考研数学基础班概率统计讲义第一章随机事件与概率一、随机试验与随机事件(一)基本概念1、随机试验—具备如下三个条件的试验:(1)相同条件下可重复。
(2)试验的可能结果是多样的且是确定的。
(3)某次试验之前不确定具体发生的结果,这样的试验称为随机试验,记为E。
2、样本空间—随机试验的所有可能的基本结果所组成的集合,称为随机试验的样本空间。
3、随机事件—样本空间的子集称为随机事件。
(二)事件的运算1、事件的积—事件A与事件B同时发生的事件,称为事件A,B的积,记为AB。
2、事件的和—事件A或者事件B发生,称为事件A,B的和事件,记为A+ B。
3、事件的差—事件A发生而事件B不发生,称事件A,B的差事件,记为A- B。
(三)事件的关系1、包含—若事件A发生则事件B一定发生,称A包含于B,记为A⊂ B。
若A⊂ B且B⊂ A,称两事件相等,记A= B。
2、互斥(不相容)事件—若A与B不能同时发生,即AB= φ ,称事件A,B不相容或互斥。
3、对立事件—若AB = φ 且A+ B = ∧ 称事件A,B为对立事件。
【注解】(1)A= (A- B)+ AB,且A- B与AB互斥。
(2)A+ B= (A- B)+ (B- A)+ AB,且A- B,B- A,AB两两互斥。
(四)事件运算的性质1、(1)AB⊂ A(或B)⊂ A+ B;(2)AB= BA,A+ B= B+ A;2、(1)A⋃ A= A,A⋂ A= A;(2)A⋂ (B⋃ C)= (A⋂ B)⋃ (A⋂ C),A⋃ (B⋂ C)= (A⋃ B)⋂ (A⋃ C);3、(1)A= (A- B)⋃ A;(2)(A- B)⋂ A= A- B;(3)A+ B= (A- B)⋃ AB⋃ (B- A)。
4、(1)A+ A= ∧ ;(2)A⋂ A= φ 。
二、概率的定义与性质(一)概率的定义—设随机试验的样本空间为∧ ,满足如下条件的随机事件的函数P(∙)称为所对应事件的概率:♠ ♦1、对事件A ,有P (A )≥ 0(非负性)。
2、P (∧)= 1(归一性)。
∞∞3、设A 1,A 2,L ,A n ,L 为不相容的随机事件,则有P (U A n )=∑ P (A n )(可列可加性)。
(二)概率的基本性质 1、P (φ)= 0。
n =1n =1nn2、设A 1,A 2,L ,A n 为互不相容的有限个随机事件列,则P (U A k )=∑ P (A k )。
k =1k =13、P (A )= 1- P (A )。
4、(减法公式)P (A - B )= P (A )- P (AB )。
(三)概率基本公式 1、加法公式(1)P (A + B )= P (A )+ P (B )- P (AB )。
(2)P (A + B + C )= P (A )+ P (B )+ P (C )- P (AB )- P (AC )- P (BC )+ P (ABC )。
2、条件概率公式:设A ,B 是两个事件,且P (A )> 0,则P (B |A )=P (AB )。
P (A )3、乘法公式(1)设P (A )> 0,则P (AB )= P (A )P (B |A )。
(2)P (A 1A 2L A n )= P (A 1)P (A 2|A 1)P (A 3 |A 1A 2)L P (A n |A 1A 2L A n -1)。
三、事件的独立性1、两个事件的独立—设A ,B 是两个事件,若P (AB )= P (A )P (B ),称事件A ,B 相互独立。
♣P (AB )=P (A )P (B );2、三个事件的独立—设A ,B ,C 是三个事件,若♠P(AC )=P (A )P (C ); ♠P (BC )=P (B )P (C ); ♠♥P (ABC )=P (A )P (B )P (C ),,称事件A ,B ,C 相互独立。
【注解】(1)A ,B 相互独立的充分必要条件是A ,B、A ,B 、A ,B 任何一对相互独立。
(2)设P (A ) = 0或P (A )= 1,则A 与任何事件B 独立。
(3)设P(A)> 0,P(B)> 0,若A,B独立,则A,B不互斥;若A,B互斥,则A,B不独立。
四、全概率公式与Bayes公式1、完备事件组—设事件组A1,A2,L,A n满足:(1)A i A j= φ(i,j= 1,2,L,n,i≠ j);n(2)U A i = ∧ ,则称事件组A1,A2,L,A n为一个完备事件组。
i=12、全概率公式:设A1, A2,L,A n 是一个完备事件组,且P(A i)> 0(i= 1,2,L,n),B为事件,则nP(B)= ∑ P(A i)P(B|A i)。
i=13、贝叶斯公式:设A1,A2,L,A n为一个完备事件组,且P(A i)> 0(i= 1,2,L,n),B为任一随机事件,P(B)> 0,则P(A|B)= P(Ai)P(B|Ai)。
i P(B)例题选讲一、填空题1、设P(A)= 0.4,P(A⋃ B)= 0.7,(1)若A,B不相容,则P(B)=;(2)若A,B相互独立,则P(B) =。
2、设P(A)= P(B)= P(C)=。
1,P(AB)= P(AC) = P(BC)=14 6,则事件A,B,C全不发生的概率为3、设两两相互独立的事件A,B,C满足:ABC= φ,P(A)= P(B)= P(C)< 1,且有P(A+ B+ C)=9,2 16则P(A)=。
