湖北省武汉市江汉区2019年中考数学二模试卷含答案解析一．选择题（共10小题）1．﹣4的绝对值是（）A．4 B．﹣4 C．D．2．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≥0 B．x＜0 C．x≤2 D．x≥23．下列说法中不正确的是（）A．抛掷一枚硬币，硬币落地时正面朝上是随机事件B．把4个球放入三个抽屉中，其中一个抽屉中至少有2个球是必然事件C．任意打开九年级下册数学教科书，正好是97页是确定事件D．一只盒子中有白球3个，红球6个（每个球除了颜色外都相同）．如果从中任取一个球，取得的是红球的概率大于白球的概率4．风和日丽春光好，又是一年舞筝时．放风筝是我国人民非常喜爱的一项户外娱乐活动．下列风筝剪纸作品中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．5．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体可能是（）A．B．C．D．6．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得（）A．B．C．D．7．经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能左转或右转，如果这三种可能性大小相同，则两辆汽车经过这个十字路口时，至少有一辆左转的概率是（）A．B．C．D．8．如图，一次函数y1＝x﹣1与反比例函数y2＝的图象交于点A（2，1），B（﹣1，﹣2），则使y1＞y2的x的取值范围是（）A．x＞2 B．x＞2 或﹣1＜x＜0C．﹣1＜x＜2 D．x＞2 或x＜﹣19．13个小朋友围成一圈做游戏，规则是从某一个小朋友开始按顺时针方向开始数数，数到第13，该小朋友离开；离开的小朋友的下一位从1数起，数到13的小朋友离开，这样继续下去直到最后剩下一个小朋友，小明是1号，要使最后剩下的是小明自己，他应该建议从（）小朋友开始数．A．13号B．2号C．8号D．7号10．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，F为AB上一点，AF＝2，点E从点A出发，沿AC 方向以2cm/s的速度匀速运动，同时点D由点B出发，沿BA方向以1cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）（0＜t＜5），连接DE交CF于点G，若CG＝2FG，则t的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4二．填空题（共6小题）11．化简：＝．12．某校在“校园十佳歌手”比赛上，六位评委给1号选手的评分如下：90，96，91，96，95，94．那么，这组数据的中位数是．13．计算的结果是．14．如图，点E是菱形ABCD的边AD延长线上的点，AE＝AC，CE＝CB，则∠B的度数为．15．无论x为何值，关于x的代数式x2+2ax﹣3b的值都是非负数，则代数式a+b的最大值为．16．如图，D为△ABC内一点，且AD＝BD，若∠ACD＝∠DAB＝45°，AC＝5，则S△ABC＝．三．解答题（共8小题）17．（﹣3a3）2•a3+（﹣4a2）•a7﹣（5a3）318．如图，直线AB∥直线CD，直线EF分别交AB、CD于E、F两点，EM、FN分别平分∠BEF、∠CFE，求证：EM∥FN．19．某公司为了解员工对“六五”普法知识的知晓情况，从本公司随机选取40名员工进行普法知识考查，对考查成绩进行统计（成绩均为整数，满分100分），并依据统计数据绘制了如下尚不完整的统计表．解答下列问题：组别分数段/分频数/人数频率1 50.5～60.52 a2 60.5～70.5 6 0.153 70.5～80.5 b c4 80.5～90.5 12 0.305 90.5～100.56 0.15合计40 1.00（1）表中a＝，b＝，c＝；（2）请补全频数分布直方图；（3）该公司共有员工3000人，若考查成绩80分以上（不含80分）为优秀，试估计该公司员工“六五”普法知识知晓程度达到优秀的人数．20．在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的三角形为整点三角形．如图，已知整点A（2，3），B（4，4），请在所给网格区域（含边界）上按要求画整点三角形．