高中数学综合测试 第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．集合A ＝{1,2,3}，B ＝{x ∈R |x 2－ax ＋1＝0，a ∈A }，则A ∩B ＝B 时a 的值是( )A ．2B ．2或3C ．1或3D ．1或22．如果复数2－bi1＋2i(其中i 为虚数单位，b 为实数)的实部和虚部互为相反数，那么b 等于( )A.2B.23 C ．－23D ．23．若A 、B 是平面内的两个定点，点P 为该平面内动点，且满足向量AB →与AP →夹角为锐角θ，|PB →||AB →|＋PA →·AB →＝0，则点P 的轨迹是( )A ．直线(除去与直线AB 的交点) B ．圆(除去与直线AB 的交点)C ．椭圆(除去与直线AB 的交点)D ．抛物线(除去与直线AB 的交点)4．为了了解甲，乙，丙三所学校高三数学模拟考试的情况，现采取分层抽样的方法从甲校的1260份，乙校的720份，丙校的900份模拟试卷中抽取试卷进行调研，如果从丙校抽取了50份，那么这次调研一共抽查的试卷份数为( )A ．150B ．160C ．200D ．2305．用max{a ，b }表示a ，b 两个数中的最大数，设f (x )＝max{x 2，x }(x ≥14)，那么由函数y ＝f (x)的图象、x 轴、直线x ＝14和直线x ＝2所围成的封闭图形的面积是( )A.3512B.5924C.578D.9112 6．已知直二面角α－l －β，点A∈α，AC⊥l ，C 为垂足，B∈β，BD⊥l ，D 为垂足．若AB ＝2，AC ＝BD ＝1，则D 到平面ABC 的距离等于( )A.23 B.33 C.63D ．1 7．给出下列命题①设a ，b 为非零实数，则“a <b ”是“1a >1b”的充分不必要条件；②命题p ：垂直于同一条直线的两直线平行，命题q ：垂直于同一条直线的两平面平行，则命题p ∨q 为真命题；③命题“∀x ∈R ，sin x <1”的否定为“∃x 0∈R ，sin x 0>1”；④命题“若x ≥2且y ≥3，则x ＋y ≥5”的逆否命题为“若x ＋y <5，则x <2且y <3”， 其中真命题的个数是( ) A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个8．将函数y ＝sin⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图像向左平移π4个单位，再向上平移2个单位，则所得图像的函数解析式是( )A ．y ＝2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π4B ．y ＝2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4C ．y ＝2＋sin2xD ．y ＝2＋cos2x9．如图所示的程序框图，其输出结果是( )A ．341B ．1364C ．1365D ．136610．下图是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积等于( )A ．34＋65B ．6＋65＋43C ．6＋63＋413D ．17＋6511．双曲线x2m－y2n＝1(mn ≠0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，则mn 的值为( )A.83B.38C.316D.16312．具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①y ＝x －1x ，②y ＝x ＋1x，③y ＝错误!中满足“倒负”变换的函数是( )A ．①②B ．②③C ．①③D ．只有①题 号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答 案第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)13．一个盒子里装有标号为1,2,3,4,5的5张标签，不放回地抽取2张标签，则2张标签上的数字为相邻整数的概率为________(用分数表示)．14．点(a ，b )为第一象限内的点，且在圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝8上，ab 的最大值为________． 15．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝2n －1，则当n ≥2时，1a1＋1a2＋…＋1an ＝________.16．下图展示了一个由区间(0,1)到实数集R 的映射过程：区间(0,1)中的实数m 对应数轴上的点M ，如图①；将线段AB 围成一个圆，使两端点A 、B 恰好重合，如图②；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y 轴上，点A 的坐标为(0,1)，在图形变化过程中，图①中线段AM 的长度对应于图③中的弧ADM 的长度，如图③.图③中直线AM 与x 轴交于点N (n,0)，则m 的象就是n ，记作f (m )＝n .给出下列命题：①f⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1；②f (x )是奇函数；③f (x )在定义域上单调递增，则所有真命题的序号是________．(填出所有真命题的序号) 三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，向量m ＝(2a －c ，b )，n ＝(cos C ，cos B )，且m ∥n .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，求a ＋c 的最大值．