函数的最值与值域
求函数值域的基本方法：①直接法；②分离变量法；③⊿判别式法；④换元法；⑤利用函数的单调性；⑥不等式法；⑦导数法 (高二年级学习)
[)(][]
0,3,1)()8(3131)7(135)6(;21)5(;3421)4(|;2||1|)()3(;2,11,2,123)()2(;123)()1(.
)(22-∈-+=+-=-+-=+-=+-=-++=---∈+-=+-=x x x x f y x x y x x y x x y x x x f x x x x f x x x f x
x
值与值域小求下列函数的最大例1
二.拓展问题
(一)基于对钩函数) 1.x x x y 122++=; 2. )21(,1
122<<-++=x x x x y ; 3.)31(,632<<++=x x x x y
4. 的最小值在求),2[)0(+∞∈>+
x a x a x
5. 的最小值求44422+++
+x a x
6．P 、Q 、M 、N 四点都在椭圆2
212y x +=上，F 为椭圆在y 轴正半轴上的焦点．已知PF 与FQ 共线，MF 与FN 共线，且0PF MF ⋅= ．求四边形PMQN 的面积的最小值和最大值．答案：1629
S ≤<
(二)基于二次函数
1．函数)43lg()(2x x x f +-=的定义域为M ，函数124)(+-=x x x g （M x ∈）.
(1) 求M ，并指出函数)(x f 的单调区间；
(2) 求函数)(x g 的值域；
(3) 当M x ∈时，若关于x 的方程)(241R b b x x ∈=-+有实数根，求b 的取值范围，并讨论实数根的个数.
2．讨论函数()21f x x x a =+-+的最小值
反馈练习：.)(.,|,1|2)(2的最小值求函数x f R a R x x a x x f ∈∈-+=
解：f (x )=x 2+2 a |x －1|,x ∈R .
（1）当a =0时, f (x )=x 2, 函数是偶函数；当a ≠ 0时函数没有奇偶性.
因为f (1)=1 ,f (－1)=1+4a ≠ f (1) , 即a ≠ 0时函数不是偶函数；
当a ≠ －12 时f (－1)=1+4a ≠－ f (1),函数不是奇函数；当a =－12
时， f(x)=x 2－| x －1 |.,f(2)=3,f(－2)=1,f(－2) ≠ －f(2),所以函数不是奇函数 综上，当a =0时, f (x )=x 2, 函数是偶函数；当a ≠ 0时函数没有奇偶性.
（2）⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥-+=)
1(,22)1(,22)(22x a ax x x a ax x x f 先分段求出函数的最小值： 当1≥x 时，对称轴为a x -=
①当1≤-a ，即1-≥a 时，)(x f 在),1[+∞递增，1)1()(min ==∴f x f ； ②当1>-a ，即1-<a 时，a a a f x f 2)()(2min --=-=
当1<x 时，对称轴为a x =
①当1≥a 时，)(x f 在)1,(-∞递减，1)1()(min =>∴f x f ；
②当1<a 时，a a a f x f 2)()(2min +-==
再比较合并函数的最小值
①当1≥a 时，1)1()(min ==f x f ②当1-<a 时，可知2222a a a a ->--，a a x f 2)(2min +-=
③当11<≤-a 时，比较1与a a 22+-大小，0)1()2(122>-=+--a a a ，a a x f 2)(2min +-=
综上所述：⎩⎨⎧≥<-=)
1(,1)1(,2)(2min
a a a a x f 解：()22
21,11,x a x x a f x x x a x a x x a ≥⎧+-+=+-+=⎨<-++⎩，这个函数是一个分段函数，由于上下两段上的对称轴分别为直线12x =-，12
x =，当12a <-，1122a -≤<，12a ≥时原函数的图象分别如下（1），（2），（3）
因此，（1）当12
a <-时，()min 1324f x f a ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭； （2）当1122a -≤<时，()()2min 1f x f a a ==+；（3）当12
a ≥时，()min 1324f x f a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭ 方法2：()22
21,11,x a x x a f x x x a x a x x a ≥⎧+-+=+-+=⎨<-++⎩. 2
1,1)(2-=+-+=≥x a x x x f a x 对称轴为，,当a f x f a -=-=-≤43)21()(,21min ,当1)()(,212min +==->a a f x f a 2
1,1)(2=++-=<x a x x x f a x 对称轴为，,当a f x f a +==≥43)21()(,21min ,当1)()(,212min +==<a a f x f a 将两部分进行合并与a x a x <≥:①,21≥a 1432+<+a a ,∴a x f +=43)(min ;②1)(,2
1212min +=≤≤-a x f a ;③。