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《线性代数》题库及答案

《线性代数》题库及答案一、选择题1.如果D=333231232221131211a a a a a a a a a ,则行列式33323123222113121196364232a a a a a a a a a 的值应为: A . 6D B .12D C .24D D .36D 2.设A 为n 阶方阵,R (A )=r<n,那么:A .A 的解不可逆B .0=AC.A 中所有r 阶子式全不为零D. A 中没有不等于零的r 阶子式 3.设n 阶方阵A 与B 相似,那么:A .存在可逆矩阵P ,使B AP P =-1B .存在对角阵D ,使A 与B 都相似于DC .E B E A λλ-=-D .B A ≠4.如果3333231232221131211==a a a a a a a a a D ,则131211332332223121333231323232a a a a a a a a a a a a ---等于A . 6B . -9C .-3D .-6 5.设矩阵n m ij a A ⨯=)(,m<n,且R (A )=r,那么:A .r<mB .r<nC .A 中r 阶子式不为零D .A 的标准型为⎪⎪⎭⎫⎝⎛0E , 其中E 为r 阶单位阵。

6.A 为n 阶可逆矩阵,λ是A 的一个特征根,则A 的伴随矩阵*A 的特征根之一是:A .nA1-λ B .A λ C .A 1-λD .nA λ7.如果⎪⎩⎪⎨⎧=--=+=++050403z y kx z y z ky x 有非零解,则k 应为:____________。

A . k =0B . k =1C . k =2D . k =-2 8.设A 是n 阶方阵,3≥n 且2)(-=n A R ,*A 是A 的伴随阵,那么:___________。

A . 0≠*AB . ()0R A *= C . 1-*=n AA D . 2)(≤*A R9.设A 为n m ⨯矩阵,齐次线性方程组0=AX 仅有零解的充要条件是:A . A 的列向量线性无关B . A 的列向量线性相关C . A 的行向量线性相关D . A 的行向量线性相关10.如果⎝⎛=+-=++=+02020z y kx z ky x z kx 有非零解,则k 应为:________。

A .0=kB .1-=kC .2=kD .2-=k 11.下列命题正确的是___________。

A .TTTB A AB =)( B .若B A ≠则B A ≠C .设A 、B 为三角形矩阵,则A+B 为三角矩阵D .))((22E A E A E A -+=- 12.矩阵A 、B 相似的充要条件是____________。

A .A 与B 有相同的特征值 B .A 与B 相似于同一矩阵C .A 与B 有相同的特征向量D .kA 形似于kB 二、填空题1.行列式与它的转置行列式的值是__________。

2.矩阵n m A ⨯的K 阶子式共有___________;3.n 阶方阵A 与对角矩阵相似的充分必要条件是A 有__________________________________; 4.行列式的某行(列)加上另一行(列)的k 倍,行列式的值______________。

5.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=11334221tA ,B 为三阶非零矩阵,且0=AB ,则t=________________。

6.A 、B 为n 阶方阵,若存在可逆矩P ,使_________则称A 与B 相似。

7.__________________001=ΛM NM Λn λλ。

8.若矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=11012321k A 的2)(=A R ,则____________=k 。

9.若方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλλ仅有零解,则λ应满足的条件是_______________。

10.设多项式xx x xx f 212111)(=则)(x f 中3x 的系数等于_________,2x 的系数等于_________。

11.已知)3,2,1(=α,)1,2,3(=β,且α与βα+k 正交,则=k ____________。

12.若线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+=+-=+414343232121a x x a x x a x x a x x 有解,则常量4321,,,a a a a 应满足条件___________。

三、证明题1.设A 是三阶方阵,*A 是A 的伴随矩阵,A 的行列式为,41=A 求证:21)2(AA A =-*-.2.已知A 为n 阶方阵,且0432=--E A A ,试证A 可逆,并求1-A 。

3.已知A ,B 均为n 阶正交矩阵,且B A -=,证明:0=+B A 。

四、计算题1.已知n 阶方阵A 、B ,其中),,(n 21ααα⋯⋯=A ),(B n 21ααβ⋯⋯=,,3B ,1A -== 求3B A +。

2.矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=012423321A 求1-A .3.设三阶方阵[]ija A =的每行元素之和均为3,且0=AB ,其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=021021B ,问 (1)A 能否与对角矩阵相似? (2)求A 。

4.计算n 阶行列式abb a b a b a D 000000000000000ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ=5.矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=121011322A ,求1-A 。

