专题一数学客观题的解题方法与技巧专题一I 选择题的解法高考数学试题中,选择题注重多个知识点的小型综合,渗透各种数学思想和方法,体现以考查“三基”为重点的导向,能否在选择题上获取高分,对高考数学成绩影响重大.解答选择题的基本要求是四个字—准确、迅速.选择题主要考查基础知识的理解、基本技能的熟练、基本计算的准确、基本方法的运用、考虑问题的严谨、解题速度的快捷等方面.选择题具有题小、量大、基础、快捷、灵活的特点,是高考中的重点题型.在高考试卷中数量最大,占分比例高.全国卷的选择题占60分.因此,正确的解好选择题已成为高考中夺取高分的必要条件.选择题从难度上讲是比其他类型题目降低了,但知识覆盖面广,要求解题熟练、准确、灵活、快捷.应“多一点想的,少一点算的”,该算不算,巧判断.因而,在解答时应该突出一个“选”字,尽量减少书写解答过程.在对照选项的同时,多方考虑间接解法,依据题目的具体特点,灵活、巧妙、快速的选择巧法,以便快速智取.选择题的巧解说到底就是要充分利用选项提供的信息,发挥选项的作用.能力稍差的学生解选择题仅仅顾及题干,然后像解答题那样解下去,选项只取了核对的作用.本来像选择题这样的小题应当“小题小作”,但却做成了解答题.至少做成了填空题.这样就“小题大作”了,导致后面的解答题没有充裕的时间思考,这是不划算的.由于选择题结构特殊,不要求反映过程,再加上解答方式没有固定的模式,灵活多变,具有极大的灵活性.选择题的解题思想,渊源于选择题与常规题的联系与区别,它在一定程度上还保留着常规题的某些痕迹;而另一方面,选择题在结构上具有自己的特点,即至少有一个答案是正确的或合适的.因此,可充分利用题目提供的信息,排除迷惑支的干扰,正确、合理、迅速地从选择支中选出正确支;选择题中的错误支具有双重性,既有干扰的一面,也有可利用的一面.只有通过认真的观察、分析和思考才能揭露其潜在的暗示作用,从而从反面提供信息,迅速做出判断. 1．选择题的解题策略解题的基本策略是：充分地利用题干和选择支的两方面条件所提供的信息作出判断.先定性后定量,先特殊后推理;先间接后直解,先排除后求解.一般地,解答选择题的策略是：①熟练掌握各种基本题型的一般解法;②结合高考单项选择题的结构（由“四选一”的指令、题干和选择项所构成）和不要求书写解题过程的特点,灵活运用特例法、筛选法、图解法等选择题的常用解法与技巧;③挖掘题目“个性”,寻求简便解法,充分利用选择支的暗示作用,迅速地作出正确的选择.据有关专家测试：选择题在作出正确选择的前题下,正常解答时间应在100秒以内,其中20秒审题、30秒理顺关系、30秒推理运算、20秒验证选项.因为能力有大小不等、题目有难易各异、基础有好差之分,所以仅仅从时间上,来加以规范,也许会略显“机械”.但为防止“省时出错”、“超时失分”现象的发生,定时、定量、定性地加以训练还是有必要的.2．常用的解题方法数学选择题每次试题多、考查面广,不仅要求考生有正确的分辨能力,还要有较快的解题速度,为此,需要研究解答选择题的一些技巧.总的来说,选择题属小题,解题的原则是：“小题巧解,小题不能大做”.常见的解题方法有：方法一直接法要想从所给的选择支中直接挑选出正确的答案,除了对数学的基本概念,基本法则基本熟悉外,还必须具备一定的解题经验.涉及数学定理,定义,法则,公式的应用的问题,通常通过直接演算得出结果.与选择支比较,做出选择,称之为直接法,是解选择题的常用方法.例1(2013课标全国Ⅰ，理8)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()．A．16＋8π B．8＋8πC．16＋16π D．8＋16π例2 (2013·全国II,理5)已知5++（）的展开式中2x的系数为5,则a=（）ax x1(1)A．-4B．-3C．-2D．-1直接法是解答选择题最常用的基本方法，直接法适用的范围很广．一般来说，涉及概念、性质的辨析或运算比较简单的题多采用直接法．只要运算正确必能得出正确的答案．提高直接法解选择题的能力，准确地把握题目的特点，用简便方法巧解选择题，是建立在扎实掌握“三基”的基础上的，在稳的前提下求快，一味求快则会快中出错．方法二 排除法(筛选法)有时,我们面临的问题不易从正面入手直接挑选出正确的答案,那么可以从反面入手,因为选择题的正确答案已在选择支中列出,从而逐一考虑所有选择支,排除错误的,则剩下的就是正确答案.排除法亦称为筛选法.其实质是充分应用选择支中单选题的特征,即有且仅有一个正确选项这一信息,通过分析、推理、计算、判断,逐一排除错误支,最终选出正确支的解法.