2019年大连市高三双基测试数学（理科）参考答案与评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一．选择题1.B2.A3.A4.D5.D6.B7.B8.A9.C 10.C 11.B 12.A 二．填空题13.24 14. 8 15.0 16.y x =± 三．解答题 17. 解：（Ⅰ） 因为11,1,1n n n S n a S S n -=⎧=⎨->⎩，所以+224,14,126(N )5(1)5(1),126,1n n n a n n n n n n n n n -=-=⎧⎧===-∈⎨⎨---+->->⎩⎩……………4分 （Ⅱ）因为1322n n n a n +-=， 所以12121432222n n n n n T -----=++⋅⋅⋅++2311214322222n n n n n T +----=++⋅⋅⋅++ 两式作差得：1211211322222n n n n T +--=++⋅⋅⋅+-…………………………………………………8分化简得1111222n n n T +-=--，所以112n n n T -=--.………………………………………………………………………………12分18.（Ⅰ）选取方案二更合适,理由如下：(1)题中介绍了，随着电子阅读的普及,传统纸媒受到了强烈的冲击,从表格中的数据中可以看出从2014年开始，广告收入呈现逐年下降的趋势，可以预见，2019年的纸质广告收入会接着下跌，前四年的增长趋势已经不能作为预测后续数据的依据.(2) 相关系数||r 越接近1，线性相关性越强,因为根据9年的数据得到的相关系数的绝对值0.2430.666<,我们没有理由认为y 与t 具有线性相关关系；而后5年的数据得到的相关系数的绝对值0.9840.959>,所以有99%的把握认为y 与t 具有线性相关关系. ………………………6分 （仅用（1）解释得3分，仅用（2）解释或者用（1）（2）解释得6分） (Ⅱ)从该网站购买该书籍的大量读者中任取一位，购买电子书的概率为35，只购买纸质书的概率为25，…………………………………………………………………………………………………8分 购买电子书人数多于只购买纸质书人数有两种情况：3人购买电子书，2人购买电子书一人只购买纸质书.概率为：33223333281()()555125C C +⨯=.……………………………………………………………12分 19.解：（Ⅰ）由题可知圆O 只能经过椭圆的上下顶点，所以椭圆焦距等于短轴长，即222a b =， …………………………………………………………………………………………………………2分又点1(,)b a 在椭圆C 上，所以222211b a a b+=，解得222,1a b ==，即椭圆C 的方程为2212x y +=.……………………………………………………………………4分（Ⅱ）圆O 的方程为221x y +=，当直线l 不存在斜率时，解得||MN ，不符合题意； …………………………………………………………………………………………………………5分 当直线l 存在斜率时，设其方程为y kx m =+，因为直线l 与圆O1=，即221m k =+.…………………………………………………………………………………………6分将直线l 与椭圆C 的方程联立，得：222(12)4220k x kmx m +++-=，判别式222881680m k k ∆=-++=>，即0k ≠，………………………………………………………………………………………………………7分 设1122(,),(,)M x y N x y ，所以124|||3MN x x ==-==， 解得1k =±，………………………………………………………………………………………11分所以直线l 的倾斜角为4π或34π.…………………………………………………………………12分 20. 解（Ⅰ）法一：如图，在平面11ACC A 内过1A 作1AO AC ⊥与AC 交于点O ，因为平面11ACC A ⊥平面ABC ，且平面11ACC A 平面A B C A C =，1AO ⊂平面11ACC A ， 所以1AO ⊥平面ABC ，所以1A AC ∠为1AA 与平面ABC 所成角， ……………………………1分 由公式11cos cos cos BAA A AC BAC ∠=∠⋅∠，………………………3分 所以145A AC ∠=︒，11sin 451AO AA =︒=， 又ABC ∆的面积为12122⨯=，所以三棱柱111ABC A B C -的体积为111⨯=.………4分 法二：如图，在平面11ACC A 和平面ABC 内，分别过A 作AC 的垂线，由面面垂直性质，可以以这两条垂线以及AC为坐标轴建立空间直角坐标系，………………………2分 则可得(0,0,0),(1,1,0)A B ，(0,2,0)C ，设1(0,,)Ab c ，则11(1,1,0),(0,,),AB AA b c ==由160,BAA ∠=得12=，又222b c +=，解得1b c ==，即三棱柱的高为1，又ABC ∆的面积为12122⨯=，所以三棱柱111ABC A B C -的体积为111⨯=.