2016年大连市高三双基测试卷数 学（理科）说明：1. 本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，其中第II 卷第22题～第24题为选考题，其它题为必考题．2.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．参考公式：球的表面积公式：24R S π=，其中R 为半径.第I 卷（选择题 共60分）一．选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.已知全集{2,4,6,8,10}U =，集合A ，B 满足(){8,10},{2}U U C A B A C B ==,则集合B =（A ）{4,6}(B){4}(C){6}(D)Φ2.已知复数1z i =+，则4z = （A ）4i -(B)4i(C)4-(D)43．已知函数()f x 定义域为R ，则命题p ：“函数()f x 为偶函数”是命题q ：“000,()()x R f x f x ∃∈=-”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 (D)既不充分也不必要条件 4．执行如图的程序框图，输出的C 的值为 （A ）3 （B ）5（C ）8 （D ）135.已知互不重合的直线,a b ,互不重合的平面,αβ,给出下列四个命题，错．误．的命题是 （A ）若a //α，a //β，b αβ=，则a //b(B)若βα⊥，a α⊥，β⊥b 则b a ⊥ (C)若βα⊥，γα⊥，a =γβ ，则a α⊥ (D)若α//β，a //α，则a //β6．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）.这个问题中，甲所得为 （A ）54钱 （B ）43钱（C ）32钱 （D ）53钱 7．ABC ∆中，2,3,60AB AC B ==∠=，则cos C =（A（B）（C）（D8．已知点(,)x y 满足不等式组43021032190x y x y x y -+≤⎧⎪--≥⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =-的最大值为（A ）7-（B ）1-（C ）1（D ）29．若抛物线24y x =上一点P 到其焦点F 的距离为2，O 为坐标原点，则OFP ∆的面积为 （A ）12（B ）1（C ）32（D ）2 10．已知直线m x y +=和圆122=+y x 交于B A 、两点，O 为坐标原点，若32AO AB ⋅=，则实数=m （A ）1±（B ）23±（C ）22±（D ）21± 11．在区间[]0,π上随机地取两个数x 、y ,则事件“sin y x ≤”发生的概率为（A ）1π（B ）2π（C ）21π（D ）22π12．函数()f x 是定义在(0,)+∞上的单调函数，且对定义域内的任意x ，均有3(()ln )2f f x x x --=，则()f e =（A ）31e + （B ）32e +（C ）31e e ++ （D ）32e e ++第Ⅱ卷(非选择题 共90分)本卷包括必考题和选考题两部分，第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题第24题为选考题，考生根据要求做答． 二．填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．双曲线2221x y -=的渐近线方程为. 14．101()2x x-的展开式中，4x 项的系数为（用数字作答）. 15．数列{}n a 前n 项和2n n S =，则n a =.16．如图，在小正方形边长为1的网格中画出了某多面体的三视图，则该多面体的外接球表面积为.三．解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（本小题满分12分） 已知函数()2sin()(0,||)f x x ωϕωϕπ=+><经过点7(,2),(,2)1212ππ-，且在区间7(,)1212ππ上为单调函数.（Ⅰ）求,ωϕ的值； （Ⅱ）设*()()3n n a nf n N π=∈，求数列{}n a 的前30项和30S . 18.（本小题满分12分）2015年“双十一”当天，甲、乙两大电商进行了打折促销活动，某公司分别调查了当天在甲、乙电商购物的1000名消费者的消费金额，得到了消费金额的频数分布表如下： 甲电商： 乙电商： （Ⅰ）根据频数分布表，完成下列频率分布直方图，并根据频率分布直方图比较消费者在甲、乙电商消费金额的中位数的大小以及方差的大小（其中方差大小给出判断即可，不必说明理由）；（第16题图）(甲) （乙）（Ⅱ）（ⅰ）根据上述数据，估计“双十一”当天在甲电商购物的大量的消费者中，消费金额小于3千元的概率；（ⅱ）现从“双十一”当天在甲电商购物的大量的消费者中任意调查5位，记消费金额小于3千元的人数为X ，试求出X 的期望和方差.19.