线性代数考试题库及答案第一部分 客观题(共30分)一、单项选择题(共 10小题,每小题2分,共20分)1. 若行列式111213212223313233a a a a a a d a a a =,则212223111213313233232323a a a a a a a a a 等于 ( ) (A) 2d (B) 3d (C) 6d (D) 6d -2. 设123010111A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭,ij M 是A 中元素ij a 的余子式,则313233M M M -+=( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 3. 设A 为n 阶可逆矩阵,则下列各式恒成立的是( ) (A) |2|2||T A A = (B) 11(2)2A A --= (C) *1A A -= (D) 11[()][()]T T T T A A --= 4. 初等矩阵满足( )(A) 任两个之乘积仍是初等矩阵 (B) 任两个之和仍是初等矩阵 (C) 都是可逆矩阵 (D) 所对应的行列式的值为1 5. 下列不是..n 阶矩阵A 可逆的充要条件为( )(A) 0≠A (B) A 可以表示成有限个初等阵的乘积 (C) 伴随矩阵存在 (D) A 的等价标准型为单位矩阵 6. 设A 为m n ⨯矩阵,C 为n 阶可逆矩阵,B AC =,则 ( )。
(A) 秩(A )> 秩(B ) (B) 秩(A )= 秩(B )(C) 秩(A )< 秩(B ) (D) 秩(A )与秩(B )的关系依C 而定 7. 如果向量β可由向量组12,,,s ααα线性表示,则下列结论中正确的是( ) (A) 存在一组不全为零的数12,,s k k k ,使得1122s s k k k βααα=+++ 成立 (B) 存在一组全为零的数12,,s k k k ,使得1122s s k k k βααα=+++ 成立(C) 存在一组数12,,s k k k ,使得1122s s k k k βααα=+++ 成立(D) 对β的线性表达式唯一8. 设12,ξξ是齐次线性方程组0AX =的解,12,ηη是非齐次线性方程组AX b =的解,则( )(A) 112ξη+为0AX =的解 (B) 12ηη+为AX b =的解 (C) 12ξξ+为0AX =的解 (D) 12ηη-为AX b =的解9. 设110101011A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则A 的特征值是( )。
(A) 0,1,1 (B) 1,1,2 (C) 1,1,2- (D) 1,1,1- 10. 若n 阶方阵A 与某对角阵相似,则 ( )。
(A) ()r A n = (B) A 有n 个互不相同的特征值 (C) A 有n 个线性无关的特征向量 (D) A 必为对称矩阵二、判断题(共 10小题,每小题1分,共10分 )注:正确选择A,错误选择B.11. 设A 和B 为n 阶方阵,则有22()()A B A B A B +-=-。
( ) 12. 当n 为奇数时,n 阶反对称矩阵A 是奇异矩阵。
( )13. 设A ,B ,C 为同阶方阵,AB AC =,则B C =。
( )14. 若矩阵A 有一个r 阶子式0D ≠,且A 中有一个含有D 的1r +阶子式等于零,则A 的秩等于r 。
( )15. 若非齐次线性方程组AX b =有无穷多解,则其导出组0AX =一定有非零解。
( )16 若向量组135,,ααα线性无关,则向量组129,,,ααα线性无关。
( )17. 等价的向量组的秩相等。
( )18. 设A 与B 都是n 阶正交矩阵,则A B +也是正交矩阵。
( ) 19. 矩阵A 不同特征值对应的特征向量必线性无关。
( ) 20. 两个相似的方阵必等价,两个合同的方阵也必等价。
( )第二部分 主观题(共70分)三、填空题(共5小题,每小题2分,共10分)1.在5阶行列式中,1225314354a a a a a 的符号是2.若A 为3阶方阵,1A -为A 的逆矩阵且1500021011A -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭,则A = .3.线性方程组 12312312302030x x x x x x x x x λ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩ 仅有零解的充要条件是 .4.已知三阶矩阵A 的特征值为1,2,3,则3257A A A -+= .5.实二次型22212311223(,,)23f x x x x x x tx x =+++,当t = 时,其秩为2.。
四、计算题(一)(共3小题,每小题6分,共18分)1. 计算4阶行列式21231000231262312. 已知向量组123(1,1,2,1),(1,0,0,2),(1,4,8,)T T T k ααα===---线性相关,求.k3. 设T T T )7,3,5(,)1,0,1(,)2,2,1(321--=--=-=ααα,用施密特正交化法将该向量组正交化。
五、计算题(二)(共2小题,每小题8分,共16分)1. 设3111201-12A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ,14-1332B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,若矩阵X 满足AX X B -=,求X 。
2. 设00111100A a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,问a 为何值时,矩阵A 能对角化?六、计算题(三)(共2小题,每小题10分,共20分)1.当λ为何值时,线性方程组12345123452345123451323022635433x x x x x x x x x x x x x x x x x x x λ++++=⎧⎪+++-=⎪⎨+++=⎪⎪+++-=⎩ 有解?在有解的情况下,求其全部解(若有无穷解,用其导出组的基础解系表示)。
2. 求向量组1(2,1,4,3)T α=、2(1,1,6,6)T α=--、3(1,2,2,9)T α=---、4(1,1,2,7)T α=-、5(2,4,4,9)T α=的一个极大无关组,并将其余向量用极大无关组线性表示。
