广东第二师范学院 量子力学期中考试试卷
2014-2015 学年 第 一 学期
考试日期：2014年11月 日 考试地点：海珠校区 楼 课室 一、填空题（每空2分，共20分）
1、德布罗意的物质波理论认为粒子的能量E 、动量P 与物质波的频率v 和波长λ的关系为( νh E = )、( n h p
λ
=
或λ
h
p = ) 。

2、量子力学中用（波函数）描写微观体系的状态。

3、()2
,t r Ψ 是粒子t 时刻（在r 处的概率密度），()2
,t p c
是粒子t 时刻（具有动量p 的概
率密度）。

（注：照最后一道大题写是概率分布函数的也算对了，但是只写是概率就不对） 4、扫描隧道显微镜是利用（隧道效应）制成的。

5、氢原子电子的第n 个能级是（2
n ）度简并的。

6、F
ˆ的本征值λ组成连续谱，则本征函数λφ的正交归一性表达式（ 书P70 ()λλτφφλλ'-='
⎰δd *
）。

7、坐标和动量的不确定关系式（()()
422
2
≥∆∆x p x 或()()2
≥∆∆x p x ）。

8、如果两个算符对易，则这两个算符有组成完全系的（共同本征函数）。

二、求角动量算符的对易关系[]
y
x L L ˆ,ˆ（5分） 证明：书P77
三、证明当氢原子处于基态时，电子在与核的距离为0a r (玻尔半径)处出现的概率最大（10分）书P67
四、证明厄米算符的属于不同本征值的两个本征函数相互正交。

（10分）证明：书P69
五、一粒子在一维势场
,
()0,
,
x a
U x a x a
x a
∞<-
⎧
⎪
=-≤≤
⎨
⎪∞>
⎩
中运动，求粒子的能级和对应的波函数（20
分）
解：书P26例题
六、设t=0 时，粒子的状态为⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
+=kx kx A x cos 21sin )(2
ψ 求此时粒子的动量期望值和
动能期望值。

（20分）
解：书P92习题3.6
七、（1）写出动量算符x p
ˆ的本征函数()x x p ψ，本征方程。

求粒子处于()x x p ψ态时的坐标概率分布函数()2
x x p ψ。

（2）求处于坐标算符x ˆ的本征态()()x x x x '-='δψ态中粒子的动量概率分布函数()2
x x p c '。

（3）并通过两个结果文字解释坐标和动量的不确定关系。

（15分）。