L2 ( R) 的 一 个 多 尺 度 分 析 被 定 义 为 满 足 如 下 性 质 的 一 闭 子 空 间 序 列
V j ⊂ L2 ( R ), j ∈Z ,（为了表示方便，最小的空间记为 0，最大的空间记为∞）
1．单调性（逐级包含） ： V j ⊂ V j+1 , 2．二进制伸缩相关性： f ( x ) ∈ V j ⇔ f (2 x ) ∈ V j+1 , f ( x / 2) ∈ V j−1 , 3．平移不变性： f ( x ) ∈ V j ⇔ f ( x − k ) ∈ V j , 4．逼近性： U V j = L2 ( R ) ， { V j }j →∞ = L2 ( R) 且 I V j = { 0} , 即从整个平方可积函
k j
{
}
（2.4.9）
(2) g k 的和 将（2.4.9）式两边同时积分，并同除以尺度函数 ϕ 的积分，可看到：
∑g
k
k
=0
(3) 频域关系式 小波函数的傅立叶变换为
ˆ ˆ ψ (ω ) = g (ω / 2)ϕ (ω / 2) ，
g 是一周期为 2π 的函数 g (ω ) = ∑ g k e − jω k ，
k

（2.4.10） （2.4.11 ）
(4)
递推关系
因为 ϕ ˆ ( 0) = ∫ ϕ (t ) dt =1 ，将（2.4.10）式反复迭代，可推出下式： ˆ ψ (ω ) = g (ω / 2)∏ h( 2 − j ω ) ，
j= 2 ∞
(5) 频域初值
ˆ 在（2.4.10）式中令 ω = 0 ，ψ (0) = ∫ ψ (t ) dt = 0
k 2
2
ˆ ϕ (ω + πk ) +
任取 A≤B，有下式成立：
2 2 ≤ ∑ α j ϕ j ≤ B ∑ α j . A α ∑ j j j j 上式说明了 { α j }与 f 的逼近程度。当 { ϕ j }∈ V0 是规范正交基时，上式的等号成立。
1/ 2
1/ 2
Vj+1 Vj Vj-1
∫
∞ −∞
ϕ ( x) dx = 1.
（2.4.3）
在很多时候，并不能得到尺度函数 ϕ 的解析表达式，但我们有快速算法可以得到
ϕ 在二进点（ x = 2 − j k ; j , k ∈ Z ）的值。在很多应用领域，我们感兴趣的并不是尺
度函数 ϕ 本身，而只是系数 hk 。 (3) 频域关系式 对双尺度方程（2.4.1）做傅立叶变换
D0 f ( x ) = ∑ d k( 0)ψ 0 k d k( 0) = D0 f ,ψ 0k = f ,ψ 0 k
上式实际上就是离散小波变换 WT f ，这样就把多分辨分析和小波变换联系起来 了。 D0 f ( x) 称为 f ( x ) 在 V0 中的细节信息，也就是两极逼近间的细节差异。 Q V1 = V0 ⊕ W 0 ∴ P1 f = P0 f + D0 f ∴ D0 f = P1 f − P0 f
2 k
（2.5.2）
将ϕ ˆ (ω ) = h(ω / 2)ϕ ˆ (ω / 2) （2.4.6）式代入，有（令 ω = ω / 2 ） ：
∑ h(ω + πk )
k
2
ˆ ϕ (ω + πk ) = 1;
2
将上述和式分为偶数和奇数两部分，并考虑 h 以 2π 为周期，可进一步得出：
k∈偶数
∑ h(ω )
{
}
j , k ∈ Z 为 V j 的规范正交基。
同样可得到 f ( x ) 在 V j 中的平滑逼近，也就是 f ( x ) 在分辨率 j 下的概貌。 每一空间 Vj 代表了多尺度分析的一个层次， 其相对于另一个相邻空间是粗糙 的或是精细的。 通过合适地定义向这些空间的投影， 可给出函数在空间 Vj 的近似。
定理 1：设闭子空间序列 V j ⊂ L2 ( R ), j ∈Z ,是 L2 ( R) 的一个多分辨分析，从 g 可构 造出函数 ϕ ( x) ∈ V0 ，使得 { ϕ ( x − k )}构成 V0 的规范正交基：
1/2 1 2 −1 ˆ ˆ ϕ ( x) = F ∑ g (ω + 2mπ ) g (ω ) 2π m∈Z 说明：如果由分解得到的 g ( x ) → {g ( x − k )} 是规范正交的，则令 ϕ = g ；如果不
3.1.3 尺度函数与小波函数的一些重要性质
(i.) 尺度函数
(1) 二尺度差分方程 设 ϕ ∈V0 ∈V1 ，故存在一序列 {h' k }∈ l 2 ，使尺度方程满足
ϕ ( x) = 2 ∑ h 'k ϕ ( 2 x − k ) = 2∑ hk ϕ ( 2 x − k )
k k
（2.4.1）
hk =
由于 {ϕ ( x − l )| l ∈Z } 构成了 V0 的一组单位正交基，那么 ϕ j , l | l ∈ Z 也构成了 Vj 的 单位正交基。
{
}
3.2.1
Poisson 公式
Poisson 公式是正交归一性质在频域上的表现。 (1) 设 f (t − k ), k ∈ z 是一组正交归一的函数集合
t
1 1 ϕ ( x / 2) = ϕ ( x ) + ϕ ( x − 1) = 2 ϕ ( x ) + ϕ ( x − 1) 2 2
(2) h k 的和 将（2.4.1）式两边同时积分，并同除以尺度函数 ϕ 的积分，可看到：
∑h
k
k
=1
（2.4.2）
在一般条件下，尺度函数由其双尺度差分方程和下面的归一化方程唯一确 定，
ˆ ˆ ϕ (ω ) = ∑ hk e − jωk / 2ϕ (ω / 2)
k
，
（2.4.6）
ˆ = h (ω / 2)ϕ (ω / 2)
h 是一周期为 2π 的函数 h (ω ) = ∑ hk e − jω k ，
k
（2.4.7）
(4) 递推关系 因为 ϕ ˆ ( 0) = ∫ ϕ (t ) dt =1 ，将（2.4.6）式反复迭代，可推出下式： ˆ ϕ (ω ) = ∏ h( 2 − j ω ) ，
g ( 0) = 0.
