2020年闵行区数学二模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．在下列各式中，与213xy 是同类项的是（A ）2xy ；（B ）2y x -； （C ）213xy +； （D ）2x y ．2．方程230x -+=根的情况 （A ）有两个不相等的实数根； （B ）有一个实数根；（C ）无实数根；（D ）有两个相等的实数根．3．在平面直角坐标系中，反比例函数(0)ky k x=≠图像在每个象限内，y 随着x 的增大而增大，那么它的图像的两个分支分别在 （A ）第一、三象限； （B ）第二、四象限； （C ）第一、二象限；（D ）第三、四象限．4．某同学参加射击训练，共发射8发子弹，击中的环数分别为5，3，7，5，6，4，5，5，则下列说法错误的是 （A ）其平均数为5； （B ）其众数为5； （C ）其方差为5；（D ）其中位数为5．5．顺次联结四边形ABCD 各边中点所形成的四边形是矩形，那么四边形ABCD 是 （A ）平行四边形； （B ）矩形； （C ）菱形；（D ）等腰梯形．6．下列命题中正确的个数是 ① 过三点可以确定一个圆；② 直角三角形的两条直角边长分别是5和12，那么它的外接圆半径为6.5； ③ 如果两个半径为2厘米和3厘米的圆相切，那么圆心距为5厘米； ④ 三角形的重心到三角形三边的距离相等． （A ）1个；（B ）2个；（C ）3个；（D ）4个．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．计算：252-+= ▲ ． 8．化简：113a a-= ▲ ． 9．不等式组2(3)14524x x x ->⎧⎨+>-⎩的解集是 ▲ ．10．方程210x x -⋅-=的解是 ▲ ．11．为了考察闵行区1万名九年级学生数学知识与能力测试的成绩，从中抽取50本试卷，每本试卷30份，那么样本容量是 ▲ ．12．如果向量AB 与向量CD 方向相反，且5AB CD ==，那么AB CD += ▲ ． 13．在一张边长为4cm 的正方形纸上做扎针随机试验，纸上有一个半径为1cm 的圆形阴影区域，那么针头扎在阴影区域内的概率为 ▲ ．（结果保留π） 14．把直线y x b =-+向左平移2个单位后，在y 轴上的截距为5，那么原来的直线解析式为 ▲ ．15．已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC = 90°，对角线AC 、BD 相交于点O ，且AC ⊥BD ，如果AD ︰BC = 2︰3，那么DB ︰AC = ▲ ．16．七宝琉璃玲珑塔（简称七宝塔），位于上海市七宝古镇的七宝教寺内，塔高47米，共7层．学校老师组织学生利用无人机实地勘测，如果无人机在飞行的某一高度时传回数据，测得塔顶的仰角为60°，塔底的俯角为45°，那么此时无人机距离地面的高度为 ▲ 米．（结果保留根号）17．已知点（1-，y 1），（2，y 2），（2，y 3）在函数222y ax ax a =-+-（0a >）的图像上，那么y 1、y 2、y 3按由小到大的顺序排列是 ▲ ．18．如图，已知在△ABC 中，AB=AC=4，∠BAC=30°，将△ABC 绕点A 顺时针旋转，使点B 落在点B 1处，点C 落在点C 1处，且BB 1⊥AC ．联结B 1C 和C 1C ，那么△B 1C 1C 的面积等于 ▲ ．ACB（第18题图）三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）计算：32020221(12)1223-+--+-+．20．（本题满分10分）解方程组：222;230.x y x xy y -=⎧⎨--=⎩21．（本题满分10分，其中每小题各5分）已知：如图，在△ABC 中，AB=AC=6，BC=4，AB 的垂直平分线交AB 于点E ，交BC 的延长线于点D ． （1）求CD 的长；（2）求点C 到ED 的距离．BCAD（第21题图）E22．（本题满分10分，其中第（1）（2）小题各3分，第（3）小题4分）上海市为了增强居民的节水意识，避免水资源的浪费，全面实施居民“阶梯水价”．当累计水量达到年度阶梯水量分档基数临界点后，即开始实施阶梯价格计价，分档水量和价格见下表．分档户年用水量（立方米）自来水价格（元/立方米）污水处理费（元/立方米）第一阶梯0-220（含220） 1.92 1.70第二阶梯220-300（含300） 3.30 1.70第三阶梯300以上 4.30 1.70注：1．应缴纳水费= 自来水费总额+ 污水处理费总额2．应缴纳污水处理费总额= 用水量×污水处理费× 0.9仔细阅读上述材料，请解答下面的问题，并把答案写在答题纸上：（1）小静家2019年上半年共计用水量100立方米，应缴纳水费▲元；（2）小静家全年缴纳的水费共计1000.5元，那么2019年全年用水量为▲ 立方米；（3）如图所示是上海市“阶梯水价”y与用水量x的函数关系，那么第二阶梯（线段AB）的函数解析式为▲ ，定义域▲ ．