6.已知矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=52134131a A 的特征多项式有重根,问:参数a 取何值时,A 能与对角矩阵相似? 7.计算1110110110110111=D 8.矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111012112A 求1-A 9.设三阶方阵A 满足01=αA ,2122ααα+=A ,32133αααα-+-=A ,其中:[]T 0,1,11=α,[]T 1,1,02=α,[]T 1,0,13=α(1)证明:A 能与对角矩阵相似。

(2)求出A 及相似对角矩阵∧。

10.设三阶行列式满足023=+E A ,,0=-E A 024=-A E ,计算A 。

11.求向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3211α,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1012α,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1223α,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4224α的一个最大线性无关组,并将其正交化。

12.设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=121121a a a A 若A 不能与对角矩阵相似,求参数a 。

《线性代数》作业参考答案一、选择题1.D 2.B 3.A 4.D 5.B 6.C 7.B 8.B 9 .A 10.C 11.D 12.B 二、填空题1.相等2.;k n k mC C ⋅ 3.n 个线性无关的特征向量; 4.不变 5.t=-3 6.B AP P =-17.n n n λλλΛ212)1()1(--8.1=k 9.1≠λ且2≠λ 10.2,-211.k=75-12.04321=+++a a a a13. -9 ; 14. 3 ; 15. ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-03100302100201410001A 16. 81; 17. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---212424212299; 18. 2;三、证明题1.证:由题设A 是三阶方阵,41=A , 223131111)41(1)41()41(4121)2(A A A A A A A A A ==⋅===⋅-=-----*-。

2.证:由0432=--E A A ,即:E A A 432=-E E A A 4)3(=- E E A A =-)4341( 即A 可逆,且E A A 43411-=-。

3.证:由题设:E A A AA T T == E B B BB T T ==所以2()()T T T T TA B BB A BA A B B A A B B A A A A B +=+=+=⋅+=-+即:0)1(2=++B A A 只有0=+B A 证毕。

4.因r n i A b A i -===,,2,1,0,0Λγγ,则,b A i =η因此r n -ηηηη,,,,210Λ是方程组(*)的线性无关解。

设,0221100=++++--r n r n ηληληληλΛ则,0)(2211010=+++++++---r n r n r n γλγλγληλλλΛΛ两边左乘A 得,,0)(10=+++-b r n λλλΛ有,010=+++-r n λλλΛ于是,02211=+++--r n r n ηληληλΛ可得r n -ηηηη,,,,210Λ线性无关。

5.显然r n r n k k k k --+++ηηηηΛ221100是解;另一方面,设η为任一r n r n r n r n r n k k k k k k k k -----++++++-=++++=ηηηηγγγγηΛΛΛ22110122110)](1[四、计算题1.解:n 2114,4,33ααβα⋯⋯+=+B A),3,,(4,,34n 21n 21`1n n 2111ααβαααααβα⋯⋯+⋯⋯=⋯⋯+=--n=1n 1n 2)91(4+--=-。

2.解:1012423321=---=A , A 的代数余子式: 4,5,5,6,3,7,8,43332232221131211-=-====-=-=-=A A A A A A A A⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛===**-45756823413323133222123121111A A AA A A A A A A A A A3.解:(1)令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2011β ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0122β,则),(21ββ=B ,由题设0=AB ,既有0,021==ββA A ,这表示21,ββ是A 的属于特征值0的特征向量。

取;)1,1,1(3T =β由题设A 的每行元素之和为3,则333ββ=A 即A 3是β的特征值为3的特征向量,又01102110121≠-=-,故321βββ,,线性无关。

这表示3阶方阵有3个线性无关的特征向量,所以A 能与对角矩阵相似。

(2)由(1) 令),,(321βββ=P ,P 可逆,且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-3000000001AP P⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-3126312631261421321213000000001021101213000000001P P A4.解:n n nb a D 1)1(+-+= (按第一列展开)5.解:1121011322A -=--=求伴随矩阵*AA 的代数余子式:4A ,3A ,3A ,6A ,5A ,4A ,1A ,1A ,1A 333231232221131211-===-====-=-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=-==**-461351341A )1(A A A 16.解:计算A 的特征多项式:)108)(2(52134131)(2a a A E f ++--=-----=-=λλλλλλλλ由题设)(λf =0有重根,故分两种情况:(1)2=λ是重根,则a g ++-=108)(2λλλ含有)2(-λ因子,0)2(=g )6()2()(2--=λλλf 得a=2,此时可得出1)2(=-A E R ,所以属于)2(-λ的特征向量的重数3-1=2, 加之特征根6=λ的特征向量,A 有3个线性无关的特征向量,故此时A 能与对角矩阵相似。

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