第五专题 矩阵的数值特征（行列式、迹、秩、相对特征根、范数、条件数） 一、行列式已知A p ×q , B q ×p , 则|I p +AB|=|I q +BA| 证明一：参照课本194页，例4.3.证明二：利用AB 和BA 有相同的非零特征值的性质；从而I p +AB ，I q +BA 中不等于1的特征值的数目 相同，大小相同；其余特征值都等于1。

行列式是特征值的乘积，因此|I p +AB|和|I q +BA|等于特征值（不等于1）的乘积，所以二者相等。

二、矩阵的迹矩阵的迹相对其它数值特征简单些，然而，它在许多领域，如数值计算，逼近论，以及统计估计等都有相当多的应用，许多量的计算都会归结为矩阵的迹的运算。

下面讨论有关迹的一些性质和不等式。

定义：nnii i i 1i 1tr(A)a ====λ∑∑，etrA=exp(trA)性质：1. tr(A B)tr(A)tr(B)λ+μ=λ+μ，线性性质；2.Ttr(A )tr(A)=； 3. tr(AB)tr(BA)=；4.1tr(P AP)tr(A)-=；5. H Htr(x Ax)tr(Axx ),x =为向量；6. nnk ki i i 1i 1tr(A),tr(A )===λ=λ∑∑;从Schur 定理（或Jordan 标准形）和（4）证明； 7. A 0≥,则tr(A)0≥,且等号成立的充要条件是A=0；8. A B(A B 0)≥-≥即,则tr(A)tr(B)≥，且等号成立的充要条件是A=B （i i A B (A)(B)≥⇒λ≥λ）；9. 对于n 阶方阵A ，若存在正整数k,使得A k =0,则tr(A)=0（从Schur 定理或Jordan 标准形证明）。

若干基本不等式对于两个m ×n 复矩阵A 和B ，tr(A H B)是m ×n 维酉空间上的内积，也就是将它们按列依次排成的两个mn 维列向量的内积，利用Cauchy-schwarz 不等式[x,y]2≤[x,x]﹒[y,y]得定理：对任意两个m ×n 复矩阵A 和B |tr(A H B)|2≤tr(A H A)﹒tr(B H B)这里等号成立的充要条件是A=cB,c 为一常数。

特别当A 和B 为实对称阵或Hermit 矩阵时0≤|tr(AB)|≤定理：设A 和B 为两个n 阶Hermite 阵,且A≥0，B≥0，则0≤tr(AB)≤λ1(B)tr(A) ≤tr(A)﹒tr(B) λ1(B)表示B 的最大特征值。

证明：tr(AB)= tr(A 1/2BA 1/2) ≥0，又因为A 1/2[λ1(B)I-B]A 1/2≥0，所以λ1(B)tr(A)≥A 1/2BA 1/2，得 tr(AB)= tr(A 1/2BA 1/2)≤tr(λ1(B) A)=λ1(B) tr(A)≤tr(A)﹒tr(B)推论：设A 为Hermite 矩阵，且A>0，则tr(A)tr(A -1)≥n另外，关于矩阵的迹的不等式还有很多，请参考《矩阵论中不等式》。

三、矩阵的秩矩阵的秩的概念是由Sylvester 于1861年引进的。

它是矩阵的最重要的数字特征之一。

下面讨论有关矩阵秩的一些性质和不等式。

定义：矩阵A 的秩定义为它的行（或列）向量的最大无关组所包含的向量的个数。

记为rank(A)性质：1. rank(AB)min(rank(A),rank(B))≤；2. rank(A B)rank(A,B)rank(A)rank(B)+≤≤+；3.H Hrank(AA )rank(A )rank(A)==；===，4. rank(A)rank(XA)rank(AY)rank(XAY)其中X列满秩，Y行满秩（消去法则）。

定理（Sylvester）：设A和B分别为m×n和n×l 矩阵，则Sylveste定理是关于两个矩阵乘积的秩的不等式。

其等号成立的充要条件请参考王松桂编写的《矩阵论中不等式》，三个矩阵乘积的秩的不等式也一并参考上述文献。

四、相对特征根定义：设A和B均为P阶实对称阵，B>0，方程|A-λB|=0的根称为A相对于B的特征根。

性质：|A-λB|=0等价于|B-1/2AB-1/2-λI|=0(因为B>0，所以B1/2>0)注：求A相对于B的特征根问题转化为求B-1/2AB-1/2的特征根问题或AB-1的特征根。

因B-1/2AB-1/2是实对称阵，所以特征根为实数。

定义：使(A-λi B)l i=0的非零向量l i称为对应于λi 的A相对于B的特征向量。

性质：①设l是相对于λ的A B-1的特征向量，则A B-1l=λl 或 A (B-1l)=λB( B-1l)B-1l 为对应λ的A相对于B的特征向量（转化为求A B -1的特征向量问题）。

② 设l 是相对于λ的B -1/2AB -1/2的特征向量，则B -1/2AB -1/2l=λl可得A (B -1/2l)=λB(B -1/2l)则B -1/2l 为对应λ的A 相对于B 的特征向量（转化为求B -1/2AB -1/2对称阵的特征向量问题）。

五、向量范数与矩阵范数向量与矩阵的范数是描述向量和矩阵“大小”的一种度量。

先讨论向量范数。

1. 向量范数定义：设V 为数域F 上的线性空间，若对于V 的任一向量x ，对应一个实值函数x ，并满足以下三个条件：（1）非负性 x 0≥，等号当且仅当x=0时成立； （2）齐次性 x x ,k,x V;α=α⋅α∈∈ （3）三角不等式x y x y ,x,y V +≤+∈。

