A． 2 例
5、（2020
届山东省潍坊市高三上期末）已知点
P
为双曲线 C
:
x2 a2
−
y2 b2
=1
a 0,b 0
右支上一点，
F1, F2 分别为 C 的左，右焦点，直线 PF1 与 C 的一条渐近线垂直，垂足为 H ，若 PF1 = 4 HF1 ，则该双曲
1
线的离心率为（ ）
A． 15 3
B． 21 3
C． 5 3
D． 7 3
例 6、（2020·浙江省温州市新力量联盟高三上期末）已知双曲线 x2 − y2 = 1的一条渐近线的倾斜角为 ，
a2 2
6
则双曲线的离心率为（ ）
A． 2 3 3
B． 2 6 3
C． 3
D． 2
题型二、求离心率的范围 求离心率的值关键是找到不等关系，解出 a 与 c 的关系，进而求出离心率的范围。常见的等式关系主要
C：x a
2 2
+
y2 b2
= 1 的左、右焦点 F1，F2 分别作斜率为 2
2 的直线交椭圆 C
上半部分于 A，B 两点，记△AOF1，△BOF2 的面积分别为 S1，S2，若 S1：S2＝7：5，则椭圆 C 离心率为_____．
10、（2020
届浙江省高中发展共同体高三上期末）已知椭圆
x2 a2
10，
则双曲线的离心率为
（）
A． 3 5
B． 4 5
C． 5 4
D． 5 3
6、（2020
届浙江省杭州市高三
3
月模拟）已知双曲线 C
：
y2 a2
−
x2 b2
=1（a
0, b
0 ）的渐近线方程为
y = 1 x ，则双曲线 C 的离心率为（ ） 2
A． 5 2
B． 5
C． 6 2
D． 6
7、（2020 届浙江省嘉兴市高三 5 月模拟）分别将椭圆 C1 的长轴、短轴和双曲线 C3 的实轴、虚轴都增加 m 个
x2 a2
+
y2 b2
= 1(a
b
0)
的右焦点为 F ， P 为右准线上一点．点 Q 在椭圆上，且 FQ ⊥ FP ．
（1）若椭圆的离心率为 1 ，短轴长为 2 3 ．
2 ① 求椭圆的方程；
（2）若在 x 轴上方存在 P，Q 两点，使 O，F，P，Q
四点共圆，求椭圆离心率的取值范围．
2
例 9、(2017 扬州期末）如图，椭圆 C：xa22＋yb22＝1(a＞b＞0)，圆 O：x2＋y2＝b2，过椭圆 C 的上顶点 A 的直 线 l：y＝kx＋b 分别交圆 O、椭圆 C 于不同的两点 P，Q，设A→P＝λP→Q.
有：1、若椭圆上的点，则根据范围分布找到横坐标或者纵坐标的范围；2、若是椭圆上的点，则研究此点 到焦点的范围；要特别注意离心率的范围。
例 7、（2020 届浙江省温丽联盟高三第一次联考）已知双曲线 C :
x2 a2
−
y2 b2
=1
(a 0, b 0) 的左、右焦点
分别为
F1
(－c，0) ，
F2
(c，0)
4
单位长度（ m 0 ），得到椭圆 C2 和双曲线 C4 ．记椭圆 C1, C2 和双曲线 C3,C4 的离心率分别是 e1, e2, e3, e4 ，
则（ ）
A． e1 e2 ， e3 e4
B． e1 e2 ， e3 与 e4 的大小关系不确定
C． e1 e2 ， e3 e4
D． e1 e2 ， e3 与 e4 的大小关系不确定
5 2
，则其渐近线方
程为（ ）
A． 2x 3y = 0
B． 3x 2 y = 0
C． x 2 y = 0
D． 2x 3y = 0
2、（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）双曲线 C
：
x2 a2
−
y2 b2
= 1( a
0, b
0) 的左、右焦点分别为
F1 (−2, 0) 、 F2 (2, 0) ， M 是 C 右支上的一点， MF1 与 y 轴交于点 P ， MPF2 的内切圆在边 PF2 上的切
A． 3 3
B． 2 3 3
C． 3
D． 4 3 3
( ) 例
4、（2020 届山东省德州市高三上期末）双曲线
x2 a2
−
y2 b2
=1（a
0 ， b 0 ）的右焦点为 F1
2
2,0
，
点 A 的坐标为 (0,1) ，点 P 为双曲线左支上的动点，且 APF1周长的最小值为 8，则双曲线的离心率为（ ）
+
y2 b2
= 1( a
b
0) 的内接 ABC 的顶点 B
为短轴的一个端点，右焦点 F ，线段 AB 中点为 K ，且 CF = 2FK ，则椭圆离心率的取值范围是
___________.
5
点为 Q ，若 PQ = 2 ，则 C 的离心率为____.