3.2 正交小波基
上节中当 W j 为 Vj 在 V j+ 1 中的正交补空间时， 多尺度分析就成为一正交多尺度 分析。
多尺度分析为正交的一个充分条件为 W0⊥ V0 ， 或 ψ ,ϕ (⋅ − l ) = 0, l ∈ Z , 其它条件通过变换尺度可简单推得。 若 {ϕ ( x − l )| l ∈Z } 是一组单位正交基，则称 ϕ 为正交尺度函数， ϕ 满足 ϕ ,ϕ ( ⋅ − l ) = δ l , l ∈ Z . （2.5.1）
j
如果函数 ψ 的整数平移集合 { ψ ( x − k ) | k ∈ Z }是空间 W0 的 Riesz 基，则函数 ψ 被 称为一小波函数。进而函数集合 { ψ
ϕ j ,k 相似） 。
j, k
| k , j ∈ Z }是 L2 ( R) 的 Riesz 基（ ψ j ,k 定义同
W0 中的任何函数可表示成 { ψ ( x − k )}的线性组合。
↓2
高频部分 细节信号 低频部分 平滑概貌
↓2
x(n) V0
H1 (ω)
↓2
Ｗ１ ：π/2~π H1 (ω) ↓2 Ｗ２ ：π/4~π／２
H0 (ω)
↓2 V1 :0~π/2 ０ V3 π／８ π／４ W2 H0 (ω) π／２ W1 ↓2 π V2 :0~π/4
W3
V2 V1 V0
这种子空间剖分过程可以记为：
V0 = W1 ⊕ V1 ,V1 = W 2 ⊕ V2 ,L , V j −1 = W j ⊕ V j
子空间具有以下特点： 逐级包含： V0 ⊃ V1 ⊃ V2 , L 逐级替换： V0 = W1 ⊕ V1 = W1 ⊕ W2 ⊕ V2 = W1 ⊕ W2 ⊕ L ⊕ W j ⊕ V j
3.1.2 多分辨（多尺度）分析的概念
第三章
３．１ 多分辨分析
多分辨分析
在前一章，我们从连续小波引入了离散小波。现在从多分辨分析的角度对小 波进行分析。
3.1.1 由理想滤波器组引入
为了便于理解，我们先从理想滤波器组引入多分辨分析的概念。
｜Ｘ（ω）｜
－π
π
ω
｜Ｈ０ （ω）｜
｜Ｈ１ （ω）｜
ω －π／２ π／２ －π π ω
x(n)
H1 (ω) π/2~π H0 (ω) 0~π/2
2 h' k 2
该方程一般称为二尺度差分方程。 二尺度差分方程存在于任意两相邻的分辨级 V j ∈ V j +1 ： ϕ j 0 (2 j x) = 2∑ hk ϕ ( 2 j+1 x − k )
k
h k 与 j 的具体值无关，无论对哪两个相邻级其值都相同。
举例：ϕ ( x ) 是宽度=1，高度=1 的方脉冲。 ∫ ϕ ( x )dx = 1 ，且 ϕ ( x − k ), k ∈ z 不重叠， 构成一组规范正交基。 ϕ ( x / 2) 与 ϕ ( x ) 之间有下面的关系：
是规范正交的，则由上式得到 ϕ ( x) ∈ V0 ，称 ϕ 为一尺度函数。 在上述基础上，对各子空间的结构作进一步说明： (1) V0 中的任何函数可表示成 { ϕ ( x − k )}的线性组合。
P0 f ( x) = ∑ f k( 0)ϕ 0 k
P0 f ( x ) 称为 f ( x ) 在 V0 中的平滑逼近，也就是 f ( x ) 在分辨率 j = 0 下的概貌。 (2) 定理 2：设闭子空间序列 V j ⊂ L2 ( R ), j ∈Z ,是 L2 ( R) 的一个多分辨分析， 则 ϕ j ,k = 2 j / 2 ϕ ( 2 j x − k ) ,