七、证明题(共1小题,每题6分,共计6分)设1λ和2λ是矩阵A 的两个不同的特征值,对应的特征向量依次为1p 和2p ,证明12p p +不是A 的特征向量。
线性代数 课程试卷(A )及答案一、单项选择题(共10小题,每题2分,共计20分)1.若21321,,,,ββααα都是四维列向量,且四阶行列式m =1321βααα,n =3221αβαα,则四阶行列式)()(21123C =+ββααα(A)m+n (B)-(m+n) (C)n-m (D)m-n2.设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-8631562321c b ac a ,则(B ) (A)221=-==c b a (B)221-===c b a (C)221=-=-=c b a (D)221-==-=c b a3.若A 、B 均为非零方阵,且AB=O ,则有A 、B (D )(A)都可逆 (B)至少有一个可逆 (C)r(A)=r(B) (D)都不可逆 4.下列向量中,可由T 1)0,1,0(=α与T 2)0,0,1(=α线性表示的是(B ) (A) T )1,0,0( (B) T )0,3,0( (C) T )1,2,0( (D) T )1,0,2( 5.设矩阵A 满足=-+E A A 542O ,则(A )(A)A 与A+4E 同时可逆 (B)A+5E 一定可逆 (C)齐次线性方程组()=+X E A 5O 有非零解 (D)A-E 一定可逆 6.若n 阶矩阵A 的行列式1=A ,则A 的秩为(D ) (A)1 (B)0 (C)n-1 (D)n 7.设A 为n 阶方阵,且0=A ,有(C ) (A)A 中必有两行(列)元素对应成比例 (B)A 中至少有一行(列)元素全为零(C)A 中必有一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合 (D)A 中任意一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合 8.设A 为n m ⨯矩阵,则齐次线性方程组AX=O 仅有零解的充要条件是(D ) (A)A 的行向量线性相关 (B)A 的列向量线性相关 (C)A 的行向量线性无关 (D)A 的列向量线性无关 9.可逆矩阵A 与矩阵(A )有相同的特征值(A)T A (B)1-A (C)2A (D)A+E10.1α与2α分别是n 阶方阵A 的属于特征值21,λλ的特征向量,若21λλ≠,则1α与2α(B )(A)线性相关 (B)线性无关 (C)相等 (D)正交二、判断题(共10小题,每题1分,共计10分)答题要求:判断正误,正确选择A ,错误选择B11.若方阵T A 可逆,则*A 也可逆 (A ) 12.设A 、B 均为n 阶方阵,则B A B A +=+ (B ) 13.对任意n 阶方阵(n>1)A 与B ,都有22))((B A B A B A -=-+ (B ) 14.若向量组s ααα,,,21 与t βββ,,,21 等价,则t s = (B ) 15.若齐次线性方程组AX=O 存在基础解系,则方程组AX=b (b ≠0)有无穷多解 (B) 16.若同阶矩阵A 与B 的秩相等,则A 可经过有限次的初等变换化成B (A ) 17.若λ是方阵A 的特征值,则n λ是n A 的特征值(其中n 为自然数)(A ) 18.若n 阶方阵A 相似于对角矩阵,则A 有n 个互异特征值 (B ) 19.设1X 与2X 是A 的任意两个特征向量,则21X X +也是其特征向量(B )20.若A 为正交矩阵,则1±=A (A )三、填空题(共10小题,每题2分,共计20分)答题要求:请将最终答案直接填在题中横线上.21.设A 为三阶矩阵,且2=A ,则=A 3 5422. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=1111A ,则⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-+-0110)()(21E A E A 23.设矩阵A 可逆,则其伴随矩阵*A 可逆,且A AA 1)(1=-* 24.如果54⨯阶矩阵A 的行向量组线性无关,则齐次线性方程组AX=O 的 基础解系中含有1个向量25.若向量组中含有零向量,则此向量组线性相关 26.若T k )4,,2,1(1=α与T )2,2,3,4(2-=α正交,则1-=k 27.设A 为正交矩阵,则1=A A T28.设三阶矩阵A 的特征值为-2、1、4,则8-=A29.已知-5是方阵A 的特征值,则A-2E 一定有一个特征值-7 30.设s ηηη,,,21 为非齐次线性方程组AX=b 的一组解,如果s s c c c ηηη+++ 2211也是该方程组的一个解,则11=∑=si i cS1:计算题一(共2小题,每题8分,共16分)答题要求:写出文字说明和主要验算步骤1.计算四阶行列式2101502143210113--解:6410312011102101264103122220210101135021432121012101502143210113-=-----=---=--=3660013001110210125301300111021012-=-=-2.解矩阵方程B X A E =-)(,其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=101111010A ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=350211B解:=-A E ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛201101011101111010100010001⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-112213111002201013001333001111011011442101111011011352010210111011),(X B A ES2:计算题二(共3小题,每题10分,共30分)答题要求:写出文字说明和主要验算步骤1.给定向量组T )1,1,1,1(1=α,T )1,1,1,1(2--=α,T )3,1,3,1(3=α,T )1,1,1,1(4--=α ,求该向量组的秩,并确定一个极大无关组,将其余向量用该极大无关组线性表示。