四阶行列式的一种展开法正文
四阶行列式的一种展开法
笔者通过学习与使用行列式的运算，从中悟出四阶行列式的一种展开法，此法只适宜对四阶行列式展开而言。
四阶行列式的计算，通常是在讲授了行列式的性质后，采取降阶的方法进行计算，难免计算的繁杂，有时，按以下介绍的方法，仍能达到快而准的效果。
具体方法如下：
四阶行列式：
a11
D4
a21a31a41
a12a22a32a42
a13a23a33a43
a14a24a34a44
第一次将该行列式前三列重复书写在该行列式的右边，可在前四列中作出两条对角线，然后在此七列中作出相应的平行线，可得(图表一)：
a11a12a21a31a41a42a13a43
a14 44
a11a12224142a13a23a33（图表一）
作乘积关系，可得如下八项：
a11a22a33a44,a12a23a34a41,a13a24a31a42,a14a21a32a43,a41a32a23a14,a42a33a24a 11,a43a34a21a12,a44a31a22a13, 这八项的符号可由它们的下标排列的逆序数确定，不难知道，此八项的符号是正负相间的。
a11a12a21a31a41a42aa43
（图表二）
a44a11a12224142a13a23a3343
同前理可得如下八项：
a11a23a34a42,a13a24a32a41,a14a22a31a43,a12a21a33a44,a41a33a24a12,a43a34a22a 11,a14a32a21a13,a42a31a23a14, 这八项的符号可由它们的下标排列的逆序数确定，不难知道，此八项的符号仍是正负相间的。
第三次先将图表二中的第2、3、4列作一个轮换，即第2列变到第4列上去，第3列变到第2列上去，第4列变到第3列上去，这样可得到一个新的四列关系，尔后参照第一次的作法，可得图表三：
a21a313241a42a43a1444a11a12224142a13a23a33 1
四阶行列式的一种展开法正文
（图表三）
同前理可得如下八项：
a11a24a32a43,a14a22a33a41,a12a23a31a44,a13a21a34a42,a41a34a22a13,a44a32a23a 11,a42a33a21a14,a43a31a24a12, 这八项的符号可由它们的下标排列的逆序数确定，不难知道，此八项的符号仍是正负相间的。
综合三次变形，其符号确定方法，可得四阶行列式的及展开如下：
D4=a11a22a33a44-a12a23a34a41+a13a24a31a42-a14a21a32a43+a41a32a23a14-
a42a33a24a11
+a43a34a21a12-a44a31a22a13+a11a23a34a42-a13a24a32a41+a14a22a31a43-
a12a21a33a44
+a41a33a24a12-a43a34a22a11+a14a32a21a13-a42a31a23a14+a11a24a32a43-
a14a22a33a41
+a12a23a31a44-a13a21a34a42+a41a34a22a13-a44a32a23a11+a42a33a21a14-
a43a31a24a12
四阶行列式的展开式共有24项，全如上面所述结论式。
下面将从三个方面进行证明。
证明：
一、前述展开四阶行列式的结论中的每一项，均由四阶行列式中的元素组成，而且四个元素取自不同的排列。
由于每次排列的各列中，相邻4列始终没有相同的列，所以，组成每项的元素绝对不会相同。
即满足行列式的展开项的特征。
二、由所作出的对角线关系可知，在每一次所得的乘积中，每一个元素只能有两条线经过，所以，一个元素只能在两个乘积中出现，共作三次图表。
所以只能得六项含有该元素，在n阶行列式中，当首选某一个元素为某一展开项中的元素时，其余元素的选择只能从余下的n-1阶子式中去选择n-1个元素组成该项，方法有(n-1)!种。
对于四阶行列式而言，且有(4-1)!=6种，所以该展开法符合上述原则。
三、按上述三次所作的展开项中，每一项的行标的排列应为1234或4321，此二排列的逆序数为0和6，均为偶数，所以每一项的符号全由列标排列的逆序数确定，第一次所得的第一项的列标为1234，其逆序数为零，所以，该项前应冠以正号。
而第二项恰为将1234作一次向前的轮换而得的2341，由于是4个元素参与轮换，相当于作3次置换，逆序数发生改变，并由前偶数变为现今的奇数，所以，第二项前应冠以负号。
第三项又是对第二项的列标作一轮换而得到的列标，因此，就在该项前冠以正号，依此类推，前八项的符号为+,-,+,-,+,-,+,-,由于第二次与第二次所作的图表是在前一次的基础之上将234列作一轮换，而3个元素作一轮换相当于向前置换两次，逆序数的奇偶特性未发生改变，所以它们所得八项
的符号仍与第一次一样为正负相间的。
因此，展开式的第一项为正，第二项为负，第三项为正，第四项为负，依此下去，各项符号是正负相间的。
下面举例说明。
例1：计算四阶行列式：
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01D4=
11
解：D4=-1+1-1+1-1+1-1-1-1=-3 例2：计算四阶行列式：
1011110111 10
73D4=
55
展开图表如下：
6546373572 54
766337535655
（例题2图表一）
773732555554
（例题2图表二）
777635545446
（例题2图表三）
解:
D4=7∙6∙3∙4-6∙7∙5∙5+3∙2∙5∙6-7∙3∙4∙5+5∙4∙7∙7-6∙3∙2∙7 +5∙5∙3∙6-4∙5∙5∙3+7∙7∙5∙6-
3∙2∙4∙5+7∙5∙5∙5-6∙3∙3∙4 +5∙3∙2∙6-5∙5∙5∙7+4∙4∙3∙3-6∙5∙7∙7+7∙2∙4∙5-7∙5∙3∙5 +6∙7∙5∙4-
3∙3∙5∙6+5∙5∙5∙3-4∙4∙7∙7+6∙3∙3∙7-5∙5∙2∙6 =420-1056+180-420+980-252+450-300+1470-120+875-216+180-875+144 -1470+280-525+840-270+375-784+378-300 =-10
例3：计算四阶行列式：
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2-5433-475
D4=
4-985-32-5-3
展开图表如下：
34-3734
-22524478-5353
-5-2（例题3图表一）
--334
353235-4-9
（例题3图表二）
-2
-3
解：
（例题3图表三）
D4=2∙(-4)∙8∙3-(-5)∙7∙5∙(-3)+4∙5∙4∙2-3∙3∙(-9)∙(-5)+(-3)∙(-9)∙7∙5 -2∙8∙5∙2+(-5)∙5∙3∙(-5)-
3∙4∙(-4)∙4+2∙7∙5∙2-4∙5∙(-9)∙(-3) +3∙(-4)∙4∙(-5)-(-5)∙3∙8∙3+(-3)∙8∙5∙(-5)-(-5)∙5∙(-4)∙2+3∙(-9)3∙4 -2∙4∙7∙3+2∙5∙(-9)∙5-3∙(-4)∙8∙(-3)+(-5)∙7∙4∙3-4∙3∙5∙2 +(-3)∙5∙(-4)∙4-3∙(-
9)∙7∙2+2∙8∙3∙3-5∙4∙5∙(-5)
=-192-525+160-405+567-160+375+192+140-540+240+360+600-200-324 -168-430-288-420-120+240+378+144+500 =4
通过以上三例说明，该展开式简单易学，在未学习行列式性质之前，也能计算四阶行列式并加以应用。
此法容易记忆，很快地掌握四阶行列式的计算方法。
今作此文，方便计算四阶行列式时，减少繁杂的运算，提高运算速度。
但是五阶以上的行列式不能用此法，因为元素多，排列种数（全排列）增大，不可能用此简便的方法，将所给元素进行全排列。
2009年8月于水城。