专题12 向量与圆锥曲线★★★高考在考什么【考题回放】1．点P(-3,1)在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左准线上.过点P 且方向为a =(2,-5)的光线,经直线y =-2反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为(A )( A )33 ( B ) 31 ( C ) 22 ( D ) 21 2．已知双曲线2212y x -=的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上且120,MF MF ⋅=则点M 到x 轴的距离为（C ）（A ）43 （B ）53（C 23 （D 33．设过点P (x ,y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A,B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若2BP PA =且1OQ AB =，则点P 的轨迹方程是（ D ）A ．22331(0,0)2x y x y +=>> B ．22331(0,0)2x y x y -=>> C ．22331(0,0)2x y x y -=>> D ．22331(0,0)2x y x y +=>>4．已知两点M （－2，0）、N （2，0），点P 为坐标平面内的动点，满足0=⋅+⋅MP MN ，则动点P （x ，y ）的轨迹方程为（ B ）（A ）x y 82= （B ）x y 82-= （C ）x y 42= （D ）x y 42-= 5．若曲线y 2＝|x |＋1与直线y ＝kx ＋b 没有公共点，则k 、b 分别应满足的条件是．0,(1,1)k b =∈- 6．已知两定点()()122,0,2,0F F -，满足条件212PF PF -=的点P 的轨迹是曲线E ，直线y=kx-1与曲线E 交于A,B 两点。

如果63AB =，且曲线E 上存在点C ，使OA OB mOC +=，求m 的值和∆ABC 的面积S 。

【专家解答】由双曲线的定义可知，曲线E 是以 ())122,0,2,0F F -为焦点的双曲线的左支，且2,1c a ==，易知1b =，故曲线E 的方程为()2210x y x -=< 设()()1122,,,A x y B x y ，由方程组2211y kx x y =-⎧⎨-=⎩消去y ，得()221220k x kx -+-= 又已知直线与双曲线左支交于两点,A B ，有()()222122122102810201201k k k k x x k x x k ⎧-≠⎪∆=+->⎪⎪⎪-⎨+=<⎪-⎪-⎪=>⎪-⎩解得1k <<- 又∵12AB x x =-===依题意得= 整理后得 422855250k k -+=∴257k =或254k = 但1k <<- ∴k=故直线AB 的方程为102x y ++= 设(),c c C x y ，由已知OA OB mOC +=，得()()()1122,,,c c x y x y mx my +=∴()1212,,c c x x y y x y m m ++⎛⎫=⎪⎝⎭，()0m ≠ 又12221k x x k +==--()21212222222811k y y k x x k k +=+-=-==--∴点8C m ⎫⎪⎪⎝⎭，将点C 的坐标代入曲线E 的方程，得2280641m m -=得4m =±，但当4m =-时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意∴4m =，C 点的坐标为()2，C 到AB13∴ABC ∆的面积1123S =⨯=★★★高考要考什么【考点透视】近几年平面向量与解析几何交汇试题考查方向为（1）考查学生对平面向量的概念、加减运算、坐标运算、数量积及学生对平面向量知识的简单运用，如向量共线、垂直、定比分点。

（2）考查学生把向量作为工具的运用能力，如求轨迹方程，圆锥曲线的定义，标准方程和几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系。

【热点透析】向量具有代数与几何形式的双重身份，故它是联系多项知识的媒介，成为中学数学知识的一个交汇点，数学高考重视能力立意，在知识网络的交汇点上设计试题，因此，解析几何与平面向量的融合交汇是今后高考命题改革的发展方向和创新的必然趋势。

要注意以平面向量作为工具，综合处理有关长度、角度、共线、平行、垂直、射影等问题以及圆锥曲线中的轨迹、范围、最值、定值、对称等典型问题。

★★★突破重难点【范例1】设双曲线12y x 22=-上两点A 、B ，AB 中点M （1，2）（1）求直线AB 方程；（2）如果线段AB 的垂直平分线与双曲线交于C 、D 两点，那么A 、B 、C 、D 是否共圆，为什么？解析：（1）法一：显然AB 斜率存在。

设AB ：y-2=k(x-1)由⎪⎩⎪⎨⎧=--+=12y x k 2kx y 22得(2-k 2)x 2-2k(2-k)x-k 2+4k-6=0当△>0时，设A （x 1,y 1），B （x 2,y 2），则221k 2)k 2(k 2x x --=+= ∴ k=1，满足△>0 ∴ 直线AB ：y=x+1法二：设A （x 1,y 1），B （x 2,y 2）， 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-12y x 12y x 22222121两式相减得(x 1-x 2)(x 1+x 2)=21(y 1-y 2)(y 1+y 2)∵ x 1≠x 2 ∴ 21212121y y )x x (2x x y y ++=-- ∴ 1212k AB =⨯=∴ AB ：y=x+1 代入12y x 22=-得△>0.（2）设A 、B 、C 、D 共圆于⊙M '，因AB 为弦，故M '在AB 垂直平分线即CD 上；又CD 为弦，故圆心M '为CD 中点。

