§5-2 剪力和弯矩及其方程
FSE O
FAy
ME
O
FSE
ME FBy
FBy

F 3
FAy

5F 3
分析右段得到： FBy
Fy 0 FSE FBy 0
F FSE FBy 3
Mo 0
ME

FBy
3a 2

Fa
ME

3Fa 2
§5-2 剪力和弯矩及其方程
FBy
梁为什么做成变截面的？ 梁为什么可以开孔？ 孔开在哪里最合理?
二、弯曲的概念：
受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线。 变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。
主要产生弯曲变形的杆--- 梁。
P
q
M
RA
NB
常见弯曲构件截面
目录
平面弯曲
•具有纵向对称面 •外力都作用在此面内 •弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线
中力偶）一侧Q图面积的代数和计算。（左侧面积或
右侧面积的相反数）
目录
4、集中力 从左到右，向上集中力作用处，剪力图向上
突变，突变幅度为集中力的大小。弯矩图在该处 为尖点。反之亦然。
5、集中力偶
从左到右，顺时针集中力偶作用处，弯 矩图向M正向突变，突变幅度为集中力偶的大 小。剪力图在该点没有变化。反之亦然。
* 剪力为零的截面弯矩有极值。
例 图示简支梁受集中荷载F作用。试作梁的剪力图 和弯矩图。
aF
b
A
B
x
C
FA
l
FB
解：1、求支反力
FA

Fb l
FB

Fa l
2、列剪力方程和弯矩方程 ——需分两段列出
aF
b
A
x
C
FA
l
B
FA

Fb l
FB
FB

Fa l
AC段 A
M(x)
FS
x

Fb l
0

x
A
B
x
L
Fs (x) qx, (0 x l)
M (x) 1 qx2, (0 x l)
Fs
2
x
(-)
ql
0.5ql 2
M
x
FAY
MA
L
A
x
F(x)
FL
M(x)
[例] 列出梁内力方程并画出内力图。
F B
解：①求支反力
FAY F ; M A FL
②写出内力方程
Fs (x) FAY F (0 x l)
FAY Fs(x)
2kN CD
2kN
1kN/m AC : Fs (x1) 2,
(0 x1 1)
B
M (x1) 2x1， (0 x1 1)
CD : Fs (x2 ) 0， (1＜x2＜2)
FBY M (x2 ) 2， (1 x2 2)
BC : Fs (x3) 2 x3，(0＜x3 2)
目录
静定梁的分类（三种基本形式）
q(x)— 分布力 1、悬臂梁：
2、简支梁：
L M — 集中力偶
3、外伸梁：
L q — 均布力
F — 集中力
L
L
（L称为梁的跨长）
§5-2 剪力和弯矩及其方程
M FN
FAy
FS
M FN
FS
3
Fx 0 FN 0
Fy 0 FS FAy F1

a
FA
x
FS(x)
M x Fb x0 x a
l
FSx
FB


Fa l
a

x

l
M(x)
M
x

FB
(l

x)

Fa l
l

x
FS(x)
a x l
CB段 B FB
3、作剪力图和弯矩图
aF
b
A
x
C
FA
l
Fb
FS
l
Fb l
M
FS1 x
Fb l
Fs
x2

Fs
x1
Aq
x2 x1
Fs
x1

Fs
x2
Aq
x2 x1
M
x2
M
x1
AFs
x2 x1
M
x1

M
x2
AFs
x2 x1
利用剪力、弯矩与分布荷载间积分关系定值 积分关系:
梁上任意两截面的剪力差等于两截面间载荷图 所包围的面积

q(x)
载荷集度、剪力和弯矩间的关系
载荷集度、剪力和弯矩关系： d 2M (x) dFS (x) q(x)
dx2
dx
1. q＝0，Fs=常数，
剪力图为直线,弯
Fs 图： M图：
矩图为斜直线。
q 下雨
2.q＝常数，剪力图
为斜直线，弯矩
Fs图：
池塘
图为抛物线。 M图：
3. 剪力FQ=0处，弯矩取极值或驻点。大小可用（无集
CD :
Fs (x2 ) FAY 2 2 2 0, M (x2 ) FAY x2 2(x2 1) 2(kN.m),
BC :
Fs (x3 ) FBY 1 x3 2 x3,
M (x3 )

FBY x3
1 x3
x3 2

2x3

x32 2
,
A
FMc 0 M FAy x F1(x a)
FS剪力，平行于
横截面的内力合力
M 弯矩，垂直于
横截面的内力系的 FBy 合力偶矩
§5-2 剪力和弯矩及其方程
M FN
M FN
FAy
FS
FS
FBy
截面上的剪力对梁上任意一点的矩为顺时针 转向时，剪力为正；反之为负。
Fs(+)
Fs(–) Fs(+) 左上右下为正；反之为负
剪力图按横向力走向可直接画
弯矩图的段端值可用剪力图面积计算
载荷集度、剪力和弯矩间的积分关系
确定剪力、 弯矩图上各点处的数值。
P
M0
q(x)
x
dFs q dx
dF x2
x1
s

x2 qdx
x1
区间 x1
x2
dM dx

Fs
x2 dM x1
x2 x1
Fsdx
从左向右 从右向左
扭 杆：承受扭矩 墙
桥板 梁：承受横向力
楼板
为什么梁特别重要？ 地球引力场方向 + 人类需要空间
§5-1 平面弯曲的概念及工程实例
一、弯曲实例 工厂厂房的天车大梁：
火车的轮轴：
F
F
F
F
楼房的横梁：
阳台的挑梁：
屋顶大梁上的孔为什么开在中间？上、下两 边各开一个半圆孔可以吗？
工程中的弯曲构件
B
Y 0, FAY FBY 2 1 2 0
M B 0, 1 21 23 FAY 4 0
x3 FBY FAY 2(kN); FBY 2(kN)
2m
2、写出内力方程
AC : Fs (x1) FAY 2(kN),
M (x1) FAY x1 2x1(kN.m),
解：1. 确定支反力
Fy 0 FAy FBy 2F
MA 0
FBy FBy 3a Fa 2F a
F
5F
FBy 3 FAy 3
Fy 0
5F 2F FSE 3
FSE


F 3
ME
ME 0
2F

a 2

ME

5F 3
3a 2
ME

3Fa 2
ME

5F 3

3a 2

2F

a 2
3 Fa 2
左顺右逆为正；反之为负
法则 计算任意截面的剪力和弯矩
任意截面的剪力 一侧横向力代数值
横向力：载荷和约束反力 分布力和集中力
方向：左上右下为正， 反之为负
任意截面的弯矩
一侧外力对截面形心之矩代数值
外力：载荷和约束反力
方向：左顺右逆为正，
F
M (x) FAY x M A
F(x L)
(0 x l)
x
③根据方程画内力图
注意：弯矩图中正的弯矩值
x
绘在x轴的下方(即弯矩值绘
在弯曲时梁的受拉侧)。
例 图示简支梁受集度为q的满布荷载作用。试作梁的剪力图
和弯矩图。
q
A
B
l
FAxΒιβλιοθήκη 解：1、求支反力FA

FB

ql 2
FB
2、列剪力方程和弯矩方程
分布力、集中力和集中力偶
反之为负
三、剪力方程、弯矩方程：
q
剪力方程 弯矩方程
FS FS (x)
M M (x)
反映梁的横截面上的剪力和弯 矩随截面位置变化的函数式
显示剪力和弯矩随截面位移的 变化规律的图形则分别称为剪力 图和弯矩图。
注意： 不能用一个函数表 达的要分段，分段点为：集中力 作用点、集中力偶作用点、分布 力的起点、终点。