弹簧中的动力学问题
弹簧中的动力学问题
知识分析
两个物体之间用轻质弹簧连在一起，连接的弹簧或为原长，或已压缩而被锁定。
这样包括弹簧的系统与第三个物体相互作用（碰撞、子弹射入等）。
这是这类问题的典型物理情境。
首先应注意上述两种情况的区别：已完全压缩的弹簧没有缓冲作用，应将系统当作一个整体来处理；没压缩的弹簧有缓冲作用，只有碰撞的两个物体组成系统，与弹簧相连的另一端的物体没有参与。
此类问题还应注意：把相互作用的总过程划分为多个依次进行的子过程，分析确定哪些子过程机械能是守恒的，哪些子过程机械能不守恒。
还有一个常见的物理条件：当弹簧最长或最短（或弹簧中弹性势能最大）时，弹簧两端的物体速度相等。
典型例题
【例1】一物体从某一高度自由落下，落在直立于地面的轻弹簧上，如右
图所示。
在A点，物体开始与弹簧接触到B点时，物体速度为
零，然后被弹回。
下列说法中正确的是（）
A．物体从A下降到B的过程中，动能不断变小
B．物体从B上升到A的过程中，动能不断变大
C．物体从A下降到B，以及从B上升到A的过程中，速率都是
先增大，后减小
D．物体在B点时，所受合力为零
【例2】如图所示，坡道顶端距水平面高度为h，质量为m1的小物块A从坡道顶端由静止滑下，进入水平面上的滑道时无机械能损失，为使A制动，将轻弹簧的一端固定在水平滑道延长线M 处的墙上，另一端与质量为m2档板B相连，弹簧处于原长时，B恰位于滑道的末端O点。
A与B碰撞时间极短，碰后结合在一起共同压缩弹簧，已知在OM段A、B与水平面间的动摩擦因数均为μ，其余各处的摩擦不计，重力加速度为g，求：
（1）物块A在与挡板B碰撞前瞬间速度v的大小；
（2）弹簧最大压缩量为d时的弹性势能Ep（设弹簧处于原长时弹性势能为零）。
【例3】如图所示，木块B和木块C的质量分别为3/4M和M，固定在长为L，劲度系数为k的弹簧的两端，静止于光滑的水平面上。
一质量为1/4M的木块A以速度v水平向右与木块B对心碰撞并粘在一起运动，求弹簧达到最大压缩量时的弹性势能。
【例4】如图所示，光滑轨道上，小车A、B用轻弹簧连接，将弹簧压缩后用细绳系在A、B上。
然后使A、B以速度v0沿轨道向右运动，运动中细绳突然断开，当弹簧第一次恢复到自然长度时，A的速度刚好为0，已知A、B的质量分别为m A、m B，且m A<m B。
求：被压缩的弹簧具有的弹性势能Ep
针对训练
1．质量为m 的物块甲以3m/s 的速度在光滑水平面上运动，有一轻弹簧固定其上，另一质量也为m
的物体乙以4m/s 的速度与甲相向运动，如图所示。
则
（ ）
A ．甲、乙两物块在弹簧压缩过程中，由于弹力作用，
动量不守恒
B ．当两物块相距最近时，甲物块的速率为零
C ．当甲物块的速率为1m/s 时，乙物块的速率可能为2m/s ，也可能为0
D ．甲物块的速率可能达到5m/s
2．如图所示，在光滑的水平面上，物体B 静止，在物体B 上固定一个轻弹簧。
物体A 以某一速度沿
水平方向向右运动，通过弹簧与物体B 发生作用。
两物体的质量相等，作用过程中，弹簧获得的最大弹性热能为E P 。
现将B 的质量加倍，再使物体A 通过弹簧与物体B 发生作用（作用前物体B 仍静止），作用过程中，弹簧获得的最大弹性势能仍为E P 。
则在物体A 开始接触弹簧到弹簧具有最大弹性势能的过程中，第一次和第二次相比（ ）
A ．物体A 的初动能之比为2 : 1
B ．物体A 的初动能之比为4 : 3
C ．物体A 损失的动能之比为1 : 1
D ．物体A 损失的动能之比为27 : 32
3．如图所示的装置中，木块B 与水平桌面间的接触是光滑的，子弹A 沿水平方向射入木块后留在木
块内，将弹簧压缩到最短。
