《 概率论与数理统计》练习题一一、判断正误，在括号内打√或×1．n X X X ,,,21 是取自总体),(2N 的样本，则ni iXnX 11服从)1,0(N 分布；2．设随机向量),(Y X 的联合分布函数为),(y x F ，其边缘分布函数)(x F X 是)0,(x F ；3．（√）设 ＜＜x x |， 20|＜x x A ， 31|＜x x B ，则B A 表示 10|＜＜x x ； 4．若事件A 与B 互斥，则A 与B 一定相互独立； 5．对于任意两个事件B A 、，必有 B A B A ；6．设A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 为“甲种产品滞销或乙种产品畅销”； 7．（√）B A 、为两个事件，则A B A AB ； 8．（√）已知随机变量X 与Y 相互独立，4)(,8)( Y D X D ，则4)( Y X D ；9．（√）设总体)1,(~ N X ， 1X ,2X ,3X 是来自于总体的样本，则321636161ˆX X X是 的无偏估计量；10．（√）回归分析可以帮助我们判断一个随机变量和另一个普通变量之间是否存在某种相关关系。

二、填空题1．设C B A 、、是3个随机事件，则事件“A 和B 都发生而C 不发生”用C B A 、、表示为C AB 2．设随机变量X 服从二项分布),(p n B ，则EXDXp 1: 3． ,,,0,1)(其他b x a a b x f 是 均匀 分布的密度函数；4．若事件C B A 、、相互独立，且25.0)( A P ，5.0)( B P ，4.0)( C P ，则)(C B A P =分布函数； 5．设随机变量X 的概率分布为则 a )()(Y D X D ； 6．设随机变量X 的概率分布为则12 X 的概率分布为222)(21x e7．若随机变量X 与Y 相互独立，2)(,)( Y E a X E ，则 )(XY E )()(y f x f Y X8．设1 与2 是未知参数 的两个 0.99 估计，且对任意的 满足)()(21 D D ，则称1 比2有效；9．设n X X X ,,,21 是从正态总体),(2 N 抽得的简单随机样本，已知202，现检验假设0 ：H ，则当222121)()(n n Y D X D时，0)( X n 服从)1,0(N ；10．在对总体参数的假设检验中，若给定显著性水平 （10 ），则犯第一类错误的概率是 .三、计算题1.已知随机事件A 的概率5.0)( A P ，事件B 的概率6.0)( B P ，条件概率8.0)|( A B P ，试求事件B A 的概率)(B A P 。

解：因为5.0)( A P ，8.0)|( A B P ，所以4.0)|()()( A B P A P AB P 。

进而可得7.0)()()()( AB P B P A P B A P 。

2.设随机变量),(~p n B ，且28.1)(,6.1)( X D X E ，试求n ，p 。

解：因为随机变量),(~p n B ，所以)1()(,)(p np X D np X E ，由此可得28.1)1(,6.1 p np np ，解得8 n ，2.0 p ；3.已知连续型随机变量)2,3(~ N X ，试求它的密度函数)(x f 。

解：4)23( X E4.已知一元线性回归直线方程为x a y4ˆˆ ，且3 x ，6 y ，试求a ˆ。

解：0，2；5.设总体X 的概率密度为,0,10,)1();(其它，x x x f 式中 >－1是未知参数，n X X X ,,,21 是来自总体X 的一个容量为n 的简单随机样本，用最大似然估计法求 的估计量。

解：0.8 ；6.设n X X X ,,,21 是取自正态总体),0(2 N 的一个样本，其中0 未知。

已知估计量ni i X k 122ˆ是2 的无偏估计量，试求常数k 。

解：)10ex p(101)(2z z f7. 设有10个零件，其中2个是次品，任取2个，试求至少有1个是正品的概率。

解：（1）由于12)(0dx e Adx Aedx x p x x即 2A =1，A =21，所以xe x p 21)(； （2）2121}10{110 e dx e X P x ；四、证明题1.设二维连续型随机向量),(Y X 的联合密度函数为其他。