4、设事件A,B满足P(AB)= P(AB),且P(A)= p,则P(B)=。
5、设A,B为两个相互独立的随机事件,且A,B都不发生的概率为1,A发生B不发生的概率与A不发生B 9发生的概率相等,则P(A) =。
二、选择题:1、设A,B是两个随机事件,且0< P(A)< 1,P(B)> 0,P(B|A)= P(B|A),则[ ](A)P(A|B)= P(A|B);(B)P(A|B)≠ P(A|B);(C)P(AB)= P(A)P(B);(D)P(AB)≠ P(A)P(B)。
2、设事件A,B满足0< P(A)< 1,0< P(B)< 1,且P(A|B)+ P(A| B)= 1,则[ ](A)事件A,B对立;(B)事件A,B相互独立;(C)事件A,B不相互独立;(D)事件A,B不相容。
三、解答题1、一批产品共有10个正品和2个次品,任意抽取2次,每次抽取一个,抽取后不放回,求第二次抽取的是次品的的概率。
2、设工厂A与工厂B的次品率分别为1%和2%,现从由A和B生产的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件,发现是次品,求该次品是A生产的概率。
3、设事件A在每次试验中的概率为p,三次独立重复试验中事件A至少出现一次的概率为19,求事件A 27发生的概率p。
4、甲乙两人独立对同一目标射击一次,命中率分别为50%和60%,已知目标被命中,求是甲命中的概率。
第二章一维随机变量及其分布一、基本概念1、随机变量—设∧为随机试验E的样本空间,ξ为定义在∧上的函数,对任意的ω ∈∧ ,总存在唯一确定的ξ (ω)与之对应,称ξ 为随机变量,若ξ 的可能取值为有限个或可列个,称ξ 为离散型随机变量,若ξ 在某可区间上连续取值,称ξ 为连续型随机变量。
2、分布函数—设ξ 为一个随机变量,称函数F(x)= P{ξ ≤ x}(-∞ < x< +∞)为随机变量ξ 的分布函数。
【注解1】分布函数的四个特征为(1)0≤ F(x)≤ 1。
(2)F(x)单调不减。
(3)F(x)右连续。
(4)F(-∞) = 0,F(+∞)= 1。
【注解2】分布函数的性质(1)P{X< a}= F(a- 0)。
(2)P{X= a}= F(a)- F(a- 0)。
(3)P{a< x≤ b}= F(b)- F(a)。
(4)P{a< X< b}= F(b- 0)- F(a)。
3、离散型随机变量的分布律—称P{X= x i}= p i(1≤ i≤ n)称为随机变量X的分布律。
【注解】(1)p i≥ 0(1≤ i≤ n)。
(2)p1 + p2 +L+ p n = 1。
n ♦ ♠ ♦ x 4、连续型随机变量的密度函数—设X 的分布函数为F (x ),若存在非负可积函数f (x ),使得xF (x )=⎰-∞f (t )dt ,称f (x )为X 的密度函数。
+∞【注解】(1)f (x )≥0。
(2)⎰-∞f (x )dx =1。
二、常见随机变量及其分布 (一)离散型1、二项分布—若随机变量X 的分布律为P {X = k }= C k p k (1- p )n -k(0≤ k ≤ n ),称随机变量X 服从二项分布,记为X ~ B (n , p )。
2、Poisson 分布—若随机变量X 的分布律为P {X = k }= λe -λ (k = 0,1,2,L ) ,称随机变量X 服从泊松分k !布,记为X ~π (λ)。
3、几何分布—若随机变量X 的分布律为P {X = k } = p (1 - p )k -1(k = 1,2,L ) ,称随机变量X 服从几何分布,记为X ~G (p )。
(二)连续型♣ 1, a ≤ x ≤ b1、均匀分布—若随机变量ξ的密度函数为f (x )=♠b -a♠♥0,其他,称随机变量ξ 服从均匀分布,记为♣0,x <0ξ ~U (a ,b ),其分布函数为F (x )= ♠ x- a ,a ≤ x < b 。
♠b -a ♠♥1,x ≥b2、正态分布—若随机变量ξ 的密度函数为f (x ) =1e2πσ(x -μ )22σ 2(-∞ < x < +∞),称随机变量ξ 服从正态分布,记为ξ ~N (μ,σ 2),特别地,若μ = 0,σ = 1,称随机变量服从标准正态分布,记为ξ ~N (0,1),其密度2为ϕ(x ) = 1 e -2 (-∞ < x < +∞),其分布函数为2πxΦ(x )=⎰-∞ϕ(t )dt 。
♣λe -λx x ≥3、指数分布—若随机变量ξ 的密度为f (x )= ♦ , 0(λ > 0),称随机变量ξ 服从指数分布,记为♥0,x <0k-⎰ ♣0,x <0ξ ~E (λ),其分布函数为F (x )= ♦♥1-e-λx。
, x ≥ 0【注解】(1)Φ(0)= 1,Φ(-a )= 1- Φ(a )。
2(2)若ξ ~N (μ,σ 2),则P {ξ ≤ μ}= P {ξ > μ}= 1。
2(3)若ξ ~N (μ,σ 2),则ξ - μ~N (0,1)。
σ(4)若ξ ~N (μ,σ 2),则P {a < ξ ≤ b }= F (b )- F (a )= Φ(b - μ )- Φ(a - μ )。