By（元）Ax（立方米）O（第22题图）2203001145.423．（本题满分12分，其中第（1）小题5分，第（2）小题7分）如图，已知在□ABCD 中，AE ⊥BC ，垂足为E ，CE=AB ，点F 为CE 的中点，点G 在线段CD 上，联结DF ，交AG 于点M ，交EG 于点N ，且∠DFC=∠EGC ． （1）求证：CG=DG ； （2）求证：2CG GM AG =⋅．24．（本题满分12分，其中第（1）小题3分，第（2）小题4分，第（3）小题5分）在平面直角坐标系xOy 中，我们把以抛物线2y x =上的动点A 为顶点的抛物线叫做这条抛物线的“子抛物线”．如图，已知某条“子抛物线”的二次项系数为32，且与y 轴交于点C ．设点A 的横坐标为m （m ＞0），过点A 作y 轴的垂线交y 轴于点B ．（1）当m=1时，求这条“子抛物线”的解析式； （2）用含m 的代数式表示∠ACB 的余切值； （3）如果∠OAC=135°，求m 的值．ABEGCFD（第23题图）M NABOCxy （第24题图）25．（本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）、（3）小题各5分）如图，已知圆O 是正六边形ABCDEF 外接圆，直径BE=8，点G 、H 分别在射线CD 、EF 上（点G 不与点C 、D 重合），且∠GBH=60°，设CG=x ，EH=y ． （1）如图①，当直线BG 经过弧CD 的中点Q 时，求∠CBG 的度数； （2）如图②，当点G 在边CD 上时，试写出y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（3）联结AH 、EG ，如果△AFH 与△DEG 相似，求CG 的长．（第25题图②）C BEF DAHO GBF AHEO G C DQ（第25题图①）（备用图）CBEFDAO参考答案及评分标准一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．B ；2．D ；3．B ；4．C ；5．C ；6．A ．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．1-； 8．23a； 9．772x <<； 10．2x =； 11．1500； 12．0； 13．16π；14．7y x =-+； 15 16； 17．231y y y <<； 18．8-三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．解：原式1212=+-+-（2分+2分+2分+2分）4=2分）20．解：由②得：30x y -=，0x y +=………………………………………………（2分）原方程组可化为230x y x y -=⎧⎨-=⎩，20x y x y -=⎧⎨+=⎩…………………………………（2分） 解得原方程组的解为31x y =⎧⎨=⎩，11x y =⎧⎨=-⎩……………………………………（5分） ∴原方程组的解是31x y =⎧⎨=⎩，11x y =⎧⎨=-⎩………………………………………（1分）21．解：（1）过A 点作AF ⊥BC 于点F ．∵AB=AC=6，BC=4，AF ⊥BC ，∴BF=FC=2，∠BF A=90°．……………………………………………（1分）∴在Rt △ABF 中，1cos 3BF B AB ∠==．………………………………（1分） ∵AB 的垂直平分线交AB 于点E ，AB=6，∴AE=BE=3，∠DEB=90°．…………………………………………（1分） 在Rt △DEB 中，1cos 3BE B BD ∠==，∴BD=9．…………………（1分） ∴CD=5．……………………………………………………………（1分） （2）过C 点作CH ⊥ED 于点H ．………………………………………（1分）∵CH ⊥ED ，AB ⊥ED ，∴∠DEB=∠DHC=90°，………………（1分） ∴CH ∥AB ．…………………………………………………………（1分） ∴CH CDBE BD=；………………………………………………………（1分） ∵BE=3，BD=9，CD=5，∴53CH =．……………………………（1分） ∴点C 到ED 的距离CH 为53．22．（1）345；……………………………………………………………………（3分）（2）270；…………………………………………………………………（3分） （3）解析式： 4.83303.6y x =-，定义域：220300x <≤．……………（3分+1分）23．证明：（1）∵□ABCD ，CE=AB ，∴AB=CD=EC ；…………………………（1分）又∵∠DFC=∠EGC ，∠BCD=∠BCD ，∴△ECG ≌△DCF ；……（1分） ∴CG=CF ．…………………………………………………………（1分） ∵点F 为CE 的中点，∴CF=12CE ；………………………………（1分） ∴CG=12CD ，即：CG=DG ．