（1）在图1中画一个△PAB，使点P的横、纵坐标之和等于点A的横坐标；（2）在图2中画一个△PAB，使点P，B横坐标的平方和等于它们纵坐标和的4倍．21．在⊙O中，弧AB＝弧AC，点F是AC上一点，连接AO并延长交BF于E．（1）如图1，若BF是△ABC的高，求证：∠CBF＝∠CAE；（2）如图2，若BF是△ABC内的角平分线，BC＝10，cos∠BCA＝，求AE的长．22．某客商准备采购一批特色商品，经调查，用16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多10元．（1）求一件A，B型商品的进价分别为多少元？（2）若该客商购进A，B型商品共250件进行试销，其中A型品的件数不大于B型商品的件数，且不小于80件，已知A型商品的售价为240元/件，B型商品的售价为220元/件，且全部售出，设购进A型商品m件，求该客商销售这批商品的利润y与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围；（3）在（2）的条件下，客商决定在试销活动中每售出一件A型商品，就从一件A型商品的利润中捐献慈善资金a元（0＜a＜80），若该客商售完所有商品并捐献资金后获得的最大收益是17100元，求的a值．23．在矩形ABCD中，AB＝12，P是边AB上一点，把△PBC沿直线PC折叠，顶点B的对应点是点G，过点B作BE⊥CG，垂足为E且在AD上，BE交PC于点F．（1）如图1，若点E是AD的中点，求证：△AEB≌△DEC；（2）如图2，①求证：BP＝BF；②当AD＝25，且AE＜DE时，求cos∠PCB的值；③当BP＝9时，求BE•EF的值．24．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）（1）求此抛物线解析式；（2）在抛物线上存在点D，使点D到直线AC的距离是，求点D的坐标；（3）如图2，将原抛物线向左平移1个单位，得到新抛物线C1，若直线y＝m与新抛物线C1交于P、Q两点，点M是新抛物线C1上一动点，连接PM，并将直线PM沿y＝m翻折交新抛物线C1于N，过Q作QS∥y轴，求证：QS必定平分MN．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．﹣4的绝对值是（）A．4 B．﹣4 C．D．【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解，第一步列出绝对值的表达式，第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．【解答】解：∵|﹣4|＝4，∴﹣4的绝对值是4．故选：A．2．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≥0 B．x＜0 C．x≤2 D．x≥2【分析】由二次根式的性质可以得到x﹣2≥0，由此即可求解．【解答】解：依题意得x﹣2≥0，∴x≥2．故选：D．3．下列说法中不正确的是（）A．抛掷一枚硬币，硬币落地时正面朝上是随机事件B．把4个球放入三个抽屉中，其中一个抽屉中至少有2个球是必然事件C．任意打开九年级下册数学教科书，正好是97页是确定事件D．一只盒子中有白球3个，红球6个（每个球除了颜色外都相同）．如果从中任取一个球，取得的是红球的概率大于白球的概率【分析】分别利用随机事件的定义以及确定时间的定义和概率公式分析求出即可．【解答】解：A、抛掷一枚硬币，硬币落地时正面朝上是随机事件，正确，不合题意；B、把4个球放入三个抽屉中，其中一个抽屉中至少有2个球是必然事件，正确，不合题意；C、任意打开九年级下册数学教科书，正好是97页是随机事件，故此选项错误，符合题意；D、摸到红球的概率是＝，摸到白球的概率是＝，则取得的是红球的概率大于白球的概率正确，不合题意．故选：C．4．风和日丽春光好，又是一年舞筝时．放风筝是我国人民非常喜爱的一项户外娱乐活动．下列风筝剪纸作品中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，故此选项正确；C、是轴对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，故此选项错误．故选：B．5．