信息光学习题答案信息光学习题答案第一章线性系统分析简要说明以下系统是否有线性和平移不变性. g?x??df?x?;g?x???f?x?dx; dx?g?x??f?x?;g?x??????f????h?x????d?;2???f???exp??j2????d? 解：线性、平移不变；线性、平移不变；非线性、平移不变；线性、平移不变；线性、非平移不变。
证明comb(x)exp(j?x)?comb(x) ???comb????x? ?x??1?证明：左边＝comb???????n?????(x?2n)??2??(x?2n) ?2?n????2?n????2?n??????x??2?右边?comb(x)?comb(x)exp(j?x)?? ?n?????(x?n)??exp(j?x)?(x?n)n?????n???? ??(x?n)??exp(jn?)?(x?n)n???? n?????(x?n)??(?1)n???n?(x?n)?当n为奇数时，右边＝0，当n为偶数时，右边＝2所以当n为偶数时，左右两边相等。
n?????(x?2n) (x) 证明??(sin?x)?comb证明：根据复合函数形式的δ函数公式?[h(x)]??i?1n?(x?xi)h?(xi ),h?(xi)?0 式中xi是h(x)=0的根，h?(xi)表示h(x)在x?xi处的导数。
于是??(sin?x)??n?????(x?n)???co mb(x) 1 计算图题所示的两函数的一维卷积。
解：设卷积为g(x)。
当-1≤x≤0时，如图题(a)所示，g(x)??1?x0(1??)(1?x??)d??111?x?x3 326 图题当0 2??2?2??2?2?2?x?2设卷积为g(x)，当x≤0时，如图题(a)所示，g(x)??0d??x?2 当0 2 图题g(x)??d??2?x x2?x?1?2,x?0 g(x)?2?x?1?,x?0?2即g(x)?2??? ?x??2?(x)?rect(x)?1已知exp(??x2)的傅立叶变换为exp(???2)，试求?exp?x2???exp?x2/2?2解：设y??????????? ?x,z??? 即??exp(??y2)??exp(???2) 1????F?,? 得ab?ab?2坐标缩放性质??f(ax,by)???exp?x2???????exp(?y2/??? exp(??z2)??exp(??2?2)2??exp?x/2???2?????exp??y?/2??2 ? ??2??exp(?2??2z2)?2??exp(?2??2?2)计算积分.????sinc?x?dx?? 4??2?x?cos?xdx?? sinc?解：应用广义巴塞伐定理可得? sinc(x)sinc(x)dx?????2222 ?(?)?(?)d??(1?? )d??(1??)d??????103??021???1?1?1?????s inc(x)cos?xdx????(?)?????d????(?)?????d ??2???2?2????????2?1??1??1??1 ??????????? 2??2??2?? 应用卷积定理求f?x??sinc?x?sinc?2x?的傅里叶变换. 3解：??sinc(x)sinc(2x)????sinc(x)????sinc( 2x)??1???rect(?)?rect?? 2?2?当?31????时，如图题(a)所示，2211??3 G(?)??2du??? 2?12当?11???时，如图题(b)所示，2211??2 G(?)??1du?1 2??2当13???时，如图题(c)所示，22113 G(?)??1du??? 2??222G(ξ)的图形如图题(d)所示，图可知G(?)?3???1?????????? 4?3/2?4?1/2? 图题 4 设f?x??exp??x，??0，求??f?x????解：?exp(??x)???????f?x?dx?? ?0?? ?0??exp(?x)exp(?j2??x)dx??exp(??x)exp(? j2??x)dx ?2??2??(2??)2??? exp(??x)dx?2??2?(2??)2???02? 设线性平移不变系统的原点响应为h?x??exp??x?step?x?，试计算系统对阶跃函数step?x?的响应. 解：阶跃函数定义step(x)??线性平移不变系统的原点响应为h?x??exp??x?step?x??exp??x?,所以系统对解阶跃函数step?x?的响应为g(x)?step(x)?h(x)??1,?0,x?0得x?0x?0 ??0exp[?(x??)]d??1?exp(?x), x?0 有两个线性平移不变系统，它们的原点脉冲响应分别为h1?x??sinc?x?和h2?x??sinc?3x?.试计算各自对输入函数f?x??cos2?x的响应g1?x?和g2?x?. 解：已知一平面波的复振幅表达式为U(x,y,z)?Aexp[j(2x?3y?4z)] 试计算其波长λ以及沿x,y,z方向的空间频率。