……………………………………（1分） （2）延长AG 、BC 交于点H ．∵△ECG ≌△DCF ，∴∠CEG=∠CDF ．…………………………（1分） ∵□ABCD ，∴AD ∥BC ，∴∠DAH=∠H ，∠ADC=∠DCH ．∴△ADG ≌△HCG ，∴AG=HG ．…………………………………（1分） ∵AE ⊥BC ，∴∠AEC=90°，∴AG=HG=EG ．………………（1分） ∴∠CEG=∠H ，∴∠CDF=∠DAH ．………………………………（1分） 又∵∠AGD=∠DGA ，∴△ADG ∽△DMG ．…………………………（1分） ∴MG DGDG AG=，∴2DG GM AG =⋅…………………………………（1分） 又∵CG=DG ，∴2CG GM AG =⋅．……………………………………（1分）24．解：（1）由题得，A （m ，m 2），当m =1时，A （1，1），……………………………………………（1分）∴这条“子抛物线”的解析式：23(1)12y x =-+．…………………（2分）（2）由A （m ，m 2），且AB ⊥y 轴，可得AB =m ，OB = m 2．………………（1分）∴“子抛物线”的解析式为223()2y x m m =-+．……………………（1分）令x = 0，252y m =，∴点C 的坐标（0，252m ），252OC m =，∴232BC m =．……………………………………………………………（1分）在Rt △ABC 中，2332cot 2mBC ACB m AB m ∠===．…………………（1分）（3）如图，过O点作OD⊥CA的延长线于点D，过点D作y轴的平行线分别交BA的延长线于点E，交x轴于点F．……………………………（1分）∵∠OAC=135°，∴∠OAD=45°，又∵OD⊥CA，∴∠OAD=∠AOD=45°，∴AD=OD，∴△AED≌△DFO，∴AE=DF，DE=OF．……………………（1分）设AE=n，那么DF=n，BE= m + n=OF=ED．又∵OB=EF，∴22m m n=+．…………………………（1分）又∵∠BCA=∠ADE，∴3cot2DE m nADE mAE n+∠===．……（1分）解方程组2232m m nm nmn⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，得12m=，213m=-（舍去）∴m的值为2．……………………………（1分）25．解：（1）如图①，联结OQ．∵正六边形ABCDEF，∴BC=DE，∠ABC=120°．∴BC DE=，∠EBC=12∠ABC=60°．……（1分）∵点Q是CD的中点，∴CQ DQ=．…………………………（1分）∴BC CQ QD DE+=+，即BQ EQ=．…………………………（1分）∴∠BOQ=∠EOQ，又∵∠BOQ+∠EOQ=180°，∴∠BOQ=∠EOQ=90°．BFAHEOGC DQ（第25题图①）又∵BO=OQ ，∴∠OBQ=∠BQO=45°，∴∠CBG=60°-45°=15°．………………（1分） （2）如图②，在BE 上截取EM=HE ，联结HM ．∵正六边形ABCDEF ，直径BE=8， ∴BO=OE=BC=4，∠C=∠FED=120°，∴∠FEB=12∠FED=60°． ∵EM=HE ，EH=y ，∴EM=HE=HM=y ，∠HME=60°，∴∠C=∠HMB=120°．…………………（1分） ∵∠EBC=∠GBH=60°，∴∠EBC -∠GBE=∠EBC -∠GBE ，即∠HBE=∠GBC ．………………………（1分） ∴△BCG ∽△BMH ，∴BC CGBM MH=．……………………（1分） 又∵CG= x ，BE=8，BC=4，∴48xy y=-， ∴y 与x 的函数关系式为84xy x =+（04x <<）．……………（1分+1分） （3）如图③，当点G 在边CD 上时．由于△AFH ∽△EDG ，且∠CDE=∠AFE=120°， ① 当AF FHED DG=．∵AF=ED ，∴FH=DG ， 即：84xx y x ==+，解分式方程得4x =． 经检验4x =是原方程的解，但不符合题意舍去．………………（1分） ② 当AF FH DG DE =．即：4444yx -=-，解分式方程得12x =． 经检验12x =是原方程的解，但不符合题意舍去．……………（1分）（第25题图②）CBEF DAHO GM如图④，当点G 在CD 的延长线上时． 由于△AFH ∽△EDG ，且∠EDG=∠AFH=60°， ① 当AF FHED DG=．∵AF=ED ，∴FH=DG ， 即：84xx y x ==+，解分式方程得4x =． 经检验4x =是原方程的解，但不符合题意舍去．…………………（1分）② 当AF FH DG DE =．即：4444y x -=-，解分式方程得12x =． 经检验12x =是原方程的解，且符合题意．………………………（1分） ∴综上所述，如果△AFH 与△DEG 相似，那么CG 的长为12．…（1分）CBEF DAHO G（第25题图③）CBEFDAHOG（第25题图④）。