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专题一 梁的内力和内力图
例1求图1(a)所示梁截面 A 、C 的剪力和弯矩。
解：1）求反力
kN 5=A F ，kN 4=B F
2）求A 左截面的内力，如图(a)所示。
0=∑i Y ， 0=+左SA p F F ，kN 3-=左SA F
0=∑O M ，02=+⨯左A p M F ， m kN 6⋅-=左A M
3）求A 右截面的内力，如图(b)所示。
0=∑i Y ，0=+--A SA p F F F 左，kN 2=左SA F
0=∑O M ，02=+⨯右A p M F ， m kN 6⋅-=右A M
4）求C 左截面的内力，如图(c)所示。
0=∑i Y ，02=-⨯--左SC P A F q F F ，0=左SC F
0=∑O M ，01224=+⨯⨯+⨯-⨯左C A p M q F F ，=左C M m kN 4⋅-=
5）求C 右截面的内力，如图(d)所示。
0=∑i Y ，02=-⨯--右SC P A F q F F ，0235=--=右SC F 0=∑O M ，012241=++⨯⨯+⨯-⨯右C A p M M q F F ，=右C M m kN 6⋅-=
【小结】①求指定截面上的内力时，既可取梁的左段为脱离体，也可取右段为脱离体，两者计算结果一致。
一般取外力比较简单的一段进行分析。
②在解题时，通常假设截面上把内力为正，若最后计算结果是正，则表示假设的内力方向（转向）与实际是相同的，否则是相反的。
③该题也可以不画受力图，不写平衡方程而由前面的结论直接求得结果。
例2试计算图2所示各梁指定截面（标有细线者）的剪力与弯矩。
解：, A F M +==, 2C Fl
M = 取B -SB B M Fl =
(b) 求A 、B 处约束反力
如图(d)所示，l M F F /==
, e A M F M l =-取B 截面右段研究，, 0e
SB B B M F F M l
=-=-= (c) 求A 、B 处约束反力
取A +
截面右段研究，2
33, 22248
SA A l ql l l ql F q M q +
+=⨯==-⨯⨯=-
图1 (d) 图2 (b) (a) q B (c) B
图(d)
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(a) (b) (c)
图4
取C -截面右段研究，2, 22248
SC C l ql l l ql F q M q --
=⨯==-⨯⨯=-
取C +
截面右段研究，2
, 22248
SC C l ql l l ql F q M q +
+=⨯==-⨯⨯=-
取B -截面右段研究，0, 0SB B F M --==
例3试写出图3所示梁的内力方程，并画出剪力图和弯矩图。
解：(a ) 求支反力
0=∑C M ： 0310126=⨯--⋅Ay F ， kN 7=Ay F
0=∑Y ： 010=-+By Ay F F ， kN 3=By F 列内力方程，
⎩⎨
⎧<<-<<=63
kN 330 kN 7)(S x x x F ， ⎩⎨⎧≤≤≤≤⋅-⋅-=63 30 m kN )6(3m kN 127)(x x x x x M 作剪力图和弯矩图。
(b ) 求支反力
0=∑B M ：02212=⋅+-⋅l
ql ql l F Ay ， F Ay =0 0=∑Y ：0=-⋅-+ql l q F F By Ay ，ql F By 2=
列内力方程
作剪力图和弯矩图。
例4利用内力方程作图4(a)所示 简支梁的剪力图和弯矩图。
解：AC 段有：x x q 5)(=
25.210)(x x F S -=，
（0<x <2） 36
510)(x x x M -=，
（0≤x ≤2）
其剪力图和弯矩图如图(b)(c)所示。
由于结构是对称的，荷载也是对称的，
BC 段与AC 段的F S 图是反对称的，M 图 是对称的，据此特点可方便地作出AC 段
的剪力图和弯矩图。
例5试用剪力、弯矩与荷载集度之间的微分关系判断图5所示各梁的内力图形态，画出剪力图和弯矩图。
解：(a ) 根据微分关系：()()x F x
x M S d d = 和 ()()q x x M x x F ==22S d d d d AC 段：q 为常数，且0<q ，F S 图从左到右为向下的斜直线，M 图为向上凸的抛物线。
CB 段：q 为常数，且0>q ，F S 图从左到右为向上的斜直线，M 图为向下凹的抛物线。
在C 截面处，F S 图连续，M 图光滑。
(b)
图3
(a)
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求得几处特殊截面的内力值后即可作出梁的剪力图与弯矩图。
(b ) 求支反力
0=∑A M ： ()022
1322
=⋅⋅-+⋅a q qa a F By
， 3qa F By = 0=∑Y ： 02=⋅-+a q F F By Ay ， 35qa
F Ay = 判断内力图形态并作内力图
AC 段：q 为常数，且q <0，F S 图从左到右为向下的斜直线，M 图为向上凸的抛物线，在
距A 端a 3
5
截面处，M 取极大值。
CB 段：0=q ，F S 图为水平直线，且F S <0，M 图从左到右为向下的斜直线。
在C 截面处，F S 图连续，M 图光滑。
求得几处特殊截面的内力值后即可作出梁的剪力图与弯矩图。
(c) 求支反力
0=∑A M ：()022132=⋅-⋅⋅-⋅a qa a q a F By ， qa F By = 0=∑Y ： 02=-⋅-+qa a q F F By Ay ， qa F Ay 2= 判断内力图形态并作内力图
AC 段：q 为常数，且0<q ，F S 图从左到右为向下的斜直线，M 图为向上凸的抛物线。
C
截面处，有集中力F 作用，F S 图突变，M 图不光滑。
CD 段：q 为常数，且0<q ，F S 图从左到右为向下的斜直线，M 图为向上凸的抛物线。
DB 段：0=q ，Q F 图为水平直线，且F S <0； M 图从左到右为向下的斜直线。
(d)求支反力
0=∑B M ： 0462
1
862=⨯⨯--⋅Ay
F ，kN 33.9=Ay F 0=∑Y ： 046=⨯-+By Ay F F ， kN 67.14=By F 判断内力图形态，作内力图
F S 图：AD 段，0=q ，为水平直线；
DB 段，0<q ，从左到右为向下的斜直线。
M 图：AC 段，0=q ，且F S >0，从左到右为向上的斜直线； C 截面处，有集中力偶e M 作用，有突变；
CD 段，0=q ，且F S >0，从左到右为向上的斜直线，且ab c b //'； DB 段，0<q ，为向上凸的抛物线，且c b '与ce 在c 点相切；
在距D 端m 9
22
截面处，F S =0，M 取极大值17.93kN •m 。
例6试用叠加法画出图6所示梁的弯矩图。
解：(a)
(b)
(a)
(b) (c)
图5 (d)。