2020年高考数学（理科）模拟试题（一）一、选择题（每小题5分，共8小题，共40分）1. 定义{}|,A B x x A x B -=∈∉且，若{}1,3,5,7,9A =,{}2,3,5B =,则A B -= （ ）.A ．AB ．BC ．{}1,2,7,9D ．{}1,7,9 答案： D简解：由定义，{1,7,9}A B -=2. 复数21i -的值为（ ） A. 1122i - B. 1122i + C. 1i -D. 1i +答案：D简解：222(1)2(1)11(1)(1)1i i i i i i i ++===+--+-2. 若f （tan x ）=cos2x ，则(tan )3f π-的值是（ ）.A. 12- B.12C.D.答案：A简解：21(tan )(tan())cos()3332f f πππ-=-=-=-3. 长方体的长、宽、高分别为2,2,3cm cm cm ，若该长方体的各顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ）A. 27cm πB. 214cm πC. 217cm πD. 256cm π答案：C简解：球半径为r，则2r ==2417S r ππ==4. 计算机是将信息转换成二进制进行处理的. 二进制即“逢二进一”，如2(1101)表示二进制数，将它转换成十进制形式，是321012120212⨯+⨯+⨯+⨯= 13，那么将二进制数216(1111)L 123转换成十进制形式是（ ）.A. 1722-B. 1622-C. 1621-D. 1521- 答案：C简解：16151411621612(1111)121212122112-=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯==--L 123，所以选C.5. 不等式2()0f x ax x c =-->的解集为{|21}x x -<<,则函数()y f x =-的图象为（ ）答案：C简解：由(2)420(1)10f a c f a c -=+-=⎧⎨=-+=⎩解得12a c =-⎧⎨=⎩，则选C.6. 已知函数321()22f x x x m =-+的图象上A 点处的切线与直线30x y -+=的夹角为45°，则A 点的横坐标为（ ）.A ．0B ．1C ．0或16D ．1或16答案：C简解：由已知可得切线的斜率为0，解'2()60f x x x =-=，得x =0或167. 如图：D ，C ，B 三点在地面同一直线上，DC =a ，从C ，D 两点测得A 点仰角分别是β，α(α<β)，则A 点离地面的高度AB 等于（ ）.A. sin sin sin()a αββα-B. sin sin cos()a αβαβ⋅-C.sin cos sin()a αββα- D. cos sin cos()a αβαβ-答案：A简解：设x AB =，则tan x BC β=，()tan tan x x a αβ=+，解得sin sin sin()a x αββα=-8. 设抛物线2(0)y ax a =>与直线(0)y kx b k =+≠有两个交点，其横坐标分别是12,x x ，而直线(0)y kx b k =+≠与x 轴交点的横坐标是3x ，那么123,,x x x 的关系是（ ）. A ．312x x x =+ B. 321111x x x =+ C. 132111x x x =+ D. 123x x x =+ 答案：B简解：由2y ax y kx b⎧=⎨=+⎩消y 得20ax kx b --=，则1212,k b x x x x a a +==-g ，而3bx k =-，所以12312x x b x x x k =-=+g ，即321111x x x =+二、填空题（每小题5分，共6小题，共30分）9. 一物体在力F （x ）=4x+2（力的单位：N ）的作用下，沿着与力F 相同的方向，从x =0处运动到x =5处（单位：m ），则力F （x ）所作的功___________ 答案：60简解：力F （x ）所作的功为50(42)60x dx +=⎰10. 一射手对靶射击，直到第一次命中为止每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目ξ的期望为__________. 答案：2.376简解：ξ=0，1，2，3，此时P （ξ=0）=0.43，P （ξ=1）=0.6×0.42，P （ξ=2）=0.6×0.4，P （ξ=3）=0.6，E ξ=2.376.11. 若,a b 是正常数，a b ≠，,(0,)x y ∈+∞，则222()a b a b x y x y ++≥+，当且仅当a b x y=时上式取等号. 利用以上结论，可以得到函数29()12f x x x =+-（1(0,)2x ∈）的最小值为 ，取最小值时x 的值为 ． 答案： 25，15简解：由⑴22223(23)()252122(12)f x x x x x +=+≥=-+-． 当且仅当23212x x =-，即15x =时上式取最小值，即min [()]25f x =． 12. 一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示. 某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示.（至少打开一个水口）给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；C ②3点到4点不进水只出水； ③4点到6点不进水不出水.则一定能确定正确的论断序号是__________ _____. 答案：①简解：由图丙，可知0点到3点时水增加速度等于2个进水口的进水速度，则①正确. 其余均可同样推断错误.13~14. 从以下两个小题中选做两题（只能做其中两个，做三个的，按得分最低的记分）． （1）几何证明选做题：从不在⊙O 上的一点A 作直线，交⊙O 于B ，C ，且AB ·AC ＝64，OA ＝10，则⊙O 的半径等于__________.答案： 6简解：设圆O 半径为r ，当点在圆外时，由切割线定理得64(10)(10)AB AC r r ==+-g ，解得r=6；当点在圆内时，由相交弦定理得64(10)(10)AB AC r r ==+-g ，解得r =（2）坐标系与参数方程选做题：若直线x +y =m 与圆x y ϕϕ⎧⎪⎨⎪⎩(φ为参数,m >0)相切，则m 为 .答案：2简解：对圆消参得x 2+y 2=m .