其代数和为 D4 的值，整理后得 D4 (a1b2 a2b1 )(c1d 2 c2 d1 ).
3
2.1.2 利用行列式性质计算行列式 对于一些较简单的行列式，可以利用行列式的性质直接算出结果；那些相对较复 杂、麻烦的行列式，页可以利用行列式性质化成一般较特殊的行列式. 2.1.2.1 利用性质直接计算
a11 a21 an1
这里
a12
a1n =
j1 j2 jn
a22 a2 n an 2 ann
j1 j2jn

(-1) (j1 j2 jn ) a1 j1 a2 j2 anjn ，

表示对所有 n 级排列求和，共 n!项.
1.2 行列式的性质 1、行列互换，行列式不变. 2、交换行列式的两行（列）的置 ，行列式改变符号. 3、行列式某一行（列）的所有元素都乘以同一个数 k，就相当于用 k 乘此行列 式，或者说行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式之外.如果行 列式中一行为零，那么行列式为零. 4、如果行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，那么这个行列式就等于两 个行列式的和， 这两个行列式分别以两个加数之一作为该行 （列） 相应位置上的元素， 其余各行（列）都与原行列式相同.
a1 0 c1 0 c2 b1 0 b2 0 0 d1 0 d2 (ai ,bi ,ci ,di 0,i =1,2)
例 1 求行列式 D4
0 a2 0
解
设 D4 = aij
4 4
， 则 D4 中第一行的非零元素为 a11 =a1 , a13 =b1 ， 故 j1 =1,3. 同法求：
j2 =2,4 ； j3 =1,3 ； j4 =2,4 .因 j1 ， j2 ， j3 ， j4 能组成四个 4 元排列： 1 2 3 4；1 4 3 2；3 2 1 4；3 4 1 2， 故 D4 中相应非零元素共有四项，它们分别为

b
a
b 当 a =0 时， D =0=a n a n 2b 2 . 当 a 0 时，第一行乘以 - 加到第 n 行上， a
4
a a Dn = a 0
bHale Waihona Puke = a n 1 ( a b2 a
b2 ) a n a n 2b 2 a
a
总之有 Dn =a n a n 2b 2
a
例 4 计算行列式 Dn =
1
，其中对角线上元素都是 a ，未写出的元素都是零．
1
解
a
方法 1 利用性质，将行列式化为上三角行列式．
a 1 a 0 1 a a
1 = (a )a n 1 = a n - a n 2 a
Dn =
1 c1 cn a
方法 2 仍然是利用性质，将行列式化为上三角行列式．
0
1.行列式的定义、性质和特殊行列式
1.1 n 级行列式的定义 n 级行列式
a11 a21 an1
a12 a1n a22 a2 n an 2 ann
⑴
等于所有取自不同行不同列的 n 个元素的乘积
a1 j1 a2 j2 anjn
⑵
的代数和，这里 j1 j2 … jn 是 1，2，3，…，n 的一个排列，每一项（2）都按 下列规则带有符号：当 j1 j2 … jn 是偶排列时， （2）带有正号，当 j1 j2 … jn 是奇排 列时， （2）带负号.n 级行列式也称 n 阶行列式，这一定义可写成
3. 拉普拉斯的两个特殊情形
a11 an1 1） c11 cm1
a1n ann c1n cmn
0 0 b11 bm1