……………………………4分（Ⅱ）接（Ⅰ）法一：由（Ⅰ）得在ABC ∆中，O 为AC 中点，连接OB ， 由余弦定理得2222cos452BC AB AC AB AC=+-⋅︒=，解所以AB BC BO AC =⊥，，（或者利用余弦定理求OB ）以O 为坐标原点，以1OB OC OA ，，分别为x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系， …………………………………………………………………………………………………………5分 则1(0,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(0,1,0)A B A C -， 所以11=(0,1,1),AA BB =C=(1,1,0),B - 设1=(0,,),BE BB λλλ=[0,1]λ∈，设平面11BCC B 的法向量为(,,)n x y z =，则100n BB n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00y z x y +=⎧⎨-+=⎩，不妨令1x =,则1,1y z ==-，即(1,1,1)n =-.111(1,,1)AE AB BB λλλ=+=-，…………………………………………………………7分 又因为1A E 与平面11BCC B， 所以1|cos ,|7A E n <>==， 解得13λ=或23λ=，………………………………………………………………………………11分 又因为1BE B E >，所以BE =.………………………………………………… …………12分21.解：（Ⅰ）2121'()21(0)ax x f x ax x x x-+=+-=>，设2()21(0)g x ax x x =-+>(1)当108a <<时，()g x 在11()+-+∞上大于零，在上小于零，所以()f x 在)+∞上单调递增，在11(44a a-+，单调递减；…………………………………………………………1分(2) 当18a ≥时，()0g x ≥(当且仅当1,28a x ==时()0g x =)，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增；……………………………………………………………………………………………………2分 (3) 当0a =时，()g x 在(0,1)上大于零，在(1)+∞，上小于零，所以()f x 在(0,1)上单调递增，在(1)+∞，单调递减；………………………………………………………………………………3分(4)当0a <时，()g x 在1(0,)4a 上大于零，在1()4a+∞上小于零，所以()f x 在上单调递增，在)+∞上单调递减. ………………………………4分（Ⅱ）曲线()y f x =在点(,())t f t 处的切线方程为21(21)()ln y at x t t at t t=+--++-，切线方程和()y f x =联立可得：221ln (2)ln 10x ax at x t at t+-+-++=，现讨论该方程根的个数：设221()ln (2)ln 1(0)h x x ax at x t at x t=+-+-++>， 所以()0h t =.法一： 11()(21)'()2(2)x t atx h x ax at x t xt--=+-+=， (1) 当0a ≤时，'()h x 在(0,)t 上大于零，在(,)t +∞上小于零，所以()h x 在(0,)t 上单调递增，在(,)t +∞上单调递减.又()0h t =，所以()h x 只有唯一的零点t ，由t 的任意性，所以不符合题意；…………………………………………………………………………………………………………6分 (2) 当0a >时，①当t =时，可得'()0h x ≥，所以()h x 在(0,)+∞上单调递增，； …………………………………………………………………………………………………………7分②当t <时，'()h x 在(0,)t 和1(,)2at +∞上大于零，在1(,)2t at 上小于零，所以()h x 在(0,)t 和1(,)2at +∞上单调递增，在1(,)2t at 上单调递减，所以()h x 在1(0,)2at上小于或等于零，且有唯一的零点t . 函数221(2)1y ax at x at t =-+++的两个零点为t 和1t at+，所以11()ln()ln 0h t t t at at +=+->，所以函数()h x 在区间11(,)2t at at+上存在零点，综上()h x 的零点不唯一；（或者这么说明：当x →+∞时，ln x →+∞且221(2)ln 1ax at x t at t-+-++→+∞，所以()h x →+∞，所以()h x 在1(,)2at+∞上存在零点，酌情给分） …………………………………………………………………………………………………………9分③当t >时，'()h x 在1(0,)2at 和(,)t +∞上大于零，在1()2t at ，上小于零，所以()h x 在1(0,)2at 和(,)t +∞上单调递增，在1()2t at ，上单调递减，所以()h x 在1(,)2at+∞上大于或等于零，且有唯一的零点t .函数221(2)1y ax at x at t=-+++在区间[0,]t 上最大值为21at +，当210atx te -+<<时，()0h x <，所以在区间1(0,)2at上，()h x 存在零点，综上()h x 的零点不唯一. （或者这么说明：当0x →时，ln x →-∞且2221(2)ln 1ln 1ax at x t at t at t -+-++→-++，是个常数，所以()h x →-∞，所以()h x 在1(0,)2at上存在零点，酌情给分） …………………………………………………………………………………………………………11分综上，当a ∈(0,)+∞时，曲线()y f x =上存在唯一的点((22M f a a，使得曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点M .