18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln x ＋2x ，g (x )＝a (x 2＋x )． (1)若a ＝12，求F (x )＝f (x )－g (x )的单调区间；(2)当a ≥1时，求证：f (x )≤g (x )．19．(本小题满分12分)设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，已知2a 2＝a 1＋a 3，数列{Sn }是公差为d 的等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式(用n ，d 表示)；(2)设c 为实数，对满足m ＋n ＝3k 且m ≠n 的任意正整数m ，n ，k ，不等式S m ＋S n >cS k 都成立，求c 的最大值．20．(本小题满分12分)已知椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)，它的一个顶点为M (0,1)，离心率e ＝63. (1)求椭圆的方程；(2)设直线l 与椭圆交于A ，B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为32，求△AOB 的面积的最大值．21．(本小题满分12分)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝3，沿对角线BD 把△ABD 折起，使A 移到A 1点，过点A 1作A 1O ⊥平面BCD ，垂足O 恰好落在CD 上．(1)求证：BC ⊥A 1D ；(2)求直线A 1B 与平面BCD 所成角的正弦值．选做题(22至23题选做一题)22．(本小题满分10分)极坐标与参数方程已知直线l 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，倾斜角α＝π6，圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4. (1)写出直线l 的参数方程，并把圆C 的方程化为直角坐标方程； (2)设l 与圆C 相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积．23．(本小题满分10分)不等式选讲 已知函数f (x )＝|x －2|，g (x )＝－|x ＋3|＋m . (1)解关于x 的不等式f (x )＋a －1>0(a ∈R )；(2)若函数f (x )的图象恒在函数g (x )图象的上方，求m 的取值范围．数学卷（二十一）1．D 由A ∩B ＝B 知B ⊆A ，a ＝1时，B ＝{x |x 2－x ＋1＝0}＝∅⊆A ；a ＝2时，B ＝{x |x 2－2x ＋1＝0}＝{1}⊆A ；a ＝3时，B ＝{x |x 2－3x ＋1＝0}＝{3＋52，3－52}⃘A ，故选D.2． C ∵2－bi1＋2i ＝错误!＝错误!＋错误!i 的实部与虚部互为相反数，∴错误!＋错误!＝0，∴b ＝－23，故选C.3． D 以AB 所在直线为x 轴，线段AB 中点为原点，建立平面直角坐标系，设A (－1,0)，则B (1,0)，设P (x ，y )，则PB →＝(1－x ，－y )，PA →＝(－1－x ，－y )，AB →＝(2,0)，∵|PB →|·|AB →|＋PA →·AB →＝0，∴2错误!＋2(－1－x )＝0，化简得y 2＝4x ，故选D.4． B 依据分层抽样的定义，抽样比为50900＝118，故这次调研一共抽查试卷(1260＋720＋900)×118＝160份．5． A 如图，平面区域的面积为6．C 解法1：如图，在直二面角α－l －β中，AC ⊥l ，∴AC ⊥β，∴平面ABC ⊥平面BCD .过D 作DH ⊥BC ，垂足为H ，则DH ⊥平面ABC ，即DH 为D 到平面ABC 的距离． ∵AC ⊥β，BC β，∴AC ⊥BC .在Rt △ABC 中，∵AC ＝1，AB ＝2，∠ACB ＝90°，.3＝22－12＝AB2－AC2＝BC ∴ ，1＝BD ，3＝BC 中，BCD △Rt 在 .2＝3－1＝BC2－BD2＝CD ∴ ，DH ·3×12＝2×1×12得DH ·BC 12＝CD ·BD 12由 .63＝DH ∴ 解法2：如下图，连接AD ，AB ＝2，AC ＝1，.2＝CD ，3＝BC 可得1同解法 .32＝3×1×12＝BC ·AC 12＝ACB △Rt S ∴ .22＝1×2×12＝BD ·CD 12＝BCD △Rt S 设D 到平面ABC 的距离为h ，则，AC ·BCD △S 13＝h ·ABC △S 13得BCD －A 三棱锥V ＝ABC －D 三棱锥V 由 ，1×22×13＝h 32×13即 .63＝h ∴7． D ①取a ＝－1，b ＝2满足a <b ，但1a >1b 不成立，∴①错；②取长方体交于同一顶点的三条棱所在直线知p 假，又q 真，∴p ∨q 为真命题，故②正确；③sin x <1的否定应为sin x ≥1，故③错；④“且”的否定应为“或”，故④错，因此选D.8． A y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4――――――――→图象再向上平移π4个单位用x+π4代替xy ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋π4―――――――→图象再向上平移2个单位用y －2代替y y －2＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋π4，即得y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋3π4＋2，故选A. 