0 a11 a1n b11 b1m 0 = . b1m an1 ann bm1 bmm bmm
rn r1
a 1 a
1 a 1
a 1
c1 cn
1 a

Dn
=
=
= a n - a n 2 a 1
2.1.2.3 化爪形行列式
x1 a2 a n x2 an ,xi ai ,i =1,2,3 n a1
例 5 计算行列式 Dn =
a1 a2 xn
解 1）化爪形
（-1）
（1234）
a11a22 a33 a44 =a1c1b2 d 2 ,
(-1) (1432) a11a24 a33 a42 =-a1d1b2 c2 , (-1) (3214) a13 a22 a31a44 =-b1c1a2 d 2 , (-1) (3412) a13a24 a31a42 =b1d1a2 c2 ,
a1 +b1 a1 +b2 a1 +bn a2 +b1 a2 +b2 a2 +bn
例 2 计算行列式 Dn =
an +b1 an +b2 an +bn
解
当 n=1 时，Dn=a1+b1 ；当 n=2 时，D2=(a1-a2)(b2-b1)；当 n≧3 时
a1 +b1 a1 +b 2 a1 +bn a 2 -a1 a n -a1 a2 -a1 an -a1
1
，其中对角线上元素都是 a ，未写出的元素都是零．
1
解
a
利用展开定理，将行列式化成对角行列式．
c 1展 开
a a a n 1 a
0
0 0
1
Dn
=
+ (1)n 1
a
a 0 n 1
Dn = a a
n -1
+ (1)
2 n 1
a n 2
= a a n 1 - a n 2 = a n - a n 2
n
= (xi ai )
i=1
an xn
5
2）化三角形
n
c1 +c j j =2,3 n
n
x
k =1
ak a2 +1 a x k k 2 a2 0 0 1 0

an xn an 0 1
(xi ai )
i =1
n n ak = (xi ai ) +1 i =1 k =1 xk ak
2. 副对角行列式
a11 a1,n -1 a21 a2,n -1 an1
a1n = 0
0 a2,n -1 an1 an,n -1
a1n
n (n -1) a2 n =(-1) 2 a1n a2,n -1 an1
ann
3.范德蒙（Vandermonde）行列式
1 x1 x12 x1n -1 1 x2 2 x2 n -1 x2 1 x3 2 x3 n -1 x3 1 xn 2 xn = (xi x j ) . 1 j <i n n xn
x1 a1 x1 a1 x1 a1 x1 a2 a2 x2 0 0 a3 0 a3 x3 0 an 0 0 x1 x1 a1 -1 -1 x2 x2 a2 1 0 xn xn an 0 1
Dn
ri r1 i =2,3 n
2.1.3 降阶法 降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉 普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是根据行列式的特点， 先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开。 2.1.3．1 按某一行（或一列）展开行列式
a
例 6 计算行列式 Dn =
1
5、把行列式的某一行（列）的所有元素乘同一个数后加到另一行（列）的对应 元素上，行列式不变. 6、如果行列式中有两行（列）相同，或者两行（列）成比例，那么行列式为零. 1.3 特殊行列式 1. 上（下）三角形行列式
a11 0 a11 a12 a1n a21 a22 a22 a2 n = =a11a22 a33 ann . an1 an 2 ann 0 ann
2
0

0 0
a11 a1n an1 ann c11 c1n cm1 cmn =(-1)
mn
2）
0
a11 a1n b11 b1m
b11 b1m bm1 bmm
.
an1 ann bm1 bmm
2 求解行列式
2．1 求解行列式的一般技巧 常用的行列式解法技巧包括化三角形解行列式法，降阶法，递（逆）推公式法， 利用范德蒙行列式解行列式法，数学归纳法等等。 2.1．1 用定义计算行列式
目录
1.行列式的定义、性质和特殊行列式 ....................................... 1 1.1 N 级行列式的定义................................................... 1 1.2 行列式的性质 ...................................................... 1 1.3 特殊行列式 ........................................................ 2 2 求解行列式 ............................................................ 3 2．1 求解行列式的一般技巧 ............................................. 3 2.1．1 用定义计算行列式 ............................................. 3 2.1.2 利用行列式性质计算行列式 ...................................... 4 2.1.3 降阶法 ........................................................ 6 2.1.4 加边法（升阶法） .............................................. 7 2.1.5 递推法 ........................................................ 8 2.1.6 数学归纳法 ................................................... 10 2.1.7 利用范德蒙德行列式 ........................................... 11 2.2 解行列式的其他方法 ............................................... 12 2.2.1 拆行（列）法 ................................................. 12 2.2.2 利用矩阵行列式 ............................................... 13 2.2.3 析因子法 ..................................................... 14 3.总结 ................................................................ 14 参考文献： ............................................................ 15