初中数学竞赛专项训练（2）（代数式、恒等式、恒等变形）一、选择题：下面各题的选项中，只有一项是正确的，请将正确选项的代号填在括号内。
1、某商店经销一批衬衣，进价为每件m 元，零售价比进价高a%，后因市场的变化，该店把零售价调整为原来零售价的b%出售，那么调价后每件衬衣的零售价是 （ ） A. m(1+a%)(1－b%)元 B. m·a%(1－b%)元 C. m(1+a%)b%元 D. m(1+a%b%)元2、如果a 、b 、c 是非零实数，且a+b+c=0，那么||||||||abc abc c c b b a a +++的所有可能的值为 （ ）A. 0B. 1或-1C. 2或-2D. 0或-23、在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若∠B ＝60°，则bc ab ac +++的值为（ ） A. 21B. 22C. 1D.24、设a ＜b ＜0，a 2+b 2= 4ab ，则ba ba -+的值为 （ ）A.3B.6C. 2D. 35、已知a ＝1999x ＋2000，b ＝1999x ＋2001，c ＝1999x ＋2002，则多项式a 2+b 2+c 2－ab －bc －ca 的值（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 36、设a 、b 、c 为实数，226232222πππ+-=+-=+-=a c z c b y b a x ，，，则x 、y 、z 中，至少有一个值 （ ） A. 大于0 B. 等于0C. 不大于0D. 小于07、已知abc ≠0，且a+b+c ＝0，则代数式abc ca b bc a 222++的值是 （ ）A. 3B. 2C. 1D. 08、若136498322++-+-=y x y xy x M （x 、y 是实数），则M 的值一定是 （ ） A. 正数 B. 负数C. 零D. 整数二、填空题1、某商品的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏损成本，售价的折扣（即降价的百分数）不得超过d%，则d 可用p 表示为＿＿＿＿＿2、已知-1＜a ＜0，化简4)1(4)1(22+-+-+aa a a 得＿＿＿＿＿＿＿3、已知实数z 、y 、z 满足x+y=5及z 2=xy+y －9，则x+2y+3z=_______________a4、已知x 1、x 2、……、x 40都是正整数，且x 1+x 2+……+x 40＝58，若x 12+x 22+……+x 402的最大值为A ，最小值为B ，则A ＋B 的值等于＿＿＿＿＿＿＿＿5、计算：=+⋯⋯+++++⋯⋯++++)441()417)(413)(49)(45()439()415)(411)(47)(43(4444444444________________6、已知：多项式154723--+x bx ax 可被13+x 和32-x 整除，则=+b a ＿＿＿＿＿ 三、解答题：1、已知实数a 、b 、c 、d 互不相等，且x ad d c c b b a =+=+=+=+1111，试求x 的值。
2、如果对一切x 的整数值，x 的二次三项式c bx ax ++2的值都是平方数（即整数的平方）。
证明：①2a 、ab 、c 都是整数。
②a 、b 、c 都是整数，并且c 是平方数。
反过来，如果②成立，是否对于一切x 的整数值，x 的二次三项式c bx ax ++2的值都是平方数？3、若22221996199619951995+⋅+=a ，求证：a 是一完全平方数，并写出a 的值。
4、设a 、b 、c 、d 是四个整数，且使得222222)(41)(d c b a cd ab m --+-+=是一个非零整数， 求证：｜m ｜一定是个合数。
5、若2a 的十位数可取1、3、5、7、9。
求a 的个位数。
专项训练（2）参考答案一、选择题1、解：根据题意，这批衬衣的零售价为每件m （1＋a%）元，因调整后的零售价为原零售价的b%，所以调价后每件衬衣的零售价为m （1＋a%）b%元。
应选C2、解：由已知，a ，b ，c 为两正一负或两负一正。
①当a ，b ，c 为两正一负时：0||||||||1||1||||||=+++-==++abc abc c c b b a a abc abc c c b b a a 所以，； ②当a ，b ，c 为两负一正时：0||||||||1||1||||||=+++=-=++abc abcc c b b a a abc abc c c b b a a 所以， 由①②知||||||||abc abcc c b b a a +++所有可能的值为0。
应选A3、解：过A 点作AD ⊥CD 于D ，在Rt △BDA 中，则于∠B ＝60°，所以DB ＝2C，AD ＝C 23。
在Rt △ADC 中，DC 2＝AC 2－AD 2，所以有（a －2C）2＝b 2－43C 2，整理得a 2＋c 2=b 2＋ac ，从而有1))((22222=++++++=+++++=+++b bc ab ac bcab c a b c b a ab a cb c b c a b a c 应选C4、解：因为(a+b)2=6ab ，(a-b)2=2ab ，由于a<b<0，得ab b a ab b a 26-=--=+，，故3=-+ba ba 。