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体可能是（）A．B．C．D．【分析】如图所示，根据三视图的知识可使用排除法来解答【解答】解：根据俯视图为三角形，主视图以及左视图都是矩形，可得这个几何体为三棱柱，故选：C．6．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得（）A．B．C．D．【分析】根据题意可得等量关系：①9枚黄金的重量＝11枚白银的重量；②（10枚白银的重量+1枚黄金的重量）﹣（1枚白银的重量+8枚黄金的重量）＝13两，根据等量关系列出方程组即可．【解答】解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，由题意得：，故选：D．7．经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能左转或右转，如果这三种可能性大小相同，则两辆汽车经过这个十字路口时，至少有一辆左转的概率是（）A．B．C．D．【分析】此题可以采用列表法或树状图求解．可以得到一共有9种情况，至少有一辆左转的结果有5种，根据概率公式求解即可．【解答】解：画“树形图”列举这两辆汽车行驶方向所有可能的结果如图所示：∴这两辆汽车行驶方向共有9种可能的结果；由“树形图”知，至少有一辆左转的结果有5种，且所有结果的可能性相等，所以至少有一辆左转的概率是，故选：D．8．如图，一次函数y1＝x﹣1与反比例函数y2＝的图象交于点A（2，1），B（﹣1，﹣2），则使y1＞y2的x的取值范围是（）A．x＞2 B．x＞2 或﹣1＜x＜0C．﹣1＜x＜2 D．x＞2 或x＜﹣1【分析】当y1＞y2时，一次函数的图象在反比例函数的图象上方；由图知：符合条件的函数图象有两段：①第一象限，x＞2时，y1＞y2；②第三象限，﹣1＜x＜0时，y1＞y2．【解答】解：从图象上可以得出：在第一象限中，当x＞2时，y1＞y2成立；在第三象限中，当﹣1＜x＜0时，y1＞y2成立．所以使y1＞y2的x的取值范围是x＞2或﹣1＜x＜0．故选：B．9．13个小朋友围成一圈做游戏，规则是从某一个小朋友开始按顺时针方向开始数数，数到第13，该小朋友离开；离开的小朋友的下一位从1数起，数到13的小朋友离开，这样继续下去直到最后剩下一个小朋友，小明是1号，要使最后剩下的是小明自己，他应该建议从（）小朋友开始数．A．13号B．2号C．8号D．7号【分析】本题是一道找规律的题目，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律．【解答】解：根据题意分析可得：如果从1号数起，离开的分别为：13、1、3、6、10、5、2、4、9、11、12、7．最后留下的是8号．因此，想要最后留下1号，即将“8”倒推7位，那么数字“1”也应该倒推7位，得到的数是“7”．故选：D．10．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，F为AB上一点，AF＝2，点E从点A出发，沿AC 方向以2cm/s的速度匀速运动，同时点D由点B出发，沿BA方向以1cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）（0＜t＜5），连接DE交CF于点G，若CG＝2FG，则t的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】过点C作CH∥AB交DE的延长线于点H，则DF＝10﹣2﹣t＝8﹣t，证明△DFG ∽△HCG，可求出CH，再证明△ADE∽△CHE，由比例线段可求出t的值．【解答】解：过点C作CH∥AB交DE的延长线于点H，则BD＝t，AE＝2t，DF＝10﹣2﹣t ＝8﹣t，∵DF∥CH，∴证明△DFG∽△HCG，∴，∴CH＝2DF＝16﹣2t，同理△ADE∽△CHE，∴，∴，解得t＝2，t＝（舍去）．故选：B．二．填空题（共6小题）11．化简：＝2．【分析】直接利用二次根式的性质化简求出答案．【解答】解：＝2．故答案为：2．12．某校在“校园十佳歌手”比赛上，六位评委给1号选手的评分如下：90，96，91，96，95，94．那么，这组数据的中位数是94.5 ．【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数．