（本小题满分12分）如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是边长为3的菱形，60=∠ABC .⊥PA 面ABCD ，且3=PA .F 在棱PA 上，且1=AF ，E 在棱PD 上.（Ⅰ）若//CE 面BDF ，求ED PE :的值； （Ⅱ）求二面角A DF B --的大小.20. （本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，过2F 作垂直于x 轴的直线l 交椭圆C 于B A 、两点，满足2||AF =. （Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）N M 、是椭圆C 短轴的两个端点，设点P 是椭圆C 上一点（异于椭圆C 的顶点），直线NP MP 、分别和x 轴相交于Q R 、两点，O 为坐标原点，若4OR OQ ⋅=，求椭圆C 的方程.21. （本小题满分12分） 设函数2)(aax e x f x --=（x R ∈，实数[0,)a ∈+∞, 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数1.64872=⋅⋅⋅）.（Ⅰ）若0)(≥x f 在x R ∈上恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若m x e x+≥ln 对任意0>x 恒成立，求证：实数m 的最大值大于2.3.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时请写清题号．EF CADBP （第19题图）22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图，AB 是⊙O 的直径，,,DA AB CB AB DO CO ⊥⊥⊥. （Ⅰ）求证：CD 是⊙O 的切线；（Ⅱ）设CD 与⊙O 的公共点为E ，点E 到AB 的距离为2，求11CE DE+的值. 23.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C ：⎩⎨⎧=+=ϕϕsin cos a y a a x （ϕ为参数，实数0>a ），曲线2C ：⎩⎨⎧+==ϕϕsin cos b b y b x （ϕ为参数，实数0>b ）.在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线)20,0(:παραθ≤≤≥=l 与1C 交于A O 、两点，与2C 交于B O 、两点.当0=α时，1||=OA ；当2πα=时，2||=OB .（Ⅰ）求b a ,的值；（Ⅱ）求||||||22OB OA OA ⋅+的最大值. 24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 设函数|1||2|)(ax a x x f -++=（x R ∈，实数0a <）. （Ⅰ）若25)0(>f ，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）求证：2)(≥x f .2016年大连市高三双基测试数学（理科）参考答案及评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．（第22题图）一．选择题1.A2.C3.A4.B5.D6.B7.D8.C9.B 10.C 11.D 12.B 二．填空题13.y x = 14.15- 15.12,12,2n n n -=⎧⎨≥⎩16.34π 三．解答题 17.解： （Ⅰ）由题可得72,2()122122k k k Z ωππωππϕπϕπ+=-+=+∈，……………………3分解得2ω=，22()3k k Z πϕπ=-∈，∵||ϕπ<，∴23πϕ=-. ………………………6分 （Ⅱ）∵*222sin()()33n n a n n N ππ=-∈，数列*22{2sin()}()33n n N ππ-∈的周期为3.前三项依次为，…………………………………………………………………9分∴32313(32)0(31)3(n n n a a a n n n --++=-⨯+-⨯=*()n N ∈，∴30123282930()()S a a a a a a =+++⋅⋅⋅+++=-. ………………………………12分18. （Ⅰ）频率分布直方图如下图所示，…………………………………………………4分甲的中位数在区间)3,2[内，乙的中位数在区间[1,2)内，所以甲的中位数大.