其一般规律是：①对于干扰支易淘汰的选择题,可采用排除法,能剔除几个就先剔除几个.②允许使用题干中的部分条件淘汰选择支.③如果选择支中存在等效命题,根据规定——答案唯一,等效命题应该同时排除.④如果选择支中存在两个相反的或互不相容的判断,那么其中至少有一个是假的.⑤如果选择支之间存在包含关系,必须根据题意才能判断.例1 (2013·广东,理7)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点30F （，）,离心率等于32,则C 的方程是（ ）A. 22145x y -= B ．22145x y -= C. 22125x y -= D ．22125x y -=例2 (2013·山东,理9)过点31（，）作圆22-11x y +=（）的两条切线,切点分别为A B ，,则直线AB 的方程为（ ）A ．230x y +-= B. 2-30x y -= C. 4-30x y -= D. 430x y +-=排除法适用于定性型或不易直接求解的选择题．当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的，予以否定，再根据另一些条件在缩小选项的范围内找出矛盾，这样逐步筛选，直到得出正确的答案．它与特例法、图解法等结合使用是解选择题的常用方法，在近几年高考选择题中占有很大的比重．方法三 数形结合法“数缺形时少直观,形少数时难入微”.对于一些具有几何背景的数学题,若能构造出相应的图形进行分析,则能在数形结合,以形助数中获得形象直观的解法,但要注意使用数形结合时一定要能准确的做出图形.根据题设条件作出所研究问题的曲线或有关图形或草图,借助几何图形的直观性、形状、位置、性质等图象特征作出正确的判断,得出结论．这种方法通过“以形助数”或“以数辅形”,使抽象问题直观化、复杂问题简单化．例1 (2013·课标全国卷Ⅰ,理11)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln （x ＋1），x >0.若|f (x )|≥ax ,则a 的取值范围是( )A ．(－∞,0]B ．(－∞,1]C ．[－2,1]D ．[－2,0]例 2 (2013·湖南,理6)已知,a b 是单位向量,=0a b ⋅.若向量c 满足||1c a b --=,则||c 的取值范围是（ ）A ．[2-12+1]， B. [2-12+2]， C. [12+1]， D. [12+2]，本题考查函数图象的应用，解题的关键是将零点问题转化为两图象的交点问题，然后画出函数的图象找出零点再来求和．严格地说，图解法并非属于选择题解题思路范畴，但它在解有关选择题时非常简便有效．运用图解法解题一定要对有关函数的图象、方程曲线、几何图形较熟悉．图解法实际上是一种数形结合的解题策略．方法四 特殊分析法对于具有一般性的数学问题,如果在解答过程中感觉到“进”有困难或无路可“进”时,不妨从一般性的问题退到特殊性的问题上来,将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊情况,利用问题在某一特殊情况下不真,则它在一般情况下不真这一原理,达到肯定一支或否定三支的目的.一般为：特值法（角）、特殊函数、特殊数列、特殊图形、特殊模型…… 1. 特殊值（角）法（赋值法）例1 (2013·重庆,理6)若a b c <<,则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--的两个零点分别位于区间（ ）A ．,a b （）和,b c （）内 B. -a ∞（，）和,a b （）内 C. ,b c （）和,c +∞（）内 D. -a ∞（，）和,c +∞（）内 例2 (2013·湖北,理5)已知0<<4πθ,则双曲线221221cos sin x y C θθ-=：与2222221sin sin tan y x C θθθ-=：的（ ） A ．实轴长相等 B. 虚轴长相等 C. 焦距相等 D. 离心率相等2. 特殊函数例 1 (重庆高考)若定义在R 上的函数()f x 满足：对任意的12,x x R ∈,有1212()()()1f x x f x f x +=++,则下列说法一定正确的是（ ）A ．()f x 为奇函数 B. ()f x 为偶函数 C. ()+1f x 为奇函数 D. ()+1f x 为偶函数例2 (银川模拟)定义在0)2π（，上的函数()f x ,其导函数是'()f x ,且恒有'()()tan f x f x x <⋅成立,则（ ）A ．