a0 0a 例3、计算行列式：Dn 00 10
01 00
. a0 0a
解： 将行列式按第一行展开：
a
Dn a 0 0
00
0a
(1)n1
0
a0
00
0a n1
10
an (1)2n1 an2 an an2
按第一列中展开
0
0
a
a an (1)n1(1)n
5 1 1 4
解：
M13 M 23 +2M 43
A13 A23 0 A33 2 A43
2
0
0 1
1 5 2 3
3 112
2 (1)13 2
0 1 2 2
0 1 2 2 0
2 0 0 1
x3 a3 b3 c3
解法一： 由行列式定义知，方程是关于 x 的一元三次方程.
1111
xabc
当 x a, b, c 时，行列式中分别有两列元素相同，故 x2 a2 b2 c2 0 .
所以，x a, b, c 为方程三个不同的根.
x3 a3 b3 c3
1111
解法二：
由范德蒙行列式，
x x2

(xi x j )
ni j1
(xn xn1)
二、教学要求
1、掌握余子式、代数余子式的概念； 2、会求余子式与代数余子式； 3、利用行列式展开定理，会求行列式某行（列）元素（代数）
余子式的线性组合； 4、利用行列式展开定理，计算行列式；
三、例题精讲
3 1 1 2
5 1 例1、设 D
n
n
另一方面，V (x1, x2, , xn, x) (x xi ) (xi xj )
(xi x j )xn
(xi x j ) xi xn1
i 1
1 jin
1 jin
1 jin
i 1
n
比较 xn1 的系数，得：Dn
第三讲：行列式计算：降阶（递推）法
主讲人：同济大学 靳全勤
一、知识要点
利用行列式的展开定理，将高阶行列式归结为低阶行列式，或者得到 行列式的递推关系，是计算行列式的又一重要方法.
1、余子式、代数余子式：
将 n 阶行列中元素 aij 所在的第 i 行、第 j 列元素划去所得的 n 1阶行列式，
称为 aij 的余子式，记为 Mij
7 3 1 7 3 1 4 0
7 3 0 1
1 2
1 2 4
2
1 0
2
5 1 4 5 1 4
31 2 312
2 1
2 1
M13 2
0 1 2
0
1 24
23 70, M 23 2
0
1 2
0 1 16
30, 7
1 5 3 24 0 23
a11
a1 j1 a1 j a1 j1
a1n
ai11
a a a i1 j1 i1 j i1 j1
ai1n
M ij
ai1
aij 1
aij
aij 1
ain
元素 aij 的代数余子式定义为：Aij (1)i j Mij ai11
a a a i1 j1 i1 j i1 j1
ai1n
元素 aij 的余子式 Mij 和代数余子式 Aij
an1
anj 1
anj
anj 1
ann
与元素 aij 本身无关，完全由其所在位置 (i, j) 决定.
2、行列式按行（列）的展开定理： 行列式等于其任意一行（列）各个元素与其代数余子式的乘积之和.
D ai1Ai1 ai2 Ai2 ain Ain D a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj
0 0
n1
0 a
n2
11
x1 x2
例4、计算行列式：Dn x12 x22
xn2 1 x1n
xn2 2 x2n
1 xn
xn2 .
xn2 n
xn2 n
解： 此行列式的第 n 行元素是 x1n , x2n ,
, xnn ，而不是
xn1 1
,
xn1 2
,
, xnn1 ，
虽然形式上很像，但并不是元素 x1 , x2 , , xn 范德蒙行列式.
20
3 1
4 1 ，Mij 与
Aij
分别为 aij
的余子式与代数
1 5 3 3
余子式，求 A31 3A32 2 A33 2 A34 和 M13 M 23 3M 43 .
3 1 1 2 0 16 10 11
解： A31 3A32 2 A33 2 A34
5
(xi x j ) xi
1 jin
i 1
1 5 3 16 0 7
312 312
8 6
M 43 5
1
4 8
0
6 2
20, 1
2 0 1 2 0 1
M13 M 23 +2M 43 40 30 2 20 0
1111 xabc
例2、解方程： x2 a2 b2 c2 0 ，其中 a, b, c 互不相等 .
xn1 1
x1n
xn1 2
x2n
1 xn xn2
xn2 n
xn1 n
xnn
1
x x2
.
xn2 x n 1 xn
n1
将 V (x1, x2 , , xn , x) 按第 n 1 列展开，得：V (x1, x2 , , xn , x) (1)2n1 Dn xn1
即 Dn 是范德蒙行列式V (x1, x2, , xn , x) 展开式中 xn1 系数的负数
k 1
ain Ajn 0, i j.
n
D, i j;
aki Akj a1i A1 j a2i A2 j
k 1
ani Anj 0, i j.
5、范德蒙行列式： 以
xi1 1
,
xi1 2
,
,
xi1 n
作为第
i (i 1, 2,
, n) 行所得的 n 阶行列式
a a2
b b2
c c2
(c x)(c a)(c b)(b x)(b a)(a x)
.
x3 a3 b3 c3
原方程等价于 (c a)(c b)(b a)(a x)(b x)(c x)=0 .
因为 a, b, c 互不相等，所以 x a, b, c 为方程的三个根 .
1
1 3
3 4 0 24
2 2 0 8
18 5
19 5
1 5 3 3 1 5 3 3
16 10 11
2 10 11
201
01
=(1)41 24
18
19 = 8 3
18
19 = 8 3
3
1
8 3
24 1
8 5 5
1 5 5
100
3112
此行列式的值可以利用计算范德蒙行列式的方法（见教材）求得，
此处，我们利用范德蒙行列式的结果，给出另一种计算方法.
11
x1 x2
x12
x22
将行列式插入一行、一列，得范德蒙行列式：V (x1, x2, , xn, x)
x x n2
n2
1
2
要求的 Dn 是该范德蒙行列式中元素 xn1 的余子式 M n,n1
11
x1 x2
V (x1, x2 , , xn ) x12 x22
1
(x2 x1)
xn
(x3 x1) (x3 x2 )
xn2 (x4 x1) (x4 x2 ) (x4 x3)
x x n1 n1
1
2
xn1 n
(xn x1) (xn x2 ) (xn x3)
3、重要性质：行列式某一行（列）各元素与另一行（列）的代数余子式
乘积之和为零. ai1Aj1 ai2 Aj2 ain Ajn 0 (i j)
a1k A1l a2k A2l ank Anl 0 (k l)
n
D, i j;
aik Ajk ai1Aj1 ai2 Aj2