3、（2020 届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知
F 为双曲线 C :
x2 a2
−
y2 b2
=1
(a
0,b
0) 的右焦点，过
F 作 C 的渐近线的垂线 FD，D 为垂足，且| FD |= 3 | OF |（O 为坐标原点），则 C 的离心率为________. 2
(1) 若点 P 的坐标为1，32，且△PQF2 的周长为 8，求椭圆 C 的方程； (2) 若 PF2 垂直于 x 轴，且椭圆 C 的离心率 e∈12， 22，求实数 λ 的取值范围．
3
达标训练
1、（2020 届山东省烟台市高三上期末）若双曲线 x2 a2
− y2 b2
= 1(a 0,b 0) 的离心率为
(1) 若点 P(－3,0)，点 Q(－4，－1)，求椭圆 C 的方程； (2) 若 λ＝3，求椭圆 C 的离心率 e 的取值范围．
题型三、 由离心率求参数的范围 由离心率求参数的范围关键是找到离心率与参数之间的关系，然后根据离心率的范围求出参数的范围。
例 10、(2017 南京学情调研）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C：ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的左、右焦点 分别为 F1，F2，P 为椭圆上一点(在 x 轴上方)，连结 PF1 并延长交椭圆于另一点 Q，设P→F1＝λF→1Q.
F 为双曲线
C：
x2 a2
−
y2 b2
= 1(a
0,b
0) 的右焦点， O 为坐标原点，
以 OF 为直径的圆与圆 x2 + y2 = a2 交于 P，Q 两点．若 PQ = OF ，则 C 的离心率为
A． 2
B． 3
C．2
D． 5
例
2、（2020
届山东省泰安市高三上期末）已知圆 C :
x2
+
y2
−10y + 21 =
0 与双曲线
x2 a2
−
y2 b2
= 1(a
0,b
0)
的渐近线相切，则该双曲线的离心率是（ ）
A． 2
B． 5 3
C． 5 2
D． 5
例
3、（2020
届山东省九校高三上学期联考）已知直线 l1 ， l2 为双曲线 M
：
x2 a2
−
y2 b2
= 1( a
0, b
0) 的两
( ) 条渐近线，若 l1 ， l2 与圆 N ： x - 2 2 + y2 =1 相切，双曲线 M 离心率的值为（ ）
圆锥曲线中的离心率的问题
一、题型选讲 题型一 、求离心率的值
求离心率的值关键是找到等式关系，解出 a 与 c 的关系，进而求出离心率。常见的等式关系主要有：1、 题目中给出等式关系；2、通过几何关系如垂直或者夹角的关系得出等式关系；3、挖掘题目中的等式关系。
例 1、【2019 年高考全国Ⅱ卷理数】设
，点
N
的坐标为
−c,
3b2 2a
．若双曲线 C
左支上的任意一点
M
均满足
MF2 + MN 4b ，则双曲线 C 的离心率的取值范围为( )
A．
13 , 3
5
B． ( 5, 13)
C． 1,
13 3
( 5, +)
D． (1, 5) ( 13, +)
例
8、(2018
苏中三市、苏北四市三调）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆
8、（2020 届浙江省嘉兴市
3 月模拟）已知椭圆
x2 a2
+
y2 b2
= 1( a
b
0) 的左、右焦点分别是 F1 ， F2 ，点
A
是椭圆上位于 x 轴上方的一点，若直线 AF1 的斜率为 4 2 ，且 AF1 = F1F2 ，则椭圆的离心率为________． 7
9、（2020·浙江高三）如图，过椭圆
4、（2020
届浙江省宁波市鄞州中学高三下期初）已知双曲线
x2 a2
−
y2 b2
= 1( a
0,b 0) 的一条渐近线为
y = 1 x ，则离心率为（ ） 2
A． 5 2
B． 5
C． 5 或 5
2
D． 3
5、（2020
届浙江省杭州市第二中学高三
3
月月考）设双曲线
x2 a2
-
y2 9
=（1 a
0）的两焦点之间的距离为