()()63f ππ> B. ()()63f ππ< C.()()63f ππ> D.()()63f ππ<3. 特殊数列例1 已知等差数列{}n a 的公差0d ≠,且139,,a a a 成等比数列,则1392410a a a a a a ++++=（ ）A ．914 B. 1115 C. 1316 D. 1517例 2 (2013·新课标全国卷I,理12)设n n n A B C ∆的三边长分别为,,n n n a b c ,n n n A B C ∆的面积为,1,2,3,n S n =.若11111111,2,,,22n n n n n n n n a c a bb c b c a a a b c +++++>+====,则（ ） A ．{}n S 为递减数列 B. {}n S 为递增数列C. 2-1{}n S 为递增数列,2{}n S 为递减数列D. 2-1{}n S 为递减数列,2{}n S 为递增数列4. 特殊位置（点）例 1 设椭圆22143x y C +=：的长轴的两端点分别是,,M N P 是C 上异与,M N 的任意一点，则PM 与PN 的斜率之积等于（ ） A ．34 B. 34- C. 43 D. 43-例2 过抛物线2(0)y ax a =>的焦点F 作一直线交抛物线于,P Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别为,p q ，则11p q+等于（ ） A ．2a B. 12a C. 4a D. 4a5. 特殊方程例1 (2013·北京,理6)若双曲线22221x y a b -=,则其渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B. y =C. 12y x =±D. y x =例2 若椭圆22111221110x y C a b a b +=>>：（）和椭圆22222222210x y C a b a b +=>>：（）的焦点相同且12a a >. 给出如下四个结论：①椭圆1C 和椭圆1C 一定没有公共点; ②1122a b a b > ; ③22221212a a b b -=-;④1212a a b b -<-;其中,所有正确结论的序号是（ ）A ．①③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④6. 特殊图形例1 在ABC ∆中,23=120tan tan 3C A B ∠+=，,则有tan tan A B 的值为（ ） A ．14 B. 13 C. 12 D. 53例 2 (2013·全国II,理4)已知,m n 为异面直线,m ⊥平面α,n ⊥平面β.直线l 满足,,,l m l n l l αβ⊥⊥⊄⊄,则（ ）A ．//αβ且//l α B. αβ⊥且l α⊥C.αβ与相交且交线垂直于lD. αβ与相交且交线平行于l特例法具有简化运算和推理的功效，比较适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题，但用特例法解选择题时，要注意以下两点： 第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理；第二，若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解．方法五 推理分析法推理分析法就是对有关概念进行全面、正确、深刻的理解或对有关信息提取、分析和加工后而做出判断和选择的方法.包含：①特征分析法：根据题目所提供的信息,如数字特征、结构特征、位置特征等进行快速推理,迅速作出判断的方法;②逻辑分析法：通过对四个选项之间的逻辑关系的分析,达到否定谬误项,选出正确项的方法.1. 特征分析法例 1 (2013·江西,理9) 过点）引直线l 曲线y =A B ，两点,O 为坐标原点,当AOB ∆的面积取最大值时,直线l 的斜率等于（ ）A ． B. - C. D.例2 (2013·陕西,理5) 如图,在矩形区域ABCD 的A ,C 两点处各有一个通信基站,假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源,基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点,则该地点无．信号的概率是( )． A ．1-4π B.12π- C. 2-2π D. 4π2. 逻辑分析法例1 (2013·天津,理6)在ABC ∆中,,34ABC AB BC π∠===,则sin BAC ∠=（ ）A ．