个数为Y ，则 P Y 2 ___
1 P A P B P C , P AB P BC 0 , 4 1 P AC ,求 A, B, C 都不发生的概率 8
【 例 】 P ( A) 0.3, P B 0.4, P AB 0.5 , 则
P BA
P( A | B) P( A | B) 1 【例】 设 0 P ( A) 1,0 P ( B) 1， 则( )
（A） A,B 互不相容 （B） A,B 互逆 （C） A,B 相互独立 （D） A,B 不独立
【P329，例 3】将一枚硬币连续投掷两次，定义 事件 A1 ： 第一次出现正面，A2 ： 第二次出现正面， 正反面各出现一次，A4 ： 两次都是出现正面， A3 ： 则下列说法正确的是（ （A） A1 , A2 , A3相互独立 （B） A2 , A3 , A4 相互独立 （C） A1 , A2 , A3 两两独立 （D） A2 , A3 , A4 两两独立 ）
2015 考研数学综合强化课
概率论与数理统计
主讲老师：方浩
1
第一章 随机事件与概率
（一）随机试验和样本空间 1.[随机试验] 2.[样本空间]: 随机试验所有可能发生的结果 组成的集合 [样本点]: 随机试验的每个可能结果 3.[基本事件]:样本空间中的一个样本点组成的 单点集 4.[随机事件]:样本空间 的子集
（A） A B （B） AB （C） P ( A B ) 1 （D） P ( A B ) 0
【例】设事件 A, B 互不相容,则（
A P AB 0 B P AB P A P B C P A 1 P B D P A B 1
减法公式：
P ( A1 A2 | B ) P ( A1 B ) P ( A1 A2 | B )
3.乘法公式
P ( AB ) P ( B A) P ( A) P ( A1 A2 An ) P ( An A1 A2
An1 ) P ( A2 A1 ) P ( A1 )
4.两个事件的独立性 定义： P ( AB ) P ( A) P ( B ),称事件 A, B 相互独立. 推论：设 0 P ( A) 1， A, B 独立 P ( B ) P ( B | A) P ( B | A) 性质： A, B 独立，则 A与 B ， A 与 B ， A 与 B 也相互 独立

B ___

【例】设相互独立的事件 A,B 都不发生的概率是
1 ，且 A 发生 B 不发生的概率与 B 发生 A 不发生 9
的概率相等，求 A 发生的概率
1 1 1 【例】 P ( A) , P B A , P A B ,则 4 3 2 P A B ___
2.运算律 (1)交换律： A B B A; A B B A (2)结合律： A ( B C ) ( A B ) C
A (B C ) ( A B) C
(3)分配律： A ( B C ) ( A B ) ( A C ) (4)对偶律(摩根律)： A B A B, A B A B
i 1 i ,j 3


[减法公式] PP ( AB ) [逆事件] P ( A) 1 P ( A)
（四）三大概型 1.古典概型
A中基本事件的个数nA P ( A) 中基本事件总数n
2.几何概型
A的长度（或面积、体积） P ( A) 的长度（或面积、体积）
P ( A1 A2 An ) P ( A1 ) P ( A2 ) P ( An ) .
(4) P ( A) 1 P ( A).
3.基本公式 [加法公式] P ( A B ) P ( A) P ( B ) P ( AB )
P ( A1 A2 A3 ) P Ai P Ai A j P A1 A2 A3
P ( AB ) 率 P ( B A) P ( A)
2.条件概率的性质 (1) 非负性： 0 P ( B | A) 1 (2) 规范性： P ( | A) 1 (3) 逆事件： P ( A | B ) 1 P ( A | B ) (4) 加法公式：
P ( A1 A2 | B ) P ( A1 | B ) P ( A2 | B ) P ( A1 A2 | B )
5.三个事件的独立性 1) P ( AB ) P ( A) P ( B )； 2) P ( AC ) P ( A) P (C )； 3) P ( BC ) P ( B ) P (C )； 4) P ( ABC ) P ( A) P ( B) P (C )； 满足 1-3：称三个事件 A, B, C 两两独立. 满足 1-4：称三个事件 A, B, C 相互独立.
3.伯努利概型 [定义]：随机试验只有两个可能结果：A 和 A ；每 次试验 A发生概率相等 P ( A) p n重伯努利试验， [结论]： 事件 A 发生 k 次的概率：
k k Bk ( n, p) C n p (1 p)n k ( k 0,1,2,
, n) .
（五）条件概率，乘法公式，独立性 1.条件概率： P ( A) 0， A发生条件下 B 发生的概
[题型二 三大概型]
1 【例】 0,1 之间任取两个数，乘积小于 的概率 2
____
【例】区域 D : x 2 y 2 2 x y 0 内任取一点，求该 点与坐标原点的连线和 X 轴正方向所围成的夹角
小于 的概率 3
【P329，7】设一厂家生产的每台仪器以概率 0.7 可直接出厂，以概率 0.3 需进一步调试，经调试 后，以概率 0.8 出厂，以概率 0.2 定为不合格， 不能出厂，现该厂生产了 n(n 2)台仪器(设各台 生产过程相互独立).求 (I)所有机器都能出厂的概率 . (II)其中恰好有两件能出厂的概率 . (III)至少有两件不能出厂的概率 .
[题型三 条件概率与独立性] 【 P328 ， 例 1 】 设 A, B 是 两 个 随 机 事 件 , 0 P A 1, P B 0 P B A P B A 则下列选项