r=2
r Er = νRT = PV 2
分子的最概然速率
vp =
2 RT = M mol
2 PV M mol
的两种不同的单原子理想气体, 5．设容器内盛有质量分别为m1和m2的两种不同的单原子理想气体, 设容器内盛有质量分别为m 处于平衡态，其内能均为E 处于平衡态，其内能均为E，则这两种气体分子平均速率之比为
∆E = 0
1
2
Q = A
o
20
4
3
V /L
60
dV dQ = PdV = RT V
气体的熵的变化为
注意： 注意：图有错
V3 dQ dV V3 ∆S3 = ∫ =∫ R = R ln = 9.13J / K V1 T V V1
（2）1-2为等压过程 对于等压过程有
i+2 dQ = νC p dT = ν RdT 2
积分求解得
av 2v0
2
v0
0
a 2 3 + (− v + av) = 1 4v0 2 v
0
3v0
2 a= 3v0
(2)求vo到3vo间的分子数 求 到 间的分子数
∆N = ∫
3 v0
v0
2 Nf (v)dv = Nav0 = N 3
v0 3 v0 a 2 a 2 3 v dv + ∫ (− v + av)dv v0 v0 2v0 2 3 v0
福州大学10级大学物理规范作业(29) 福州大学10级大学物理规范作业(29) 10级大学物理规范作业
单元测试一（热学） 单元测试一（热学）
一、填空题 体积为4升的容器内装有理想气体氧气（刚性分子）， ），测得其 1. 体积为4升的容器内装有理想气体氧气（刚性分子），测得其 压强为5 102Pa， 压强为5×102Pa，则容器内氧气分子的平动动能总和为 3 J， 系统的内能为 5 J。
m2 : m1 。
理想气体状态方程为
i im E = νRT = RT 2 2M mol
m1 m2 = M mol1 M mol 2 M mol1 m1 ⇒ = M mol 2 m2
由两种气体内能相等得
气体分子平均速率
8 RT v= πM mol
1 ⇒v ∝ M mol
v1 : v2 = m2 : m1
已知： 已知：
T1 = 500 K
T2 = 300 K
卡诺热机的效率为
T2 300 η = 1− = 1− = 40% T1 500
A η= Q
⇒ A = ηQ = 0.4 × 6000 = 2400 J
二、计算题 一容器中装有刚性理想气体氦气（He）， 1. 一容器中装有刚性理想气体氦气（He）， 测得其压强P=1.0× Pa，其质量密度ρ=0.12 测得其压强P=1.0×105Pa，其质量密度ρ=0.12 kg /m3。 P=1.0 求：1）氦气的温度T；2）该气体单位体积的内能； 氦气的温度T 该气体单位体积的内能； 3）气体分子的方均根速率 v 2 ：（1） 解：（ ）对氦气有 i = 3 根据理想状态方程得压强与密度的关系： 根据理想状态方程得压强与密度的关系： M ρ PV = RT ⇒P = RT M mol M mol
（3）1-4为绝热过程
dQ = 0
∆S14 = 0
ν = 10mol
A = 209 ∆T = 1K
i 3 ∆E = νR∆T = × 10 × 8.31 = 124.65 J 2 2
Q = ∆E + A = 124.65 − 209 = −84.35 J
| Q | 84.35 = = 8.435J / mol ⋅ K CV = V 10
3．如果一定量的理想气体，其体积和压强依照 V = a / p ．如果一定量的理想气体， 的规律变化，其中a为已知常量 试求： 为已知常量。 的规律变化，其中 为已知常量。试求： (1)气体从体积 膨胀到 所作的功； 气体从体积V1膨胀到 所作的功； 气体从体积 膨胀到V2所作的功 (2)气体体积为 时的温度 与体积为 时的温度 的比值。 气体体积为V1时的温度 与体积为V2时的温度 的比值。 气体体积为 时的温度T1与体积为 时的温度T2的比值 解：（1）在气体体积膨胀过程中，压强随体积变化， ：（ ）在气体体积膨胀过程中，压强随体积变化， 则气体作功
i+2 5 R(T1 −T 3) = × 8.31× (−155) = −3220.125 J 2 2
（4）此热机的循环效率为
Q放 5 ×155 η = 1− = 1− = 1 − 0.861 = 13.9% 3 × 300 Q吸
6.1mol理想气体（已知 γ = 1.4 ）的状态变化如图所示， 理想气体（ 状态变化如图所示， 理想气体 其中1-3为等温线 为等温线， 为绝热线 为绝热线。 其中 为等温线，1-4为绝热线。试分别由下列三种 过程计算气体的熵的变化。 过程计算气体的熵的变化。 为等温过程， 解： （1）1-3为等温过程，则 根据热力学第一定律有 于是，热量变化为 于是，