应选A3]2)1()1[(21211])()()[(215222222222=+-+-=∴=--=--=--+-+-=---++原式 ，， 又，、解：a c c b b a a c c b b a ca bc ab c b a 应选D03)1()1(1)-(a z y x 6222中至少有一个大于、、 则、解：因z y x c b >-+-+-+=++π应选A3)()()()()()(7=++=+-+-+-=⋅+-+⋅+-+⋅+-=ccb b a a b ca c cb a bc a b a ab cb a ac b c a bc a c b 、解：原式应选A。
，所以这三个数不能同时为，， 且， 、解：因为0M 03220)3()2()2(21364983822222>+--≥++-+-=++-+-=y x y x y x y x y x y xy x M应选A 二、填空题1、解：设该商品的成本为a ，则有a(1+p%)(1-d%)=a ，解得p100p100d +=2、解因为－1<a<0，所以。
，且，即0101a -1a 1<+>-<<aa a aaa a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 2)1(1|1||1|)1()1(12124)14)122222222-=+--=++-=++-=++++-=+-+-+（（3、解：由已知条件知（x+1）＋y=6，(x ＋1)·y=z 2＋9，所以x ＋1，y 是t 2－6t ＋z 2＋9=0的两个实根，方程有实数解，则△＝（－6）2－4（z 2＋9）＝－4z 2≥0，从而知z=0，解方程得x+1=3，y=3。
所以x+2y+3z ＝8 4、解：494。
因为把58写成40个正整数的和的写法只有有限种，故2402221...x x x +++的最小值和最大值是存在的。
不妨设4021...x x x ≤≤≤，若1x ＞1，则1x +2x ＝（1x -1）+(2x +1)，且（1x －1）2+（2x +1）2＝1x 2+2x 2＋2（2x -1x ）+2＞1x 2+2x 2，所以，当1x ＞1时，可以把1x 逐步调整到1，这时2402221...x x x +++将增大；同样地，可以把2x ，3x ，…39x 逐步调整到1，这时2402221...x x x +++将增大。
于是，当1x ，2x ，…39x 均为1，40x ＝19时，2402221...x x x +++取得最大值，即A ＝ 个392221...11++++192＝400。
若存在两个数i x ，j x ，使得j x －i x ≥2（1≤i ≤j ≤40），则（i x ＋1）2+（j x -1）2＝ix 2+j x 2－2（j x － i x －1）＜i x 2+j x 2，这说明在1x ，3x ，…39x ，40x 中，如果有两个数的差大于1，则把较小的数加1，较大的数减1，这时，2402221...x x x +++将减小。
所以，当2402221...x x x +++取到最小时，1x ，2x ，…40x 中任意两个数的差都不大于1。
于是当1x ＝2x ＝…＝22x ＝1，23x ＝24x ＝…＝40x ＝2时，2402221...x x x +++取得最小值，即942...221 (11182)2222222=+++++++=个个B ， 故A ＋B ＝494353114212142140181614140138161412]1)1][(1)1[()22)(22()2()2(4522222222222222222224=++=++⋯+++++⋯+++∴+-++=+-++=-+=+））（（））（）（（））（（））（）（（原式＝ 、解：x x x x x x x x x6、解：由已知可知，0)23(0)31(==-f f ， 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--+=-++-015214149822015347927b a b a ，解得⎩⎨⎧==224b a∴a ＋b ＝24＋2＝26三、解答题 1、解：由已知有 ④ ③ ② ① x ad x d c x c b x b a =+=+=+=+1111 220x 0200)2)((101)2()1(11112332322±=====-∴≠-=--=+=++--+-=+------=-=x x c a x x a d x x a d ax ad ad x a d x ad dx x dax x a x ax x a x c a x b ，，矛盾。
故有，则由⑥可得若，由已知，代入⑦得由④得 ⑦即 将⑥代入③得 ⑥ ⑤ 代入②得 由①解出 2、解：①令0=x ，得c ＝平方数c 2；令1±=x ，得2m c b a =++，2n c b a =+-，其中m 、n 都是整数，所以，2222222n m b c n m a -=-+=，都是整数。
②如果2b 是奇数2k+1（k 是整数），令4=x 得22416h c b a =++，其中h 是整数，由于2a 是整数，所以16a 被4整除，有2416416++=+k a b a 除以4余2，而))((22l h l h l h -+=-，在h ，l 的奇偶性不同时，))((l h l h -+是奇数；在h ，l 的奇偶性相同时，))((l h l h -+能被4整除，因此，22416l h b a -≠+，从而2b 是偶数，b 是整数，b c m a --=2也是整数，在②成立时，c bx ax ++2不一定对x 的整数值都是平方数，例如：a=2，b=2，c=4，x ＝1时，c bx ax ++2＝8不是平方数。