……………………………………………………6分（Ⅱ）（ⅰ）估计在甲电商购物的消费者中，购物小于3千元的概率为35；…………………8分 （ⅱ）由题可得购物金额小于3千元人数3~(5,)5X B ，………………………………10分 ∴3326()53,()55555E X D X =⨯==⨯⨯=.……………………………………………12分))19. （Ⅰ）法一：过E 作//EG FD 交AP 于G ，连接CG ， 连接AC 交BD 于O ，连接FO .∵//EG FD ，EG ⊄面BDF ，FD ⊂面BDF ，∴//EG 面BDF ，又EG CE E =，//CE 面BDF ，,EG CE ⊂面CGE ,∴面//CGE 面BDF ，………………………………3分 又CG ⊂面CGE ，∴//CG 面BDF ，又面BDF 面PAC FO =，CG ⊂面PAC ， ∴//FO CG .又O 为AC 中点，∴F 为AG 中点，∴1FG GP ==， ∴E 为PD 中点，:1:1PE ED =.…………………6分 法二:取BC 中点G ，连接AG ，∵ABCD 是 60=∠ABC 的菱形， ∴AG AD ⊥，又⊥PA 面ABCD ，∴分别以AG 、AD 、AP 为x 、y 、z 轴正方向建立空间直角坐标系A xyz -如图所示.则33(0,3,0),,0),,0),(0,0,1),(0,0,3),22D B C F P - ∴339(0,3,1),(,0)2DF DB =-=-，…………………………………………………2分 设面BDF 的一个法向量(,,)n x y z =，则由00n DF n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得30902y z x y -+=⎧-=，不妨令3z =，则解得1x y ==， ∴(3,1,3)n =.……………………………………………………………………………4分设(0,3,3)PE PD λλλ==-，则3(3,33)2CE CP PE λλ=+=-+-， ∵//CE 面BDF ，∴0n CE ⋅=，即93399022λλ--++-=，解得12λ=. ∴:1:1PE ED =.……………………………………………………………………………6分（Ⅱ）法一:过点B 作BH ⊥直线DA 交DA 延长线于H ，过点H 作HI ⊥直线DF 交DF 于I ，……………………………………………8分∵⊥PA 面ABCD ，∴面PAD ⊥面ABCD ， ∴BH ⊥面PAD ，由三垂线定理可得DI IB ⊥，∴BIH ∠是二面角A DF B --的平面角.由题易得39,22AH BH HD ===，且HI AF HD DF ==，∴HI =，∴tan BIH ∠==，…………………………………………………10分 ∴二面角A DF B --的大小为……………………………………………12分法二:接（Ⅰ）法二，显然面PAD 的一个法向量(1,0,0)m =，………………………8分∴39cos ,||||m n m n m n ⋅<>==⋅.………………………………………………………10分 ∴二面角A DF B --的大小为.…………………………………………12分 20.解: （Ⅰ）法一：A 点横坐标为c ，代入椭圆得22221c y a b+=，解得22||||b y AF a ==，∴2b a =.……………………………………………………2分即22a c -=，设cea=，∴210e -=，解得e =…………………4分 法二：直角12AF F ∆中，122||2,||F F c AF ==，∴由勾股定理得22211||412AF c c =+，即1||AF =，……………………………………………………………………………2分∴2a ==，∴c a =e =……………………………4分 （Ⅱ）设00(0,),(0,),(,)M b N b P x y -， 则MP 方程为00y b y x b x -=+，令0y =得到R 点横坐标为bx b y -；…………………6分 NP 方程为00y b y x b x +=-，令0y =得到Q 点横坐标为bx b y +；……………………8分 222222220222200()||||4,b y a b b x b OR OQ a b y b y -∴⋅====-- ∴223,1c b ==,∴椭圆C 的方程为2214x y +=.………………………………………12分21. 解：（Ⅰ） 法一：'()xf x e a =-.（1）当0a =时，()xf x e =，∴0)(≥x f 在x R ∈上恒成立；……………………1分（2）当0a >时，'()0f x >可得ln x a >，'()0f x <可得ln x a <.