9． C 程序运行过程依次为：a ＝1，a ＝4×1＋1＝5，a <500满足→a ＝4×5＋1＝21，a <500仍满足→a ＝4×21＋1＝85，a <500满足→a ＝4×85＋1＝341，a <500满足→a ＝4×341＋1＝1365，a <500不满足→输出a 的值1365后结束，故选C.10． A 由三视图知，该四棱锥底面是一个矩形，两边长分别为6和2，有一个侧面P AD 与底面垂直，高为4，故其表面积S ＝6×2＋12×6×4＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×42＋32＋12×6×42＋22＝34＋65.11． C 抛物线焦点F (1,0)为双曲线一个焦点， ∴m ＋n ＝1，又双曲线离心率为2，∴1＋nm＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝14n ＝34，∴mn ＝316.12． C ①对于函数f (x )＝x －1x ，∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x －x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＝－f (x )，∴①是“倒负”变换的函数，排除B ；②对于函数f (x )＝x ＋1x 有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x ＋x ＝f (x )不满足“倒负”变换，排除A ；对于③，当0<x <1时，1x >1，∵f (x )＝x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ＝－f (x )；当x >1时，0<1x <1，∵f (x )＝－1x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－x ＝－f (x )；当x ＝1时，1x ＝1，∵f (x )＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝f (1)＝0＝－f (x )，∴③是满足“倒负”变换的函数，故选C.13． 25从5张标签中，任取2张，有C 25＝10种取法，两张标签上的数字为相邻整数的取法有4种，∴概率p ＝410＝25.14． 1由条件知a >0，b >0，(a ＋1)2＋(b ＋1)2＝8，∴a 2＋b 2＋2a ＋2b ＝6，∴2ab ＋4ab ≤6，∵ab >0，∴0<ab ≤1，等号在a ＝b ＝1时成立．15． 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1 a 1＝S 1＝1，n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －2n －1＝2n －1，∴a n ＝2n －1(n ∈N *)，∴1an ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1， ∴1a1＋1a2＋…＋1an ＝1－12n 1－12＝2－12n －1. 16． ③由m 的象是n 的定义知，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14<0，故①假，随着m 的增大，点N 沿x 轴向右平移，故n 增大，∴③为真命题；由于m 是线段AM 的长度，故f (x )为非奇非偶函数，∴②假．17． 解： (1)由题意知(2a －c )cos B ＝b cos C ， (2a －c )·a2＋c2－b22ac ＝b ·a2＋b2－c22ab，∴a 2＋c 2－b 2＝ac ，………………………………………………………4分∴cos B ＝a2＋c2－b22ac ＝12，∴B ＝π3.……………………………………………6分(2)由(1)知a 2＋c 2－b 2＝ac ，b ＝3，………………………………7分∴a 2＋c 2－ac ＝3，(a ＋c )2－3ac ＝3，(a ＋c )2－3·⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22≤3，14(a ＋c )2≤3， ∴a ＋c ≤23，即a ＋c 的最大值为23.………………………………12分 18．解： (1)a ＝12，F (x )＝ln x ＋2x －12(x 2＋x ) (x >0)F ′(x )＝1x －x ＋32＝2－2x2＋3x2x ＝错误!，………………………………2分∵x >0，∴当0<x <2时，F ′(x )>0，当x >2时，F ′(x )<0，∴F (x )的增区间为(0,2)，减区间为(2，＋∞)．………………………………5分 (2)令h (x )＝f (x )－g (x ) (x >0)则由h ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )＝1x＋2－2ax －a＝错误!＝0，解得x ＝错误!，………………………………8分∵h (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上减，∴当x ＝1a 时，h (x )有最大值h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln 1a ＋2a －a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a2＋1a ＝ln 1a ＋1a －1，∵a ≥1，∴ln 1a ≤0，1a －1≤0，∴h (x )≤h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ≤0，所以f (x )≤g (x )．