，；，，010104),(y x xy y x f证明:X 与Y 相互独立。

2. 1．若事件A 与B 相互独立，则A 与B 也相互独立。

证明：由二维连续型随机向量),(Y X 的联合密度函数为其他。

，；，，010104),(y x xy y x f可得两个边缘密度函数分别为：其他。

，；，0102),()(x x dy y x f x f X其他。

，；，0102),()(y y dx y x f y f Y从而可得)()(),(y f x f y x f Y X ，所以X 与Y 相互独立。

2．若事件B A ，则)()(B P A P 。

《概率论与数理统计》练习题二一、判断正误，在括号内打√或×.1．若0)( AB P ，则AB 一定是空集； 2．对于任意两个事件B A 、，必有 B A B A ； 3．n X X X ,,,21 是取自总体),(2N 的样本，则ni iXnX 11服从),(2nN 分布；4．设 ＜＜x x |， 20|＜x x A ， 31|＜x x B ，则B A 表示 10|＜＜x x ； 5．若事件A 与B 互斥，则A 与B 一定相互独立； 6．（√）设甲、乙、丙人进行象棋比赛，考虑事件A ={甲胜乙负}，则A 为{甲负乙胜}； 7．（√）设C B A 、、表示3个事件，则C B A 表示“C B A 、、三个事件都不发生”； 8．若B A 、为两个事件，则必有A B A AB ；9．设随机变量X 和Y 的方差存在且不为零，若)()()(Y D X D Y X D 成立，则X 和Y 一定不相关；10. （√）设)1,(~ N X ，321,,X X X 来自于总体的样本，321515252ˆX X X是 的无偏估计量； 二、填空题4．对于随机变量X ，函数)()(x X P x F 称为X 的 0.73 ；5．设X 与Y 是两个相互独立的随机变量，)()(Y D X D 、分别为其方差，则 )(Y X D 3/20；6．若随机变量X 服从正态分布),(2 N ，则其概率密度函数)(x p =7．设),(y x f 是二维随机变量),(Y X 的联合密度函数,)(x f X 与)(y f Y 分别是关于X 与Y 的边缘概率密度,且X 与Y 相互独立,则有 ),(y x f a 2；8．对于随机变量X ，仅知其3)( X E ，251)(X D ，则由契比雪夫不等式可知 )2|3(|X P 无偏；9．设),(~),,(~222211 N Y N X ，X 与Y 相互独立，1,,,21n X X X 是X 的样本，2,,,21n Y Y Y 是Y 的样本，则 )(Y X D 0H 成立；10．n X X X ,,,21 是总体X 的简单随机样本的条件是：（1）n X X X ,,,21 相互独立；（2）n X X X ,,,21 与总体X 有相同的概率分布。

三、计算题3. 已知离散型随机变量X 服从参数为2的普阿松分布，即,2,1,0,!2)(2k k e k X P k …，试求随机变量23 X Z 的数学期望。

解：因为随机变量X 服从正态分布，所以它的密度函数具有如下形式：)(21)(222)(x ex f x；进而，将2,3代入上述表达式可得所求的密度函数为：)(x f )(214)3(2x ex；4.设连续型随机变量X 的密度函数为其他，，0,10,)(x b ax x f 且31)(X E ，试求常数a 和b 。

解：由4ˆ b可得6ˆˆ x b y a ； 5. 若随机变量X 在区间)6,1(上服从均匀分布，试求方程012Xy y 有实根的概率。

解：21)1();()(11dx x dx x xf X E 由矩估计法知，令X ＝＋＋21得参数 的矩估计量 ˆˆ112 XX －－＝。

6.已知随机变量)1,3(~ N X ，)1,2(~N Y ，且X 与Y 相互独立，设随机变量72 Y X Z ，试求Z 的密度函数。

解：n1。

7. 已知随机变量X 的概率密度为 x Ae x p x,)(，试求（1）常数A ；（2） 10 X P 。

解：十、证明题一个电子线路上电压表的读数X 服从[ , +1]上的均匀分布，其中 是该线路上电压的真值，但它是未知的，假设n X X X ,,,21 是此电压表上读数的一组样本，试证明：(1)样本均值X 不是 的无偏估计；(2)的矩估计是 的无偏估计。

设),,,(21n X X X 是取自总体),0(2N 的样本，试证明统计量 ni i X X n 12)(11是总体方差2 的无偏估计量。

证明：（1）由 )(X E ，知X 不是 的无偏估计；（2） 的矩估计为21X ，由21X E ，知它是 的无偏估计。