函数的值域与最值
一、基础知识回顾
1. 已知{}{}
12|,log |2+====x
y y B x y x A ，则()
∞+=
⋂，1B A
2.下列函数的值域为()+∞,0的有 4 个
（1）1212+-=x x y （2）21
-=x y （3）x
y ⎪⎭
⎫ ⎝⎛=21（4）x
y 2log 2=（5）x x y sin 1sin +=（6）x y tan =
3.求函数212++-=x x y ）（值域为⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡230，
11222++-+=x x x x y ）（的值域为⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡135-，
4.已知：)0)(3sin()(>+
=w wx x f π
在]2,0[上恰有一个最大值1和最小值-1，则w 的取值范围是⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡12
13127π
π， 5.已知：x,y 为实数，022
2
=-+x y x ，则2
2
2x y s +=的值域为 [0,4] 6.关于x 的方程02
7
2cos 21cos 4=-+-
m x x 有实数解，则m 的取值范围是 [0,8] 7.已知函数f(x)=sinx,g(x)=cosx,直线x=m 与f(x),g(x)的图象分别交于 M ，N 两点，则MN 长度的最大值为2 8.函数x y 2
1log =的定义域为[a,b],值域为[0，2]，则b-a 的最小值是
4
3
9.若函数()10,4log ≠>⎪⎭
⎫
⎝⎛-+
=a a x a x y a 且的值域为R ，则a 的范围是()(]4110，，Y 10.在△ABC 中，若2B=A+C,则y=cosA+cosC 的值域为⎥⎦
⎤ ⎝⎛121，
二．例题精讲
例1.求下列函数的值域
2sin 11+=
x y ）（ 2sin 1sin )2(+-=x x y )80sin()20sin()3(ο
ο+++=x x y
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡131， [-2,0] []
33-， )32lg()4(2--=x x y x y sin lg 2)5(= 3sin 2sin )6(2--=x x y
R (0,1] {0}
)1)(cos 1(sin )7(++=x x y [)()3,11,01
2
2)8(2⋃∈-+-=
x x x x y 且 ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+22230， (][)+∞-∞-,22,Y
例2．⎪⎭
⎫ ⎝⎛≤≤-+=
204sin 2cos 21)(πx a x a x x f （1） 用a 表示f(x)的最大值M(a)
（2） 当M(a)=2时，求a 的值
解：（1）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧
-
<<+-≤+-=214320,21414
1
0,214)(2a a a a a a a M
（2）a=-6或a=3
10
例3.若不等式012
≥++ax x 对任意⎥⎦
⎤ ⎝
⎛∈2
1,0x 成立，求a 的最小值
解：令1)(2
++=ax x x f
1).0)0()(002
min >=><-
f x f a a
时，即,可取 2). 01,0)2()(012120min ≤≤-≥-=≤≤-≤-≤a a
f x f a a 时，即
3). 12
5
,0)21()(1212min -<≤-≥=-<>-a f x f a a 时，即
综上所述，2
5
-≥a
例4.已知]4,1[,log 1)(2∈+=x x x f 求函数)()]([2
2
x f x f y +=的值域 解：令∴≤≤⎩
⎨
⎧≤≤-≤≤-=21111
1,log 2
2x x x x t 得由10≤≤t 10,24)21()1(22≤≤++=+++=t t t t t y 72≤≤∴y 故值域为[2，7]
例5.已知y=f(x)的定义域为R 上的奇函数，且x ≥0时，2
2)(x x x f -= (1)求y=f(x)的解析式
(2)是否存在这样的正数m,n ，当x ∈[m,n]时，g(x)=f(x),且g(x)的值域为⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡m n 1,1？若存在，求m,n 的值； 若不存在，请说明理由