解：设平面波的复振幅的表达式可以表示成以下形式U(x,y,z)?aexp(jk?r)?aexp[jk(xcos??ycos?? zcos?)] 5题可知，kcos??2,kcos???3,kcos??4 又因为cos2??cos2??cos2??1所以k?波长为??29 2?2? ?k291cos?3cos?2,??? 2???沿x,y,z方向的空间频率为??cos????,?????单色平面波的复振幅表达式为U?x,y,z??Aexp?j???1??14x?214y???z?? 14??3求此波在传播方向的空间频率以及在x,y,z方向的空间频率.解：设单色平面波的复振幅的表达式可以表示成以下形式U(x,y,z)?aexp(jk?r)?aexp[jk(xcos??ycos?? zcos?)] 题可知，kcos??114,kcos??214,kcos??314 又因为cos2??cos2??cos2??1所以k?1 波长为??2??2? k沿x,y,z方向的空间频率为??cos???12?14,??cos???1?14,??cos ???32?14 第三章光学成像系统的传递函数参看图，在推导相干成像系统点扩散函数()式时，对于积分号前的相位因子?k?k22?x0?y0?exp exp?j?j??2d0?2d0?????xi2?yi2??M2????? ????试问：物平面上半径多大时，相位因子exp?j?k22?x0?y0? 2d0????相对于它在原点之值正好改变π弧度？设光瞳函数是一个半径为a的圆，那么在物平面上相应h的第一个零点的半径是多少？这些结果，设观察是在透镜光轴附近进行，那么a , λ和do之间存在什么关系 6时可以弃去相位因子?k22?exp?jx0?y0? ?2d0 ???解：于原点的相位为零，于是与原点相位差为π的条件是kro2k22 (xo?yo)???,ro??do 2do2do根据1h(xo,yo;xi,yi)?2?dodi??2?P(x,y)exp?j[(x? Mx)x?(y?My)y]??dxdyioio??????di????12?~~?2P(x,y)exp?j[(x?x)x?(y?y)y]? ?dxdyioio???dodi????di??相干成像系统的点扩散函数是透镜光瞳函数的夫琅禾费衍射图样，其中心位于理想像点(~xo,~yo)1h(xo,yo;xi,yi)?2?dodi?2?22?~~?j[(xi?xo) ?(yi?yo)]?dxdy????P(x,y)exp??di??1~?1aJ1(2?a?)?r???2B?circ????2??dodi?? a???dodi?式中r?x2?y2，而2??yi?~yo??????di???xi?~xo22? ????????di?????2在点扩散函数的第一个零点处J1(2?a?o)?0，此时应有2?a?o?，即?o?(2) a将(2)式代入(1)式，并注意观察点在原点(xi?yi?0)，于是得ro??do(3) a 根据线性系统理论，像面上原点处得场分布，必须是物面上所有点在像面上的点扩散函数对于原点的贡献h(xo,yo;0,0)。
按照上面的分析，如果略去h第一个零点以外的影响，即只考虑h 的中央亮斑对原点的贡献，那么这个贡献仅仅来自于物平面原点附近ro??do/a范围内的小区域。
当这个小区域内各点的相位因子exp[jkro2/2do]变化不大，而降它弃去。
假设小区域内相位变化不大于几分之一弧度(例如π/16)就满足以上要求，7 则kro/2do?2?16,ro2??do/16，也即a??do例如λ ＝600nm , do = 600mm，则光瞳半径a≥，显然这一条件是极易满足的。
一个余弦型振幅光栅，复振幅透过率为t?xo,yo??11?cos2?foxo 22放在图所示的成像系统的物面上，用单色平面波倾斜照明，平面波的传播方向在xoz平面内，与z轴夹角为θ。
透镜焦距为f ,孔径为D。
求物体透射光场的频谱；使像平面出现条纹的最大θ角等于多少？求此时像面强度分布；若θ采用上述极大值，使像面上出现条纹的最大光栅频率是多少？与θ＝0时的截止频率比较，结论如何？解：斜入射的单色平面波在物平面上产生的场为Aexp(jkx0,sin?)，为确定起见设θ> 0，则物平面上的透射光场为Uo(xo,yo)?Aexp(jkxo,sin?)t(xo,yo)?其频谱为??A??sin??1sin???1sin??????expj 2?x?expj2?xf??exp?j2?xf??????????ooooo ??2?2????2???????????A(?,?)??{Uo(xo,yo )} ?A??sin??1?sin???1?sin???? ???? ?????f??????f??????????oo???2????2???? ?2??????此可见，相对于垂直入射照明，物频谱沿ξ轴整体平移了sinθ/λ距离。
欲使像面有强度变化，至少要有两个频谱分量通过系统。
系统的截至频率?c?D/4?f，于是要求此得?fo?θ角的最大值为?max?arcsin??此时像面上复振幅分布和强度分布为sin???DDsin?D,???fo??4?f4?f?4?fDD?sin??4f4f?D?4f????8 ?AD?1?exp?j2?x[1?exp(?j2?xifo)]i ??24?f?2?2A?5?Ii(xi,yi)??cos2?fxo?4??4?Ui(xi,yi)? 照明光束的倾角取最大值时，(1)式和(2)式可得?fo?DD ?4f4ffomax?D (3) 2?f即fo?D2?f或θ＝0时，系统的截止频率为?c?D/4?f，因此光栅的最大频率fomax??c?D (4) 2?f比较(3)和(4)式可知，当采用倾角的平面波照明时系统的截止频率提高了一倍，也就提高了系统的极限分辨率，但系统的通带宽度不变。