【解答】解：将这组数据从小到大的顺序排列：90，91，94，95，96，96，处于中间位置的那个数是94、95，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是（94+95）÷2＝94.5．故这组数据的中位数是94.5．故答案为：94.5．13．计算的结果是．【分析】先通分，然后进行同分母分式加减运算，最后要注意将结果化为最简分式．【解答】解：＝＝＝．故答案为：14．如图，点E是菱形ABCD的边AD延长线上的点，AE＝AC，CE＝CB，则∠B的度数为108°．【分析】设∠DAC的度数为x，利用菱形的性质得DA＝DC，∠DCA＝∠DAC＝x，则利用三角形外角性质得∠EDC＝2x，接着利用等腰三角形的性质得到∠E＝∠EDC＝2x，∠ACE＝∠E＝2x，于是利用三角形内角和定理得到x+2x+2x＝180°，解得x＝36°，然后计算出∠ADC的度数，从而得到∠B的度数．【解答】解：设∠DAC的度数为x，∵四边形ABCD为菱形，∴DA＝DC，∠ADC＝∠B，∴∠DCA＝∠DAC＝x，∴∠EDC＝∠DCA+∠DAC＝2x，∵CD＝CE，∴∠E＝∠EDC＝2x，∵AE＝AC，∴∠ACE＝∠E＝2x，∴x+2x+2x＝180°，解得x＝36°，∵∠ADC＝180°﹣2x＝108°，∴∠B＝∠ADC＝108°．故答案为108°．15．无论x为何值，关于x的代数式x2+2ax﹣3b的值都是非负数，则代数式a+b的最大值为．【分析】因为关于x的代数式x2+2ax﹣3b的值都是非负数，所以△≤0，从而可以用含a 的不等式表示b，将其代入a+b中，变成关于a的二次函数，利用配方法可求解．【解答】解：∵x2+2ax﹣3b≥0∴△＝4a2+12b≤0∴b≤∴a+b≤+a＝+∴a+b的最大值为．故答案为．16．如图，D为△ABC内一点，且AD＝BD，若∠ACD＝∠DAB＝45°，AC＝5，则S△ABC＝．【分析】如图，作DE⊥DC交AC于E，连接BE交AD于O．利用全等三角形的性质证明BE＝AC＝5，BE⊥AC即可解决问题．【解答】解：如图，作DE⊥DC交AC于E，连接BE交AD于O．∵DA＝DB，∠DAB＝45°，∴∠DAB＝∠DBA＝45°，∴∠ADB＝90°，∵∠DCE＝45°，DE⊥DC，∴DC＝DE，∵∠CDE＝∠ADB＝90°，∴∠CDA＝∠EDB，∵DC＝DE，DA＝DB，∴△CDA≌△EDB（SAS），∴AC＝BE＝5，∠CAD＝∠EBD，∵∠AOE＝∠BOD，∴∠AEO＝∠BDO＝90°，∴BE⊥AC，∴S△ABC＝•AC•BE＝，故答案为．三．解答题（共8小题）17．（﹣3a3）2•a3+（﹣4a2）•a7﹣（5a3）3【分析】按整式的运算顺序进行运算即可．【解答】解：原式＝9a6•a3﹣4a2•a7﹣125a9＝9a9﹣4a7﹣125a9＝﹣120a9．18．如图，直线AB∥直线CD，直线EF分别交AB、CD于E、F两点，EM、FN分别平分∠BEF、∠CFE，求证：EM∥FN．【分析】根据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠FEM＝∠EFN，进而得出EM ∥FN．【解答】证明：∵直线AB∥直线CD，∴∠BEF＝∠CFE，又∵EM、FN分别平分∠BEF、∠CFE，∴∠FEM＝∠EFN，∴EM∥FN．19．某公司为了解员工对“六五”普法知识的知晓情况，从本公司随机选取40名员工进行普法知识考查，对考查成绩进行统计（成绩均为整数，满分100分），并依据统计数据绘制了如下尚不完整的统计表．解答下列问题：组别分数段/分频数/人数频率1 50.5～60.52 a2 60.5～70.5 6 0.153 70.5～80.5 b c4 80.5～90.5 12 0.305 90.5～100.56 0.15合计40 1.00（1）表中a＝0.05 ，b＝14 ，c＝0.35 ；（2）请补全频数分布直方图；（3）该公司共有员工3000人，若考查成绩80分以上（不含80分）为优秀，试估计该公司员工“六五”普法知识知晓程度达到优秀的人数．【分析】（1）根据频率的计算公式：频率＝即可求解；（2）利用总数40减去其它各组的频数求得b，即可作出直方图；（3）利用总数3000乘以最后两组的频率的和即可求解．【解答】解：（1）a＝＝0.05，第三组的频数b＝40﹣2﹣6﹣12﹣6＝14，频率c＝＝0.35；（2）补全频数分布直方图如下：；（3）3000×（0.30+0.15）＝1350（人）．