解：（1）⎩⎨⎧≥-<+=0
,20
,2)(2
2x x x x x x x f （2）假设存在满足条件的m,n 则g(x)= )(111
10122
x g m n m
n x x ∴≥>∴≤<<
∴≤-在[m,n]上单调减 251,112)(12)(22
+==∴⎪⎩
⎪⎨
⎧=-==-=∴n m n n n n g m m m m g 故存在满足条件的m,n ，251,1+==n m
三．巩固练习
1.函数2
11
3x y -=的值域为()[)∞+，，310Y
2. 函数（1）x x
y cos 2sin +=
的值域为⎥⎦
⎤⎢⎣⎡3333-，
（2）x x y sin sin +=的值域为 [-2,2]
（3）)75sin(5)15sin(3ο
ο
+++=x x y 的值域为 [-7,7] 3.函数()10)(≠>=a a a x f x
且在[1,2]中最大值比最小值大
2a ，则a 的值为2
3
21或 4.如果a x x x f ++=2
)(在[-1,1]上的最大值是2，那么f(x) 在[-1,1]上的最小值是4
1
-
5.若x y a log =在[)+∞∈,2x 时，恒有1>y ，则a 的取值范围是()2,11,21Y ⎪⎭
⎫ ⎝⎛
6.已知：α，β是方程02
=++k kx x 的两根，则2
2
βα+=s 的值域为[)+∞,0
7.已知αβαsin 2sin 2sin 322=+，则βα2
2sin sin +=s 的值域为⎥⎦
⎤⎢⎣⎡49,0
8.已知函数]4
,0[,22sin 32cos π
∈++--=x b a x a x a y ，若函数值域为[-5，1]，
则a= -6,b=1 或a=6,b=-5
二．解答题
1.设△ABC 的内角A,B,C 所对的边长分别为a,b,c ，且acosB-bcosA=5
3c (1)求
B
A
tan tan 的值 (2)求tan(A-B)的最大值 解：（1）B
A
tan tan =4
（2）令tanA=4t,tanB=t,t>0,则tan(A-B)=43
1434132
≥+=+t t t t ,故tan(A-B)最大值为43 2.已知函数[)+∞∈++=
,1,2)(2x x
a
x x x f (1)当2
1
=
a 时，求f(x)的最小值 (2)若对任意[)+∞∈,1x ，f(x)>0恒成立，求a 的取值范围 解：（1）f(x)的最小值是
2
7
（2）分1,10,0,0≥<<=<a a a a 四种情况讨论3>∴a
3.已知函数2
1
4sin sin 2+-+-=a x a x y 的最大值为2，求a 的值 解：令t=sinx,11≤≤-t 则2
1
42
+-
+-=a at t y ,11≤≤-t 无解
时，即时，即时，即a a a y a a a a y a a a a y a a ,22
1
414122121).33
10,22143212).22,221
45212).12max max max =+-=<<-<<-==-=≥≥-==--=-≤-≤ 综上，2-=a 或3
10
=
a
4.二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1 （1）求f(x)的解析式
（2）若在区间[-1,1]上，y=f(x)的图象恒在y=2x+m 的图象上方，求m 的范围 解：（1）1)(2
+-=x x x f
（2）令上恒成立在]1,1[02)()(->--=m x x f x g
上恒成立在]1,1[132-+-<∴x x m <∴m -1
5.已知：函数)1(52)(2
>+-=a ax x x f
（1）若f(x)的定义域和值域均是[1,a],求实数a 的值
（2）若f(x)在区间(]2-，
∞上是减函数,且对任意的]1,1[,21+∈a x x ,总有)()(21x f x f - ≤4,求a 的取值范围 解：（1）)1(52)(2
>+-=a ax x x f 在[1,a]上单调减，2=∴a
（2）)1(52)(2
>+-=a ax x x f Θ在(]2-，
∞上单调减，2≥∴a 2min max 5)()(,26)1()(a a f x f a f x f -==-== Θ对任意的]1,1[,21+∈a x x ，总有)()(21x f x f - ≤4
)5(26)()(2min max a a x f x f ---=-∴≤4
31≤≤-∴a 32≤≤∴a。