则称x 为V 中向量x 的范数，简称为向量范数。

定义了范数的线性空间定义称为赋范线性空间。

例1. n x C ∈，它可表示成[]T12n x =ξξξ，i C ξ∈，1n22i 2i 1x ∆=⎛⎫=ξ ⎪⎝⎭∑就是一种范数，称为欧氏范数或2-范数。

证明：（i ）非负性 1n 22i 2i 1x 0=⎛⎫=ξ≥ ⎪⎝⎭∑，当且仅当()i 0i 1,2,,n ξ==时，即x ＝0时，2x＝0（ii ）齐次性（iii ）三角不等式[]T12n y =ηηη ，i C η∈根据Hölder 不等式：11nnnpqp q i i i i i 1i 1i 1a b a b ===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑，i i 11p,q 1,1,a ,b 0p q >+=> 2. 常用的向量范数（设向量为[]T12n x =ξξξ）1-范数：ni 1i 1x==ξ∑；∞-范数：1i nx i max ∞≤≤=ξ；P-范数：1npp i p i 1x =⎛⎫=ξ ⎪⎝⎭∑ （p>1, p=1, 2,…,∞,）;2-范数：()1H22x x x =;椭圆范数(2-范数的推广):()1H2Axx Ax=，A 为Hermite 正定阵.加权范数：1n22i i wi 1xw =⎛⎫=ξ ⎪⎝⎭∑，当[]12n A W diag w w w ==，i w 0>证明：px显然满足非负性和齐次性（iii ）[]T12n y =ηηη1npp i p i 1x =⎛⎫=ξ ⎪⎝⎭∑，1npp i pi 1y =⎛⎫=η ⎪⎝⎭∑，1npp i i p i 1x y =⎛⎫+=ξ+η ⎪⎝⎭∑应用Hölder 不等式 即p p px y x y+≤+3. 向量范数的等价性 定理 设α、β为nC 的两种向量范数，则必定存在正数m 、M ，使得m xx M xαβα≤≤，（m 、M 与x无关），称此为向量范数的等价性。

同时有11x x x Mmβαβ≤≤注：（1）对某一向量X 而言，如果它的某一种范数小（或大），那么它的其它范数也小（或大）。

（2）不同的向量范数可能大小不同，但在考虑向量序列的收敛性问题时，却表现出明显的一致性。

4、矩阵范数向量范数的概念推广到矩阵情况。

因为一个m ×n 阶矩阵可以看成一个mn 维向量，所以m nC ⨯中任何一种向量范数都可以认为是m ×n 阶矩阵的矩阵范数。

1. 矩阵范数定义：设m n C ⨯表示数域C 上全体m n⨯阶矩阵的集合。

若对于m n C ⨯中任一矩阵A ，均对应一个实值函数A ，并满足以下四个条件：（1）非负性：A 0≥ ，等号当且仅当A=0时成立； （2）齐次性：A A ,C;α=αα∈（3）三角不等式：m n A B A B ,A,B C ⨯+≤+∈,则称A 为广义矩阵范数；（4）相容性：AB A B ≤⋅,则称A 为矩阵范数。

5. 常用的矩阵范数（1）Frobenius 范数（F-范数）F-范数：12n2ij Fi j 1Aa =⎛⎫= ⎪⎝⎭∑，==矩阵和向量之间常以乘积的形式出现，因而需要考虑矩阵范数与向量范数的协调性。

定义：如果矩阵范数A 和向量范数x 满足 则称这两种范数是相容的。

给一种向量范数后，我们总可以找到一个矩阵范数与之相容。

（2）诱导范数设A ∈C m ×n ，x ∈C n , x 为x 的某种向量范数， 记则A 是矩阵A 的且与x 相容的矩阵范数，也称之为A 的诱导范数或算子范数。

（3）p-范数：pppAx Amaxx=，()ij m nA a ⨯=,x 为所有可能的向量，[]T12n x =ξξξ，ppxxα=α，()p p1Ax A x =αα()0α≠111x 1A max Ax==，ni 1i 1x 1==ξ=∑，nnij j1i 1j 1Ax a ===ξ∑∑可以证明下列矩阵范数都是诱导范数： （1）nij11j ni 1A max a ≤≤==∑ 列（和）范数；（2）21i nA ≤≤= 谱范数； H A A 的最大特征值称为H A A 的谱半径。

当A 是Hermite 矩阵时，i 21i nA max (A)≤≤=λ是A 的谱半径。

注：谱范数有许多良好的性质，因而经常用到。

（3）nij1i mj 1Amax a ∞≤≤==∑ 行（和）范数（x∞=1npp i i1i ni 1p max ≤≤=→∞⎛⎫ξ=ξ ⎪⎝⎭∑ ，2x =1n22i i 1=⎛⎫ξ ⎪⎝⎭∑）定理 矩阵A 的任意一种范数A 是A 的元素的连续函数；矩阵A 的任意两种范数是等价的。

定理 设A ∈C n ×n ，x ∈C n , 则F A 和2x 是相容的 即证明：由于222F2Ax A x Ax ≤⋅≤⋅成立。

定理 设A ∈C n ×n ，则F A 是酉不变的，即对于任意酉矩阵U,V ∈C n ×n ，有 证明： 定义 设A ∈C n ×n，A 的所有不同特征值组成的集合称为A 的谱；特征值的模的最大值称为A 的谱半径，记为ρ(A)。