一、初一数学几何模型部分解答题压轴题精选(难)1.(1)问题发现:如图 1,已知点 F,G 分别在直线 AB,CD 上,且 AB∥CD,若∠BFE=40°,∠CGE=130°,则∠GEF 的度数为________;(2)拓展探究:∠GEF,∠BFE,∠CGE 之间有怎样的数量关系?写出结论并给出证明;答:∠GEF=▲ .证明:过点 E 作 EH∥AB,∴∠FEH=∠BFE(▲),∵AB∥CD,EH∥AB,(辅助线的作法)∴EH∥CD(▲),∴∠HEG=180°-∠CGE(▲),∴∠FEG=∠HFG+∠FEH=▲ .(3)深入探究:如图 2,∠BFE 的平分线 FQ 所在直线与∠CGE 的平分线相交于点 P,试探究∠GPQ 与∠GEF 之间的数量关系,请直接写出你的结论.【答案】(1)90°(2)解:∠GEF=∠BFE+180°−∠CGE,证明:过点 E 作 EH∥AB,∴∠FEH=∠BFE(两直线平行,内错角相等),∵AB∥CD,EH∥AB,(辅助线的作法)∴EH∥CD(平行线的迁移性),∴∠HEG=180°-∠CGE(两直线平行,同旁内角互补),∴∠FEG=∠HFG+∠FEH=∠BFE+180°−∠CGE ,故答案为:∠BFE+180°−∠CGE;两直线平行,内错角相等;平行线的迁移性;两直线平行,同旁内角互补;∠BFE+180°−∠CGE;(3)解:∠GPQ+∠GEF=90°,理由是:如图2,∵FQ平分∠BFE,GP平分∠CGE,∴∠BFQ=∠BFE,∠CGP=∠CGE,在△PMF中,∠GPQ=∠GMF−∠PFM=∠CGP−∠BFQ,∴∠GPQ+∠GEF=∠CGE− ∠BFE+∠GEF= ×180°=90°.即∠GPQ+∠GEF=90°.【解析】【解答】(1)解:如图1,过E作EH∥AB,∵AB∥CD,∴AB∥CD∥EH,∴∠HEF=∠BFE=40°,∠HEG+∠CGE=180°,∵∠CGE=130°,∴∠HEG=50°,∴∠GEF=∠HEF+∠HEG=40°+50°=90°;故答案为:90°;【分析】(1)如图1,过E作EH∥AB,根据平行线的性质可得∠HEF=∠BFE=40 ,∠HEG=50 ,相加可得结论;(2)由①知:∠HEF=∠BFE,∠HEG+∠CGE=180°,则∠HEG=180°−∠CGE,两式相加可得∠GEF=∠BFE+180°−∠CGE;(3)如图2,根据角平分线的定义得:∠BFQ=∠BFE,∠CGP=∠CGE,由三角形的外角的性质得:∠GPQ=∠GMF−∠PFM=∠CGP−∠BFQ,计算∠GPQ+∠GEF并结合②的结论可得结果.2.如图,在平面直角坐标系中,已知点A(0,4),B(3,0),线段AB平移后对应的线段为CD,点C在x轴的负半轴上,B、C两点之间的距离为8.(1)求点D的坐标;(2)如图(1),求△ACD的面积;(3)如图(2),∠OAB与∠OCD的角平分线相交于点M,探求∠AMC的度数并证明你的结论.【答案】(1)解:∵B(3,0),∴OB=3,∵BC=8,∴OC=5,∴C(﹣5,0),∵AB∥CD,AB=CD,∴D(﹣2,﹣4)(2)解:如图(1),连接OD,∴S△ACD=S△ACO+S△DCO﹣S△AOD=﹣=16(3)解:∠M=45°,理由是:如图(2),连接AC,∵AB∥CD,∴∠DCB=∠ABO,∵∠AOB=90°,∴∠OAB+∠ABO=90°,∴∠OAB+∠DCB=90°,∵∠OAB与∠OCD的角平分线相交于点M,∴∠MCB=,∠OAM=,∴∠MCB+∠OAM==45°,△ACO中,∠AOC=∠ACO+∠OAC=90°,△ACM中,∠M+∠ACM+∠CAM=180°,∴∠M+∠MCB+∠ACO+∠OAC+∠OAM=180°,∴∠M=180°﹣90°﹣45°=45°.