…………………12分19．解： (1)由题意知：d >0，Sn ＝S1＋(n －1)d ＝a1＋(n －1)d2a 2＝a 1＋a 3⇒3a 2＝S 3⇒3(S 2－S 1)＝S 3,3[(a1＋d )2－a 1]2＝(a1＋2d )2，化简得：a 1－2a1·d ＋d 2＝0，∴a1＝d ，∴a 1＝d 2………………………………4分 Sn ＝d ＋(n －1)d ＝nd ，S n ＝n 2d 2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2d 2－(n －1)2d 2＝(2n －1)d 2，适合n ＝1的情形． 故a n ＝(2n －1)d 2. ………………………………6分(2)S m ＋S n >cS k ⇒m 2d 2＋n 2d 2>c ·k 2d 2⇒m 2＋n 2>c ·k 2，∴c <m2＋n2k2恒成立．………………………………8分又m ＋n ＝3k 且m ≠n,2(m 2＋n 2)>(m ＋n )2＝9k 2⇒m2＋n2k2>92，故c ≤92，即c 的最大值为92.………………………………12分20．解： (1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1e ＝c a＝a2－b2a ＝63解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝1，∴椭圆的方程为x23＋y 2＝1. ………………………………5分(2)①当AB ⊥x 轴时，|AB |＝3，………………………………6分②当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由已知|m|1＋k2＝32得， m 2＝34(k 2＋1)，………………………………7分把y ＝kx ＋m 代入椭圆方程整理得， (3k 2＋1)x 2＋6kmx ＋3m 2－3＝0，∴x 1＋x 2＝－6km3k2＋1，x 1x 2＝错误!.………………………………8分当k ≠0时，|AB |2＝(1＋k 2)(x 2－x 1)2 ＝(1＋k 2)错误! ＝错误!＝错误! ＝3＋12k29k4＋6k2＋1＝3＋129k2＋1k2＋6≤3＋122×3＋6＝4. 当且仅当9k 2＝1k2，即k ＝±33时等号成立，此时|AB |＝2. ………………………………10分 当k ＝0时，|AB |＝3.综上所述：|AB |max ＝2，此时△AOB 面积取最大值S ＝12|AB |max ×32＝32.………………………………12分 21．解： (1)因为A 1O ⊥平面BCD ，BC ⊂平面BCD ，∴BC ⊥A 1O ，因为BC ⊥CD ，A 1O ∩CD ＝O ，∴BC ⊥平面A 1CD .因为A 1D ⊂平面A 1CD ，∴BC ⊥A 1D . ………………………………5分(2)连结BO ，则∠A 1BO 是直线A 1B 与平面BCD 所成的角．因为A 1D ⊥BC ，A 1D ⊥A 1B ，A 1B ∩BC ＝B ，∴A 1D ⊥平面A 1BC ，∵A 1C ⊂平面A 1BC ，∴A 1D ⊥A 1C . ………………………………7分 在Rt △DA 1C 中，A 1D ＝3，CD ＝5，∴A 1C ＝4.根据S △A 1CD ＝12A 1D ·A 1C ＝12A 1O ·CD ，得到A 1O ＝125， 在Rt △A 1OB 中，sin ∠A 1BO ＝A1O A1B ＝1255＝1225. 所以直线A 1B 与平面BCD 所成角的正弦值为1225.………………………………12分 22. (1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12＋tcos π6y ＝1＋tsin π6即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12＋32ty ＝1＋12t (t 为参数)由ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4得ρ＝cos θ＋sin θ， 所以ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，∵ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝12.………………………………5分 (2)把⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12＋32ty ＝1＋12t 代入⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝12得t 2＋12t －14＝0，|P A |·|PB |＝|t 1t 2|＝14. 故点P 到点A 、B 两点的距离之积为14.………………………………10分 23解： (1)不等式f (x )＋a －1>0，即|x －2|＋a －1>0，当a ＝1时，解集为x ≠2，即(－∞，2)∪(2，＋∞)；当a >1时，解集为全体实数R ；当a <1时，∵|x －2|>1－a ，∴x －2>1－a 或x －2<a －1，∴x >3－a 或x <a ＋1， 故解集为(－∞，a ＋1)∪(3－a ，＋∞)．………………………………5分(2)f (x )的图象恒在函数g (x )图象的上方，即为|x －2|>－|x ＋3|＋m 对任意实数x 恒成立，即|x －2|＋|x ＋3|>m 恒成立．又对任意实数x 恒有|x －2|＋|x ＋3|≥|(x －2)－(x ＋3)|＝5，于是得m <5，即m 的取值范围是(－∞，5)． ………………………………10分。