…………………………………………………………………12分法二：11'()2(2)h x ax at x t =+-+，设'()()h x p x =，则2221'()ax p x x -=.(1)当0a ≤时，'()0p x <，所以'()h x 在(0,)+∞上单调递减，又'()0h t =，所以'()h x 在(0,)t 上大于零，在(,)t +∞上小于零，所以()h x 在(0,)t 上单调递增，在(,)t +∞上单调递减，又()0h t =，所以()h x 只有唯一的零点t ，由t 的任意性，所以不符合题意；…………………………………………………………………………………………………………6分(2) 当0a >时，'()p x 在上小于零，在)+∞上大于零，所以'()h x 在上单调递减，在)+∞上单调递增，①当t <时，'()h x 在(0,)t 上大于零，在(t 上小于零，所以()h x 在(0,)t 上单调递增，在(,2t a 上单调递减，所以()h x 在(0,2a上小于或等于零，且有唯一的零点t . 函数221(2)ln 1y ax at x t at t=-+-++开口向上，若其判别式不大于零，则对任意01x >，有0()0h x >；若其判别式大于零，设其右侧的零点为m ，则对任意的0max{,1}x m >，有0()0h x >，所以在区间)+∞上，存在零点，综上()h x 的零点不唯一； （或者这么说明：当x →+∞时，ln x →+∞且221(2)ln 1ax at x t at t-+-++→+∞，所以()h x →+∞，所以()h x 在)+∞上存在零点，酌情给分）………………………………………………………………………………………………………8分②当t =时，可得'()'()0h x h t ≥=，所以()h x 在(0,)+∞上单调递增，所以其只有唯一的零点2a；……………………………………………………………………………………………9分③当t >时，'()h x 在(,)t +∞上大于零，在)t 上小于零，所以()h x 在(,)t +∞上单调递增，在)t 上单调递减，所以()h x在)+∞上大于或等于零，且有唯一的零点t . 函数221(2)ln 1y ax at x t at t=-+-++在区间[0,1]上一定存在最大值，设为n ，若0n ≤，则()h x 在(0,1)上小于零.若0n >，当00n x e -<<时，0()0h x <，所以在区间0(x 上，()h x 存在零点，综上()h x 的零点不唯一.（或者这么说明：当0x →时，ln x →-∞且2221(2)ln 1ln 1ax at x t at t at t-+-++→-++，是个常数，所以()h x →-∞，所以()h x在上存在零点，酌情给分） …………………………………………………………………………………………………………11分 综上，当a ∈(0,)+∞时，曲线()y f x =上存在唯一的点M f ，使得曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点M .…………………………………………………………………12分22.解(Ⅰ)联立曲线34,C C 的极坐标方程1c o s,((0,))2c o s 1πρθθρθ⎧=+∈⎪⎨⎪=⎩得: 210ρρ--=，解得ρ=,.………………………………………………………4分 (Ⅱ)曲线1C 的极坐标方程为,(0,),02πθααρ⎛⎫=∈> ⎪⎝⎭, 曲线2C 的极坐标方程为2sin ,(0,)2πρθθ=∈联立得2sin ,(0,)2πραα=∈ 即||2sin ,(0,)2OP παα=∈曲线1C 与曲线3C 的极坐标方程联立得1cos ,(0,)2πραα=+∈,即||1cos ,(0,)2OQ παα=+∈,…………………………………………………………………6分所以||||12sin cos 1)OP OQ αααϕ+=++=+,其中ϕ的终边经过点(2,1), 当2,Z 2k k παϕπ+=+∈，即arcsinα=||||OP OQ +取得最大值为1………………………………………………………………………………………………………10分 23.解：（Ⅰ）1a =-时，()0f x >可得|21||2|x x ->-，即22(21)(2)x x ->-， 化简得：(33)(1)0x x -+>，所以不等式()0f x >的解集为(,1)(1,)-∞-+∞.………………………………………………………………………………………………………3分 （Ⅱ）(1) 当4a <-时，2,2()32,222,2x a x a f x x a x a x a x ⎧⎪---<⎪⎪=--+≤≤-⎨⎪⎪++>-⎪⎩，由函数单调性可得min ()()2122a af x f =-=+≥-，解得64a -≤<-；……………………………………………5分(2) 当4a =-时，()|2|f x x =-， min ()01f x =≥-，所以4a =-符合题意；……………7分(3) 当4a >-时，2,2()32,222,2a x a x a f x x a x x a x ⎧---<-⎪⎪⎪=+--≤≤⎨⎪++>⎪⎪⎩，由函数单调性可得，min ()()2122a af x f =-=--≥-，解得42a -<≤-；………………………………………9分综上，实数a 的取值范围为[6,2]--.………………………………………………………………10分。