答：该公司员工“六五”普法知识知晓程度达到优秀的人数1350人．20．在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的三角形为整点三角形．如图，已知整点A（2，3），B（4，4），请在所给网格区域（含边界）上按要求画整点三角形．（1）在图1中画一个△PAB，使点P的横、纵坐标之和等于点A的横坐标；（2）在图2中画一个△PAB，使点P，B横坐标的平方和等于它们纵坐标和的4倍．【分析】（1）设P（x，y），由题意x+y＝2，求出整数解即可解决问题；（2）设P（x，y），由题意x2+42＝4（4+y），求出整数解即可解决问题；【解答】解：（1）设P（x，y），由题意x+y＝2，∴P（2，0）或（1，1）或（0，2）不合题意舍弃，△PAB如图所示．（2）设P（x，y），由题意x2+42＝4（4+y），整数解为（2，1）或（0，0）或（4，4）（舍去）等，△PAB如图所示．21．在⊙O中，弧AB＝弧AC，点F是AC上一点，连接AO并延长交BF于E．（1）如图1，若BF是△ABC的高，求证：∠CBF＝∠CAE；（2）如图2，若BF是△ABC内的角平分线，BC＝10，cos∠BCA＝，求AE的长．【分析】（1）延长AE交BC于H．利用“8字型”证明角相等即可．（2）延长AE交BC于H，作EK⊥AB于K．由Rt△BEK≌Rt△BEH（HL），推出BK＝BH＝5，设EK＝EH＝m，在Rt△AEK中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【解答】（1）证明：延长AE交BC于H．∵＝，∴AO⊥BC，∵BF⊥AC，∴∠BHE＝∠AFE＝90°，∵∠EAF+∠AEF＝90°，∠EBH+∠BEH＝90°，∠AEF＝∠BEH，∴∠EAF＝∠EBH，即∠CBF＝∠CAE．（2）解：延长AE交BC于H，作EK⊥AB于K．∵BF平分∠ABC，EK⊥AB，EH⊥BC，∴EK＝EH，设EK＝EH＝m，∵BH＝CH＝5，cos∠ACB＝＝，∴AC＝AB＝15，∴AH＝＝10，∵BE＝BE，EK＝EH，∴Rt△BEK≌Rt△BEH（HL），∴BK＝BH＝5，∴AK＝10，在Rt△AEK中，∵AE2＝AK2+EK2，∴（10﹣m）2＝102+m2，∴m＝，∴AE＝10﹣＝．22．某客商准备采购一批特色商品，经调查，用16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多10元．（1）求一件A，B型商品的进价分别为多少元？（2）若该客商购进A，B型商品共250件进行试销，其中A型品的件数不大于B型商品的件数，且不小于80件，已知A型商品的售价为240元/件，B型商品的售价为220元/件，且全部售出，设购进A型商品m件，求该客商销售这批商品的利润y与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围；（3）在（2）的条件下，客商决定在试销活动中每售出一件A型商品，就从一件A型商品的利润中捐献慈善资金a元（0＜a＜80），若该客商售完所有商品并捐献资金后获得的最大收益是17100元，求的a值．【分析】（1）设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为（x+10）元．根据16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商品的件数的2倍，列出方程即可解决问题；（2）根据总利润＝两种商品的利润之和，列出式子即可解决问题；（3）设利润为w元．则w＝（80﹣a）m+70（250﹣m）＝（10﹣a）m+17500，分三种情形讨论即可解决问题，把w＝17100代入解答即可．【解答】解：（1）设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为（x+10）元．由题意：＝，解得x＝150，经检验x＝150是分式方程的解，答：一件B型商品的进价为150元，则一件A型商品的进价为160元；（2）因为客商购进A型商品m件，所以客商购进B型商品（250﹣m）件．由题意：y＝80m+70（250﹣m）＝10m+17500，∵80≤m≤250﹣m，∴80≤m≤125；（3）设利润为w元．