∴()f x 在(,ln )a -∞为减函数，在(ln ,)a +∞为增函数.∴()(ln )ln 2af x f a a a a ≥=--， 要使得0)(≥x f 在x R ∈上恒成立，必有ln 02aa a a --≥，即a ≤. 综上实数a的取值范围为.…………………………………………………………4分 法二：若0)(≥x f 在x R ∈上恒成立，即1()2x e a x ≥+. (1) 当12x ≤-时，∵0a ≥，0x e >，∴原不等式显然成立；…………………………1分(2)当12x >-时，有12xe a x ≤+，设()12xe h x x =+，则21()2'()1()2x e x h x x -=+. ∴'()h x 在1(,)2+∞上大于0；在11(,)22-上小于0.∴()h x 在1(,)2+∞上单调递增；在11(,)22-上单调递减.min 1()()2h x h ==a ≤综上：实数a的取值范围为.………………………………………………………4分（Ⅱ）设()ln (0)g x x x =+>，则1'()(0)g x x x=>， '()0g x >，可得x >；'()0g x <，可得0x <<. ∴()g x在)+∞上单调递增；在上单调递减.……………………………8分∴()g x g ≥=1.64872=⋅⋅⋅1.6>，∴()2.3g x >.…10分 由（Ⅰ）可得x e ≥，∴ln x e x -的最小值大于2.3，若m x e x +≥ln 对任意0>x 恒成立，则m 的最大值一定大于2.3.……………………………………………………12分 22．（Ⅰ）证明：由题可知,DA BC 为⊙O 的切线.∵90DOC ∠=，∴90AOD BOC ∠+∠=；∵90OBC ∠=，∴90OCB BOC ∠+∠=； ∴AOD OCB ∠=∠，∴AOD ∆∽BCO ∆，∴OC BCOD OA=，…………………………2分 又∵AO OB =，∴OC BCOD OB=，∴Rt OCD ∆∽Rt BCO ∆，∴OCD ∠=BCO ∠， ∴CO 是BCD ∠的平分线，∴圆心O 到CD 的距离等于半径OB ，∴CD 是⊙O 的切线.………………………………5分（Ⅱ）若DA CB =，显然可得111CE DE +=.…………6分若DA CB ≠，不妨设DA CB >.过E 作EF AB ⊥交AB 于F ，过C 作CG AD ⊥交AD 于G ，交EF 于H .由（Ⅰ）可得,DA DE CB CE ==，在CGD ∆中， 有EH CE GD CD =，即2CE CE DE CE CE DE -=-+，化简得111CE DE+=. 综上：111CE DE +=.………………………………………………………………………10分 23.解：（Ⅰ）将1C 化为普通方程为222()x a y a -+=，其极坐标方程为2cos a ρθ=，由题可得当0θ=时，||1OA ρ==，∴12a =.……………………………………………2分 将2C 化为普通方程为222()x y b b +-=，其极坐标方程为2sin b ρθ=,由题可得当2πθ=时，||2OB ρ==，∴1b =.………………………………………………………………4分 （Ⅱ）由,a b 的值可得1C ，2C 的方程分别为cos ρθ=，2sin ρθ=,∴222||||||2cos 2sin cos sin 2cos 21OA OA OB θθθθθ+⋅=+=++)14πθ=++，………………………………………………………………………6分52[,],)14444ππππθθ+∈++最大值为1，当2,428πππθθ+==时取到.……………………………………………………………………………………………10分24. （Ⅰ）∵0<a ，∴115(0)||||2f a a a a =+-=-->，即25102a a ++>， 解得2a <-或102a -<<.…………………………………………………………………4分 （Ⅱ）13,2111()|2|||,2113,a x a x a a f x x a x x a x a a a x a x a a ⎧+-≥-⎪⎪⎪=++-=---<<-⎨⎪⎪--+≤⎪⎩, …………………………………………………………………………………………………6分当2a x ≥-时，1()2a f x a ≥--；当12a x a <<-时，1()2a f x a>--； 当1x a ≤时，2()f x a a ≥--.………………………………………………………………8分∴min 1()2a f x a =--≥=，当且仅当12a a -=-即a = ∴2)(≥x f .………………………………………………………………………………10分。