2．一气缸内贮有10mol的单原子理想气体，在压缩过程中， 一气缸内贮有10mol的单原子理想气体，在压缩过程中， 10mol的单原子理想气体 外力做功209J 气体温度升高1K 209J， 1K。 外力做功209J，气体温度升高1K。试计算气体内能增量 和所吸收的热量，在此过程中气体的摩尔热容是多少？ 和所吸收的热量，在此过程中气体的摩尔热容是多少？ 已知： 已知：
P = nkT
P n= kT
1立方厘米的气体内分子数为 立方厘米的气体内分子数为
PV 1.01×10 2 ×10 −6 16 N = nV = = = 3.66 ×10 − 23 kT 1.38 ×10 × 200
3. 图示两条速率分布曲线是相同温度下的氢气和氧气的速率 分布曲线，则该温度下氢气分子的最概然速率为____________。 分布曲线，则该温度下氢气分子的最概然速率为 1600m / s 。
A = ∫ PdV = ∫
V1 V2 V2
V1
a a dV = − 2 V V
2
2 V2
V1
a2 a2 = − V1 V2
（2）由理想气体状态方程得 ）
PV1 P2V2 T1 PV1 a 2V1V22 V2 1 = ⇒ = 1 = 2 2 = T1 T2 T2 P2V2 V1 a V2 V1
个电子组成的电子气，其速率分布如图所示。 4. 由N个电子组成的电子气，其速率分布如图所示。 (1)求 的大小( vo表示 表示) (2)求vo到3vo间的分子数 间的分子数； (1)求a的大小(用N、vo表示)；(2)求vo到3vo间的分子数； (3)求粒子的平均速率 (3)求粒子的平均速率 v f (v ) 解：首先写出速率分布函数
a (0 ≤ v ≤ v0 ) f (v ) = v v 0 f (v ) = − a v + 3 a (v0 < v ≤ 3v0 ) 2v0 2
（1）根据归一化条件求解 ）
a
o
v
V0 3V0
∫
3 v0
0
f (va a 3 vdv + ∫ ( − v + a ) dv = 1 v0 v0 2 v0 2
(3)求粒子的平均速率 求粒子的平均速率
v = ∫ vf (v)dv = ∫
0
3 v0
0
av = 3v0
3
v0
0
a 3 3 2 4 + (− v + av ) = v0 6v0 4 3 v
0
一可逆热机使1mol 1mol的单原子理想气体经历如图所示的循环过 5. 一可逆热机使1mol的单原子理想气体经历如图所示的循环过 其中T1=300K T2=600K， T1=300K， 455K。计算（ 程，其中T1=300K，T2=600K，T3= 455K。计算（1）各分过程吸 收的热量以及系统对外做功。（2）循环的效率。 收的热量以及系统对外做功。（2 循环的效率。 。（ 解：对于单原子气体
6. 一定量的理想气体经历 一定量的理想气体经历acb过程时吸热 过程时吸热500J，则 过程时吸热 ， 经历acbda过程时，吸热为 过程时， 经历 过程时 吸热为_______ 。 根据热二定律 由图可知
Q = ∆E + A
4
p (×105 Pa )
a c
d
∆Eacb
i i = νR∆T = ( p2V2 − p1V1 ) = 0 2 2
i=5
V = 4 ×10 −3 m3
3 3 3 Et = νRT = PV = × 5 ×10 2 × 4 × 10 −3 = 3J 2 2 2
5 5 5 2 −3 E = νRT = PV = × 5 × 10 × 4 × 10 = 5 J 2 2 2
2．在压强为1×10-3atm，温度为200K时， 在压强为1 10-3atm，温度为200K时 200K 体积为1 个气体分子。 体积为1立方厘米的气体内有 3.66×1016 个气体分子。 根据理想气体状态方程 得气体分子数密度
PM mol 105 × 4 ×10 −3 于是得氦气的温度为 T = = = 401K ρR 0.12 × 8.31 （2）该气体单位体积的内能 ）
E i νRT 3 3 = = p = ×105 = 1.5 ×105 J / m 3 V 2 V 2 2
（3）气体分子的方均根速率 ）
v =
2
3RT 3 × 8.31× 401 = = 1581m / s −3 M mol 4 × 10
i=3
（1）1-2为等容过程，则 A12 = 0 为等容过程， 吸收的热量为
3 Q12 = νCv ∆T = × 8.31× (600 − 300) = 3739.5 J 2