因此只需证CD 中点M 满足|M 'A|=|M 'B|=|M 'C|=|M 'D|由⎪⎩⎪⎨⎧=-+=12y x 1x y 22得A （-1，0），B （3，4）. 又CD 方程：y=-x+3由⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=12y x 3x y 22得x 2+6x-11=0. 设C(x 3,y 3)，D(x 4,y 4)，CD 中点M '( x 0,y 0)则63x y ,32x x x 00430=+-=-=+=∴ M '（-3，6） ∴ |M 'C|=|M 'D|=21|CD|=102又|M 'A|=|M 'B|=102 ∴ |M 'A|=|M 'B|=|M 'C|=|M 'D| ∴ A 、B 、C 、D 在以CD 中点，M '（-3，6）为圆心，102为半径的圆上【点晴】第（1）小题中法一为韦达定理法，法二称为点差法，当涉及到弦的中点时，常用这两种途径处理。

在利用点差法时，必须检验条件△>0是否成立；第（2）小题此类探索性命题通常肯定满足条件的结论存在，然后求出该结论，并检验是否满足所有条件，本题应着重分析圆的几何性质，以定圆心和定半径这两定为中心。

充分分析平面图形的几何性质可以使解题思路更清晰，在复习中必须引起足够重视。

【文】在平面直角坐标系x O y 中，直线l 与抛物线y 2＝2x 相交于A 、B 两点．（1）求证：“如果直线l 过点T （3，0），那么→--OA →--⋅OB ＝3”是真命题；（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由． [解]（1）设过点T(3,0)的直线l 交抛物线y 2=2x 于点A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2). 当直线l 的钭率不存在时,直线l 的方程为x=3,此时,直线l 与抛物线相交于 点A(3,6)、B(3,－6). ∴⋅=3；当直线l 的钭率存在时,设直线l 的方程为(3)y k x =-，其中0k ≠，由22(3)y x y k x =⎧⎨=-⎩得 2122606ky y k y y --=⇒=- 又 ∵ 22112211,22x y x y ==，∴2121212121()34OA OB x x y y y y y y =+=+=，综上所述，命题“如果直线l 过点T(3,0)，那么OB OA ⋅=3”是真命题；(2)逆命题是：设直线l 交抛物线y 2=2x 于A 、B 两点,如果OB OA ⋅=3,那么该直线过点T(3,0).该命题是假命题.例如：取抛物线上的点A(2,2)，B(21,1)，此时OA OB =3,直线AB 的方程为：2(1)3y x =+，而T(3,0)不在直线AB 上；说明：由抛物线y 2=2x 上的点A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2) 满足⋅=3，可得y 1y 2=－6，或y 1y 2=2，如果y 1y 2=－6，可证得直线AB 过点(3,0)；如果y 1y 2=2，可证得直线AB 过点(－1,0),而不过点(3,0).【范例2】已知j i ,是x,y 轴正方向的单位向量，设a=j y i x +-)3(, b =j y i x++)3(,且满足b •i =|a |.求点P (x ,y )的轨迹.解：法一：2(3b i x i yi j x ⋅=++⋅=+∴x +=2y =，故点P 的轨迹是以(3,0)为焦点以x =法二：||cos ,b i b b i ⋅=<> 则b ⋅i表示b 在x 轴上的投影， 即点P到x =设F 1 (-3,0)，F 2(3,0)，所以点P 到定点F 2的距离与到定直线x =故点P 的轨迹是以(3,0)为焦点以x =【点晴】将向量问题坐标化进而数量化（法一）和将向量问题几何化（法二）是两种常用转化方法，应熟练掌握。

【文】已知j i ,是x,y 轴正方向的单位向量，设a=j y i x +-)3(, b =j y i x ++)3(,且满足|a |+|b |=4.(1) 求点P(x,y)的轨迹C 的方程.(2) 如果过点Q(0，m)且方向向量为c=(1,1) 的直线l 与点P 的轨迹交于A ，B 两点，当∆AOB 的面积取到最大值时，求m 的值。

解：(1) a =j y i x +-)3(,b =j y i x ++)3(,且|a |+|b|=4.∴点P(x,y)到点(3,0)，(-3,0)的距离这和为4，故点P 的轨迹方程为1422=+y x(2)设A(x 1，y 1),B(x 2，y 2)依题意直线AB 的方程为y=x+m .代入椭圆方程，得0448522=-++m mx x ，则1x +2x =-58m, 1x •2x =)1(254-m 因此，225221)5(m m d AB S AOB -==∆当225m m =-时，即m=210±时，1max =S【范例3】已知点A(22-，0)，B(2-，0)动点P 满足||||2⋅=⋅(1)若动点P 的轨迹记作曲线C 1，求曲线C 1的方程. (2)已知曲线C 1交y 轴正半轴于点Q ，过点D （0，32-）作斜率为k 的直线交曲线C 1于M 、N 点，求证：无论k 如何变化，以MN 为直径的圆过点Q.解：（1）设P(x ，y)，则有),22(y x += )0,2(= ),2(y x += ∵||||2⋅⋅=⋅ ∴22)2(2242y x x ++⋅⋅=+得4222=+y x（2）由12422=+y x 得Q (0，2) 设直线C 的方程为y=kx -32代入x 2+2y 2=4得 (1+2k 2) x 20932324=--kx 设M(x 1，y 1) N(x 2，y 2) )2,(),2,(2211-=-=y x QN y x QM∵221)1(324kkx x +=+ )21(932221k x x +-=⋅ 又∵)324(121-+=⋅kx x x QN QM )324(2-kx =212(1)x x k + 212232(1)42324242329()09129k k x x k +++=-=+ ∴⊥ ∴点Q 在以MN 为直径的圆上.【点晴】直接法求轨迹是最常见的方法，要注意运用；向量是将几何问题代数化的有力工具。