【解析】【分析】(1)利用B的坐标,可得OB=3,从而求出OC=5,利用平移的性质了求出点D的坐标.(2)如图(1),连接OD,由S△ACD=S△ACO+S△DCO+S△AOD,利用三角形的面积公式计算即得.(3)连接AC,利用平行线的性质及直角三角形两锐角互余可得∠OAB+∠DCB=90°,利用角平分线的定义可得∠MCB+∠OAM==45°,根据三角形的内角和等于180°,即可求出∠M的度数.3.如图1,∠AOB=120°,∠COE=60°,OF平分∠AOE(1)若∠COF=20°,则∠BOE=________°(2)将∠COE绕点O旋转至如图2位置,求∠BOE和∠COF的数量关系(3)在(2)的条件下,在∠BOE内部是否存在射线OD,使∠DOF=3∠DOE,且∠BOD=70°?若存在,求的值,若不存在,请说明理由.【答案】(1)40(2)解:∵∴∴(3)解:存在.理由如下:∵设∴∵∴∴∴∴【解析】【解答】⑴∴∵OF平分∠AOE,∴∴∴故答案为:40。
【分析】(1)根据,∠EOF=∠COE-∠COF=40°,再由角平分线的定义得出∠AOF=∠EOF=40°,最后∠BOE=∠AOB−∠AOE=120°−80°=40°.(2)由角平分线的定义得出∠AOE=2∠EOF,再利用等量代换得∠AOE=120°−∠BOE=2(60°−∠COF) , 整理得∠BOE=2∠COF;(3)∠DOF=3∠DOE,设∠DOE=α,∠DOF=3α ,∠AOF=∠EOF=2α ,根据∠AOD+∠BOD=120°,构建一个含α的方程,5α+70°=120°求出α,进而求出∠DOF和∠COF.4.已知:如图1,点M是线段AB上一定点,AB=12cm,C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线BA向左运动,运动方向如箭头所示(C在线段AM上,D在线段BM上)(1)若AM=4cm,当点C、D运动了2s,此时AC=________,DM=________;(直接填空)(2)当点C、D运动了2s,求AC+MD的值.(3)若点C、D运动时,总有MD=2AC,则AM=________(填空)(4)在(3)的条件下,N是直线AB上一点,且AN﹣BN=MN,求的值.【答案】(1)2;4(2)解:当点C、D运动了2 s时,CM=2 cm,BD=4 cm∵AB=12 cm,CM=2 cm,BD=4 cm∴AC+MD=AM﹣CM+BM﹣BD=AB﹣CM﹣BD=12﹣2﹣4=6 cm(3)4(4)解:①当点N在线段AB上时,如图1,∵AN﹣BN=MN,又∵AN﹣AM=MN∴BN=AM=4∴MN=AB﹣AM﹣BN=12﹣4﹣4=4∴ = = ;②当点N在线段AB的延长线上时,如图2,∵AN﹣BN=MN,又∵AN﹣BN=AB∴MN=AB=12∴ = =1;综上所述 = 或1【解析】【解答】解:(1.)根据题意知,CM=2cm,BD=4cm,∵AB=12cm,AM=4cm,∴BM=8cm,∴AC=AM﹣CM=2cm,DM=BM﹣BD=4cm,故答案为:2,4;(3.)根据C、D的运动速度知:BD=2MC,∵MD=2AC,∴BD+MD=2(MC+AC),即MB=2AM,∵AM+BM=AB,∴AM+2AM=AB,∴AM= AB=4,故答案为:4;【分析】(1)根据运动速度和时间分别求得CM、BD的长,根据线段的和差计算可得;(2)由题意得CM=2 cm、BD=4 cm,根据AC+MD=AM﹣CM+BM﹣BD=AB﹣CM﹣BD可得答案;(3)根据C、D的运动速度知BD=2MC,再由已知条件MD=2AC求得MB=2AM,所以AM= AB;(4)分点N在线段AB上时和点N在线段AB的延长线上时分别求解可得.5.