现将子弹、木块和弹簧合在一起作为研究对象（系统），则此系统在从子弹开始射入木块到弹簧压缩至最短的整个过程中（ ）
A ．动量守恒、机械能守恒
B ．动量不守恒、机械能不守恒
C ．动量守恒、机械能不守恒
D ．动量不守恒、机械能守恒
4．如图所示，一轻质弹簧固定在墙上，一个质量为m 的木块以速度v 0从右侧沿光滑水平面向左运动
并与弹簧发生相互作用。
设相互作用的过程中弹簧始终在弹性限度范围内，那么，在整个相互作用的过程中弹簧对木块冲量I 的大小和弹簧对木块做的功W 分别是（ ）
A ．I=0，W=mv 02
B ．I=mv 0，W=mv 02/2
C ．I=2mv 0，W=0
D ．I=2mv 0，W=mv 02/2
5．木块A、B分别重50 N和60 N，它们与水平地面之间的动磨擦因数均为0.25；夹在A、B轻弹簧被压缩了2cm，弹簧的经度系数为400N/m，系统置于地面上静止不动。
现用F=1 N的水平拉力作用在木块B上。
如图所示.力F作用后静止不动。
现用F=1 N的水平拉力作用在木块B上，如图所示力F作用后（）
A．木块A所受摩擦力大小是12.5 N
B．木块A所受摩擦力大小是11.5 N
D．木块B所受摩擦力大小是7 N
6．如图所示，一轻质弹簧竖直固定在地面上，自然长度为1m，上面连接一个质量为m1=1kg的物体，平衡时物体离地面0.9m。
距物体m1正上方高为0.3m处有一个质量为m2=1kg的物体自由下落后与弹簧上物体m1碰撞立即合为一体，一起在竖直面内做运动。
当弹簧压缩量最大时，弹簧长为
0.6m。
求（g取10m/s2）：
（1）碰撞结束瞬间两物体的动能之和是多少？
（2）弹簧长为0.6m时弹簧的弹性势能增加多少？
7．如图所示，在光滑水平长直轨道上，放着一个静止的弹簧振子，它由一轻弹簧两端各联结一个小球构成，两小球质量相等。
现突然给左端小球一个向右的速度μ0，求弹簧第一次恢复到自然长度
时，每个小球的速度。
右
课堂检测：
如图所示，半径分别为R 和r （R>r ）的甲乙两光滑圆轨道安置在同一竖直平面内，两轨道之间由一条光滑水平轨道CD 相连，在水平轨道CD 上一轻弹簧a 、b 被两小球夹住，同时释放两小球，a 、b 球恰好能通过各自的圆轨道的最高点，求：
（1）两小球的质量比.
（2）若m m m b a ==，要求a b 都能通过各自的最高点，弹簧释放前至少具有多少弹性势能。
参考答案
1、c
2、b
3、b
4、c 5 c
6、（1）1.5J （2）7.5J
7、解析：
（1）设每个小球质量为m ，以1u 、2u 分别表示弹簧恢复到自然长度时左右两端小球的速度. 由动量
守恒和能量守恒定律有 021mu mu mu =+（以向右为速度正方向） 2022212
12121mu mu mu =+ 解得021201,00,u u u u u u ====或
由于振子从初始状态到弹簧恢复到自然长度的过程中，弹簧一直是压缩状态，弹性力使左端小球
持续减速，使右端小球持续加速，因此应该取解：021,0u u u ==
课堂检测答案：
解.（1）a 、b 球恰好能通过各自的圆轨道的最高点的速度分别为gR v a =′ ①
gr v b =′ ②
由动量守恒定律b b a a v m v m =③
机械能守恒定律R g m v m v m a a a a a 221212+′= ④ r g m v m v m b b b b b 22
1212+′= ⑤ 联立①②③④⑤得 R
r v v m m a b b a ==
（2）若m m m b a ==，由动量守恒定律得v v v b a ==
当a 球恰好能通过圆轨道的最高点时，E 弹最小， mgR R mg mgR E 52)22
1(=×+=弹。