10 B. 5 C. 10 D. 5例 2 (2012·山东质检)直线 0x y m -+=与圆22210x y x +--=有两个不同交点的一个充分不必要条件（ ）A ．31m -<< B. 42m -<< C. 01m << D. 1m <方法六 验证法验证法是将各选择支或特值逐一代入题干进行验证,看是否合适,然后确定符合要求的选择支.当题干提供的信息量太少,或者结论是一些具体的计算数字时,用这种方法是较为简便的. 例 1 (2013·全国新课标卷II,理11)设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ,点M 在C 上,||5MF =.若以MF 为直径的圆过点（0,2）,则C 的方程为（ ） A ．24y x =或28y x = B. 22y x =或28y x = C. 24y x =或216y x = D. 22y x =或216y x =例 2 (2013·全国新课标卷I,理9)设m 为正整数,2m x y +（）展开式的二项式系数的最大值为a ,2+1m x y +（）展开式的二项式系数的最大值为b ,若137a b =,则m =（ ）A ．5 B. 6 C. 7 D. 8方法七 估算法估算法：有些问题,由于条件限制,无法（有时也没有必要）进行精确的运算和判断,而只能依赖于估算.所谓估算,实质上是一种快速的近视计算,它的基本特点是对数值作适当的扩大或缩小,从而对运算结果确定一个范围,或作出一个估计.在解答选择题时,四个选项以及四个选项中只有一个是符合题目要求的都是解题的重要信息．逆向思维策略是把四个选项作为首先考虑的信息,解题时,盯住选项,着重通过对选项的分析、推断、验证进行否定或肯定,或者根据选项之间的关系进行逻辑分析和筛选,找到所要选择的符合题目要求的选项．例1 已知过球面上A 、B 、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半,且AB ＝BC ＝CA ＝2,则球面面积是( ) A ．169πB ．83πC ．4πD ．649π例2 在区间[02]，上随机取两个数,x y ,则02xy ≤≤的概率是（ ）A ．1ln 22- B. 32ln 24- C. 1+ln 22 D. 1+2ln 22方法八 割补法“能割善补”是解决几何问题常用的方法,巧妙地利用割补法,可以将不规则的图形转化为规则的图形,这样可以使问题得到简化,从而缩短解题长度.例1 一个四面体的所有棱长都为2,四个项点在同一球面上,则此球的表面积为（ ）A. 3πB. 4π C . 3π3 D. 6π例 2 (2013·辽宁,理10)已知直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上,若13,4,,12AB AC AB AC AA ==⊥=,则球O 的半径为（ ） A．B. C. 132D.方法九 极限法当一个变量无限接近一个定量,则变量可看作此定量,这种思想方法叫极限思想.它实际上是特值法的延伸,将研究的对象或过程引向极端状态分析,使因果关系变得明显,从而使问题得以解决.从有限到无限,从近似到精确,从量变到质变.应用极限思想解决某些问题,可以避开抽象、D C B A复杂的运算,降低解题难度,优化解题过程.例1 若0,sin cos ,sin cos 4a b παβααββ<<<+=+=,则（ ） A ．a b < B. a b > C. 1ab < D. 2ab >例2 (2013·全国新课标卷II,理12)已知点(1,0),(1,0),(0,1)A B C -,直线(0)y ax b a =+>将ABC ∆分为面积相等的两部分,则b 的取值范围是（ ）A ．01（，）B. 122（1-,）C. 1]23（1-,D. 11[32,）小结：选择题的题型多样,内容广泛,解法灵活,同一个题可以用不同的解法或需多种方法综合求解.另外还有其他方法,如：结论法、探索法、介值比较法等.但要注意以下几个问题：①解题时首先考虑间接法,不要一味采用直接法;②在间接法中应该首先考虑排除法,即使不能全部将干扰支除掉,至少可排除一部分,从而简化剩余部分的选择程序;③题干或选择支中若有式子是轮换对称式或由甲推出乙的关系式,则应考虑是否有等价命题;④排除法常与验证法,特例法联合应用,兼顾数形结合法,往往事半功倍;⑤从题目的定量结构中进行定性分析,将定量问题转化为定性问题分析,可使判断过程简化,对于条件较复杂的用分析法结合排除法较好.。