则w＝（80﹣a）m+70（250﹣m）＝（10﹣a）m+17500，①当10﹣a＞0时，即0＜a＜10时，w随m的增大而增大，所以m＝125时，最大利润为（18750﹣125a）元．②当10﹣a＝0时，最大利润为17500元．③当10﹣a＜0时，即10＜a≤80时，w随m的增大而减小，所以m＝80时，最大利润为（18300﹣80a）元．∴18750﹣125a＝17100或18300﹣80a＝17100，解得a＝13.2（不合题意，舍去）或15．答：若该客商售完所有商品并捐献资金后获得的最大收益是17100元，则a值为15．23．在矩形ABCD中，AB＝12，P是边AB上一点，把△PBC沿直线PC折叠，顶点B的对应点是点G，过点B作BE⊥CG，垂足为E且在AD上，BE交PC于点F．（1）如图1，若点E是AD的中点，求证：△AEB≌△DEC；（2）如图2，①求证：BP＝BF；②当AD＝25，且AE＜DE时，求cos∠PCB的值；③当BP＝9时，求BE•EF的值．【分析】（1）先判断出∠A＝∠D＝90°，AB＝DC再判断出AE＝DE，即可得出结论；（2）①利用折叠的性质，得出∠PGC＝∠PBC＝90°，∠BPC＝∠GPC，进而判断出∠GPF ＝∠PFB即可得出结论；②判断出△ABE∽△DEC，得出比例式建立方程求解即可得出AE＝9，DE＝16，再判断出△ECF∽△GCP，进而求出PC，即可得出结论；③判断出△GEF∽△EAB，即可得出结论．【解答】解：（1）在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，∵E是AD中点，∴AE＝DE，在△ABE和△DCE中，，∴△ABE≌△DCE（SAS）；（2）①在矩形ABCD，∠ABC＝90°，∵△BPC沿PC折叠得到△GPC，∴∠PGC＝∠PBC＝90°，∠BPC＝∠GPC，∵BE⊥CG，∴BE∥PG，∴∠GPF＝∠PFB，∴∠BPF＝∠BFP，∴BP＝BF；②当AD＝25时，∵∠BEC＝90°，∴∠AEB+∠CED＝90°，∵∠AEB+∠ABE＝90°，∴∠CED＝∠ABE，∵∠A＝∠D＝90°，∴△ABE∽△DEC，∴，设AE＝x，∴DE＝25﹣x，∴，∴x＝9或x＝16，∵AE＜DE，∴AE＝9，DE＝16，∴CE＝20，BE＝15，由折叠得，BP＝PG，∴BP＝BF＝PG，∵BE∥PG，∴△ECF∽△GCP，∴，设BP＝BF＝PG＝y，∴，∴y＝，∴BP＝，在Rt△PBC中，PC＝，cos∠PCB＝＝；③如图，连接FG，∵∠GEF＝∠PGC＝90°，∴∠GEF+∠PGC＝180°，∴BF∥PG∵BF＝PG，∴▱BPGF是菱形，∴BP∥GF，∴∠GFE＝∠ABE，∴△GEF∽△EAB，∴，∴BE•EF＝AB•GF＝12×9＝108．24．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）（1）求此抛物线解析式；（2）在抛物线上存在点D，使点D到直线AC的距离是，求点D的坐标；（3）如图2，将原抛物线向左平移1个单位，得到新抛物线C1，若直线y＝m与新抛物线C1交于P、Q两点，点M是新抛物线C1上一动点，连接PM，并将直线PM沿y＝m翻折交新抛物线C1于N，过Q作QS∥y轴，求证：QS必定平分MN．【分析】（1）用待定系数法求出抛物线解析式，（2）根据点A，C坐标求出直线AC解析式为y＝﹣3x﹣3，再根据点D到直线AC的距离是，求出点F的坐标，联立方程组求解即可；（3）设点P（﹣a'，a'2﹣4），则Q（a'，a'2﹣4），M（m，m2﹣4），N（n，n2﹣4）利用＝，即可．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y 轴交于点C（0，﹣3）∴，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3（2）如图，过D作DF∥AC交x轴于F，∵A（﹣1，0）、C（0，﹣3）∴直线AC解析式为y＝﹣3x﹣3，∴直线DF解析式为y＝﹣3x+b，∵点D到直线AC的距离是，∴AF＝，F（，0），∴直线DF的解析式为y＝﹣3x+7，∵点D在直线DF和抛物线上，∴，∴或∴D（，）或（，），（3）如图2，设点P（﹣a'，a'2﹣4），则Q（a'，a'2﹣4），M（m'，m'2﹣4），N（n，n2﹣4）由翻折可知＝，即＝，∴m'﹣a'＝a'﹣n∴m'+n＝2a'，∴QS必定平分MN．。