∴m =2. （3）不等式选讲选做题：已知()21,()f x x x R =+∈，若|()3|f x a -<的充分条件是b x <-|1|，)0,(>b a ，则a ，b 之间的关系是 . 答案： 2a b ≤简解：由b x <-|1|，得{|11}A x b x b =-<<+ ；再由|()3|f x a -<，得{|11}22a a B x x =-<<+； 所以b x <-|1|是|()3|f x a -<的充分条件⇔A B ⊆，故2ab ≤三、解答题（前4小题每题13分，后2小题每题14分，共80分） 15．已知函数2()2sin sin 21,.f x x x x R =+-∈（1）求()f x 的最小正周期及()f x 取得最大值时x 的集合； （2）在平面直角坐标系中画出函数()f x 在[0,]π上的图象.解：（1）22()2sin sin 21sin 2(12sin )sin 2cos2f x x x x x x x =+-=--=-)4x π-∴ ()f x 的最小正周期是π .当322,()428x k x k k Z πππππ-=+=+∈即时，()f x .即()f x 取得最大值时x 的集合为3{|,}8x x k k Z ππ=+∈. （2）当x =0时，y =-1，当x =π时，y =-1；当38x π=时，2y =； 当78x π=，2y =-.由此作出图象如右图所示：16．已知a 为实数, 2()(4)()f x x x a =--. (1) 求导数'()f x ;(2) 若'(1)0f -=, 求()f x 在[2,2]-上的最大值和最小值; 解: (1) 22'()2()(4)1324f x x x a x x ax =-+-⨯=--.(2) 2'(1)3(1)2(1)4210f a a -=----=-=, 得12a =. 2'()34(34)(1)f x x x x x ∴=--=-+, 当1x =-或43x =时, '()0f x =.当(2,1)x ∈--时, '()0f x >, ()f x 递增; 当4(1,)3x ∈-时, '()0f x <, ()f x 递减; 当4(,2)3x ∈时, '()0f x >, ()f x 递增.(2)f -=0, 9(1)2f -=, 450()327f =-, (2)0f =.()f x 在[2,2]-上的最大值为9(1)2f -=, 最小值为450()327f =-.17．已知直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，且160,DAB AD AA ∠=︒=，F 为棱BB 1的中点，M 为线段AC 1的中点.（1）求证：直线MF //平面ABCD ； （2）求证：平面AFC 1⊥平面ACC 1A 1；（3）求平面AFC 1与平面ABCD 所成二面角的大小. 解法1：（1）证明：延长C 1F 交CB 的延长线于点N ，连结AN.因为F 是BB 1的中点，所以F 为C 1N 的中点，B 为CN 的中点. 又M 是线段AC 1的中点，故MF//AN.,.MF ABCD AN ABCD ⊄⊂Q 又平面平面 //.MF ABCD ∴平面（2）证明：连BD ，由直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1 可知：1A A ⊥平面ABCD,又∵BD ⊂平面ABCD ，1.A A BD ∴⊥ Q 四边形ABCD 为菱形，.AC BD ∴⊥1111,,,AC A A A AC A A ACC A ⋂=⊂Q 又平面 11.BD ACC A ∴⊥平面在四边形DANB 中，DA ∥BN 且DA=BN ，所以四边形DANB 为平行四边形. 故NA ∥BD ，NA ∴⊥平面ACC 1A 1. 1NA AFC ⊂Q 又平面 1AFC ∴⊥平面平面ACC 1A 1. （3）由（2）知BD ⊥ACC 1A 1，又AC 1⊂ ACC 1A 1，∴BD ⊥AC 1，∵BD//NA ，∴AC 1⊥NA. 又由BD ⊥AC 可知NA ⊥AC ，∴∠C 1AC 就是平面AFC 1与平面ABCD 所成二面角的平面角或补角.在Rt △C 1AC 中，11tan 3C C C AC CA ==， 故∠C 1AC=30°. ∴平面AFC 1与平面ABCD 所成二面角的大小为30°或150°.解法二：设AC ⋂BD=O ，因为M 、O 分别为C 1A 、CA 的中点，所以，MO//C 1C ，又由直四棱柱知C 1C ⊥平面ABCD ，所以，MO ⊥平面ABCD.故可以O 为原点，OB 、OC 、OM 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴如图建立空间直角坐标系，若设|OB|=1，则B （1，0，0），B 1（1，0，2），A （0，，0），C （0，3，0），C 1（0，3，2）.（1）由F 、M 分别为B 1B 、C 1A 的中点可知：F （1，0，1），M （0，0，1）， 所以MF =u u u u r （1，0，0）=.OB u u u r又MF u u u u r 与OB u u ur 不共线，所以，MF ∥OB. MF ⊄Q 平面ABCD ，OB ⊂平面ABCD ， MF ∴∥平面ABCD.（2）OB =u u u r（1，0，0）为平面ACC 1A 1的法向量. 设(,,)n x y z r为平面AFC 1的一个法向量， 则,.n AF n MF ⊥⊥r u u u r r u u u u r 由(1,3,1),(1,0,0)AF MF ==u u u r u u u u r，得：30,0.x y z x ⎧++=⎪⎨=⎪⎩ 令1,y =得3z =-，此时，(0,1,3)n -r .由于(0,1,3)(1,0,0)0n OB ⋅=-⋅=r u u u r，所以，平面AFC 1⊥平面ACC 1A 1.（3）(0,0,1)OM =u u u u r为平面ABCD 的法向量，设平面AFC 1与平面ABCD 所成二面角的大小为θ，则33|cos ||cos ,||||.|,|||OM n OM n OM n θ⋅-=<>==u u u u r ru u u u r r u u u uu r r 所以θ=30°或150°. 即平面AFC 1与平面ABCD 所成二面角的大小为30°或150°.18. 九十年代，政府间气候变化专业委员会（IPCC ）提供的一项报告指出：使全球气候逐年变暖的一个重要因素是人类在能源利用与森林砍伐中使CO 2浓度增加。