如图1,已知线段AB=16cm,点C为线段AB上的一个动点,点D、E分别是AC和BC 的中点.(1)若点C恰为AB的中点,求DE的长;(2)若AC=6cm,求DE的长;(3)试说明不论AC取何值(不超过16cm),DE的长不变;(4)知识迁移:如图2,已知∠AOB=130°,过角的内部任一点C画射线OC,若OD、OE 分别平分∠AOC和∠BOC,试说明∠DOE=65°与射线OC的位置无关.【答案】(1)解:∵点C恰为AB的中点,∴AC=BC= AB=8cm,∵点D、E分别是AC和BC的中点,∴DC= AC=4cm,CE= BC=4cm,∴DE=8cm(2)解:∵AB=16cm,AC=6cm,∴BC=10cm,由(1)得,DC= AC=3cm,CE= CB=5cm,∴DE=8cm(3)解:∵点D、E分别是AC和BC的中点,∴DC= AC,CE= BC,∴DE= (AC+BC)= AB,∴不论AC取何值(不超过16cm),DE的长不变(4)解:∵OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC,∴∠DOC= ∠AOC,∠EOC= ∠BOC,∴∠DOE=∠DOC+∠EOC= (∠AOC+∠BOC)= ∠AOB=65°,∴∠DOE=65°与射线OC的位置无关【解析】【分析】(1)由点C恰为AB的中点,得到AC=BC的值,再由点D、E分别是AC和BC的中点,求出DE的值;(2)由(1)得,DC= AC的值,CE= CB的值,得到DE的值;(3)由点D、E分别是AC和BC的中点,得到不论AC取何值(不超过16cm),DE 的长不变;(4)由OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC,根据角平分线定义,得到∠DOE=∠DOC+∠EOC=(∠AOC+∠BOC)=∠AOB,得到∠DOE=65°与射线OC的位置无关.6.如图,已知点,且,满足 .过点分别作轴、轴,垂足分别是点A、C.(1)求出点B的坐标;(2)点M是边上的一个动点(不与点A重合),的角平分线交射线于点N,在点M运动过程中,的值是否变化?若不变,求出其值;若变化,说明理由. (3)在四边形的边上是否存在点,使得将四边形分成面积比为1:4的两部分?若存在,请直接写出点的坐标;若不存在,说明理由.【答案】(1)解:由得:,解得:∴点的坐标为(2)解:不变化∵轴∴BC∥x轴∴∵平分∴∴∴(3)解:点P可能在OC,OA边上,如下图所示,由(1)可知,BC=5,AB=3,故矩形的面积为15若点P在OC边上,可设P点坐标为,则三角形BCP的面积为,剩余部分面积为,所以,解得,P点坐标为;若点P在OA边上,可设P点坐标为,则三角形BAP的面积为,剩余部分面积为,所以,解得,P点坐标为 .综上,点的坐标为, .【解析】【分析】(1)由绝对值和算术平方根的非负性可知由两个非负数的和为0,则这两个数都为0,由此可列出关于,的二元一次方程组,解之即可得出B点坐标;(2)根据平行线和角平分线的性质可证明,所以比值不变化;(3)点P只能在OC,OA边上,表示出两部分的面积,依比值求解即可.7.如图,∠AOB=40°,点C在OA上,点P为OB上一动点,∠CPB的角平分线PD交射线OA于D。