2013年全国初中数学联合竞赛试题及参考答案第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1.计算=（B ）（A 1 （B ）1 （C （D ）22.满足等式()2221m m m ---=的所有实数m 的和为（A ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）63.已知AB 是圆O 的直径，C 为圆O 上一点，15CAB ∠=，ABC ∠的平分线交圆O 于点D ，若CD =AB=（A ）（A ）2 （B（C ）（D ）34.不定方程23725170x xy x y +---=的全部正整数角（x,y ）的组数为（B ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）45矩形ABCD 的边长AD=3，AB=2，E 为AB 的中点，F 在线段BC 上，且BF ：FC=1：2， AF 分别与DE ，DB 交于点M ，N ，则MN=（C ）（A （B （C （D 6.设n 为正整数，若不超过n 的正整数中质数的个数等于合个数，则称n 为“好数”，那么，所有“好数”之和为（B ） （A ）33 （B ）34 （C ）2013 （D ）2014 二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1.已知实数,,x y z 满足4,129,x y z xy y +=+=+-则23x y z ++= 42.将一个正方体的表面都染成红色，再切割成3(2)n n >个相同的小正方体，若只有一面是红色的小正方体数目与任何面都不是红色的小正方体的数目相同，则n= 8 3.在ABC 中，60,75,10A C AB ∠=∠==，D ，E ，F 分别在AB ，BC ，CA 上，则DEF4.如果实数,,x y z 满足()2228x y z xy yz zx ++-++=，用A 表示,,x y y z z x ---的最大值，则A 的最大值为第二试（A ）一、（本题满分20分）已知实数,,,a b c d 满足()2222223236,a c b d ad bc +=+=-=求()()2222ab c d ++的值。

解：设2222,m a b n c d =+=+，则222223223312.m n a b c d +=+++=因为()()2223232424m n m n mn mn +=-+≥，即21224mn ≥，所以6mn ≤ ………………○1 又因为()()222222222222mn a b cd a c b d a d b c =++=+++ ………………○2 由○1，○2可得 6.mn =即()()22226a b cd ++=注：符合条件的实数,,,a b c d 存在且不唯一，6232,1,,a b c d ====-就是一组。

二、（本题满分25分）已知点C 在以AB 为直径的圆O 上，过点B 、C 作圆O 的切线，交于点P ，连AC ，若92OP AC =，求PBAC的值。

解：连OC ，因为PC ，PB 为圆O 的切线，所以∠POC=∠POB 。

又因为OA=OC ，所以∠OCA=∠OAC 。

又因为∠COB=∠OCA+∠OAC ，所以2∠POB=2∠OAC ，所以∠POB=∠OAC ，所以OP ∥AC 。

又∠POB=∠OAC ，所以BAC POB ，所以AC ABOB OP=。

又92OP AC =，AB=2r ，OB=r （r 为圆O 的半径），代入可求得 OP=3r,AC=23r.在Rt POB 中，由勾股定理可求得2222PB OP OB r =-=。

所以223223PB rAC r ==。

三、（本题满分25分）已知t 是一元二次方程210x x +-=的一个根，若正整数,,a b m 使得等式()()31at m bt m m ++=成立，求ab 的值。

解：因为t 是一元二次方程210x x +-=的一个根，显然t 是无理数，且21t t =-。

等式()()31at m bt m m ++=即()2231abt m a b t m m +++=，即()()2131ab t m a b t m m -+++=，即()()2310.m a b ab t ab m m +-++-=⎡⎤⎣⎦因为,,a b m 是正整数，t 是无理数，所以()20,310,m a b ab ab m m ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩于是可得231,31.a b m ab m m +=-⎧⎨=-⎩ 因此，,a b 是关于x 的一元二次方程()2231310x m x m m +-+-=的两个整数根，该方程的判别式()()()()2231431313150.m m mm m ∆=---=--≥又因为,a b 是正整数，所以310a b m +=->，从而可得310.5m <≤又因为判别式∆是一个完全平方数，验证可知，只有6m =符合要求。

把6m =代入可得231150.ab m m =-=第二试（B ）一、 （本题满分20分）已知21t =-，若正整数,,a b m 使得等式()()17at m bt m m++=成立，求ab 的值。

解：因为21t =-，所以232 2.t =-等式()()17at m bt m m ++=即()2217,abt m a b t m m +++= 即()()()23222117ab m a b m m -++-+=，整理得()()2223170m a b ab ab m a b m m ⎡⎤+-⋅+-++-=⎡⎤⎣⎦⎣⎦于是可得()2217,17.a b m ab m m ⎧+=-⎪⎨=-⎪⎩ 因此，,a b 是关于x 的一元二次方程222(17)170x m x m m +-+-=……○1的两个整数根，方程○1的判别式()()()()224174174171720.m m mm m ∆=---=--≥又因为,,a b m 是正整数，所以()2170a b m +=->，从而可得1702m <≤ 又因为判别式∆是一个完全平方数，验证可知，只有8m =符合要求，把8m =代入得21772ab m m =-=。

二、（本题满分25分）在ABC ∆中，AB>AC ，O 、I 分别是ABC ∆的外心和内心，且满足AB-AC=2OI 。

求证：（1）OI ∥BC ；（2）2AOC AOB AOI S S S ∆∆∆-=。

证明（1）作OM ⊥BC 于M ，IN ⊥BC 于N 。

设BC=a ，AC=b ，AB=c 。

易求得CM=12a ，CN=()12a b c +-，所以MN=CM-CN=()12c b -=OI ， 又MN 恰好是两条平行线OM ，IN 之间的垂线段，所以OI 也是两条平行线OM ，IN 之间的垂线段，所以OI ∥MN ，所以OI ∥BC 。

（2）由（1）知OMNI 是矩形，连接BI ，CI ，设OM=IN=r （即为ABC ∆的内切圆半径），则()()11112222221122.22AOCAOBAOICOIAICAIBAOIBOIAOIBOICOIAICAIB AOIAOIAOISSSSSSSSS S SSSS OI r OI r AC r AB r Sr OI b c S-=++---=+++-=+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅-⋅⋅⎛⎫=+⋅+-= ⎪⎝⎭ 三、（本题满分25分）若正数,,a b c满足2222222222223222b c a c a b a b c bc ca ab ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-+-++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，求代数式222222222222b c a c a b a b c bc ca ab+-+-+-++的值。

解：由于,,a b c 具有轮换对称性，不妨设0.a b c <≤≤ （1）若c a b >+，则0,0c a b c b a ->>->>，从而得：()2222211,22c b a b c a bc bc--+-=+>()2222211,22c a b c a b ca ca --+-=+>()2222211,22a b c a b a ab ab +-+-=-<-所以2222222222223222b c a c a b a b c bc ca ab ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-+-++> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，与已知条件矛盾。

（2）若c a b <+，则0,0c a b c b a ≤-<≤-<，从而可得：()22222011,22c b a b c a bc bc --+-<=+<()22222011,22c a b c a b ca ca--+-<=+<()22222011,22a b c a b c ab ab --+-<=+<()2222211,22a b c a b aab ab+-+-=->-所以2222222222223222b c a c a b a b c bc ca ab ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-+-++< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，与已知条件矛盾。

综合（1）（2）可知：一定有.c a b =+于是可得2222222221,1,1222b c a c a b a b c bc ca ab+-+-+-===-所以2222222221.222b c a c a b a b c bc ca ab+-+-+-++=。